武汉大学量子力学第六章

i / 2 sin 2 e 1 ( sz ) 2 cos e i / 2 2
正交归一性 1/ 2 1/ 2 0; 1/ 2 1/ 2 1, 1/ 2 1/ 2 1.
ˆ ,S ˆ 的本征矢量 3. S x y
取 / 2, 0
z
r
r
y
ˆ 的归一化本征矢量为 得S x
x
球 坐 标
1 1 1 ( sz ) 2 2 1
取 / 2, / 2
1 1 1 ( sz ) 2 2 1
ˆ 的归一化本征矢量为 得S y
gs 2
6.1-2 Stern and Gerlach 实验
斯特恩-盖拉赫实验证实了电子自旋假设的正确性
电子、质子、中子: s 1/ 2
1 3 5 费米子: s , , , 2 2 2
玻色子: s 0,1, 2,
§6.2 电子的自旋算符和自旋波矢量
6.2-1 电子的自旋算符
ˆ 电子自旋的算符: S
1 1 1 ( sz ) 2 2 i
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 三个分量算符 : S x y z
ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 本征值是 s( s 1)2 3 2 平方算符: S S x S y S z
1 本征值都是 2
4
定义
ˆ S ˆ iS ˆ S x y
电子自旋对易关系:
轨道角动量
ˆ L
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z i ˆy z x
和
ˆ x ˆ y ˆz i
ˆ （ ˆ z )表象和泡利矩阵 6.2-3 S z
ˆ y 的矩阵形式: 求
ˆy ˆ z ˆx ˆ y i ˆ z ˆx 由i
0 e i ( / 2 ) 1 0 0 e i 得 y i i ( / 2 ) i 0 e 0 0 1 e
c1 c1 c1 c1 c2 c2 c2 0
由归一化条件确定c1:
c
* 1
1 电子自旋向上 所以 1 2 0
同理 1 2
c1 0 1 | c1 |2 1 c1 1 0
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 S ˆ ; S S S 2 S z z
ˆ ) S ˆ . (S
e ˆ e ˆ ˆ S z gs Sz 电子自旋磁矩算符: M Sz me 2me e e ˆ ˆ ˆ 一般地: M S S gs S me 2me ˆ ˆx Sx 2 6.2-2 泡利算符 ˆ ˆy Sy 分量形式 ˆ ˆ 2 令 S 2 ˆ ˆz Sz 2 对易关系:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S i S 2i
ˆ x , ˆ y ] 2i ˆz 分量形式: [
ˆ y , ˆ z ] 2i ˆx [ ˆ ˆ ˆy [ z , x ] 2i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ; ; 线性厄密算符: x x y y z z
习惯上取 0 得到泡利矩阵
0 1 ˆx , 1 0 0 i ˆy , i 0 1 0 ˆz 0 1
自旋算符在泡利表象中的矩阵表示
0 1 ˆ Sx , 2 1 0 0 i ˆ Sy , 2 i 0 1 0 ˆ Sz . 2 0 1
ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z 2i ˆ x ˆy
二式相加
ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0
同理可证:
ˆ y , ˆ z ] 0; [ ˆ z , ˆ x ] 0. [
由对易关系和反对易关系还可以得到
2 2 2 ˆ ˆn ˆx ˆy ˆ z2 1 单位算符
么正算符
ˆ ˆn ˆn ˆx ˆx ˆy ˆy ˆ z ˆz 1
ˆ x ˆy ˆ y ˆ x [ ˆ x , ˆ y ] 0 反对易关系 ˆ y ˆz ˆ z ˆ y [ ˆ y , ˆ z ] 0 ˆ ˆ ˆ x ˆ z [ ˆ z , ˆ x ] 0 z x
ˆy 左乘
ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y 2i ˆx 证： 从
ˆ y ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆy 右乘
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x ˆy y z y z y 2i
ˆ y 2 ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
z x
y
算符关系式: ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ] 0; [S , Sx ] [S , S y ] [S 2 , S z ˆ 2, S ˆ ] 0; ˆ ,S ˆ ] S ˆ ; [S [S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ); [ S , S ] 2S z ; [ S , S ] 2( S 2 S z
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的本征值都是±/2， 本征值谱: S x y z ˆ x , ˆ y , ˆ z 的本征值都是±1.
ˆ 的本征值为 / 2 在空间任意方向的投影的算符 S n ˆ n 的本征值为 1 故
2 2 2 ˆ ˆx ˆy ˆ z2 的本征值为1. , , 所以 n 和
ˆ 的本征值方程可写为 S n
cos 2 sin e i
sin e i c1 c1 2 c2 cos c2
ˆ 对应的本征值分别为 / 2 的归一化本征矢量为 S n
i / 2 cos 2 e 1 ( sz ) 2 sin e i / 2 2
ˆ z ˆ x ˆ x ˆz 利用
1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1
a b a b c d c d
第六章 电子自旋及一般角动量
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5
电子自旋的引出 电子自旋算符和自旋态矢量 计入自旋的电子运动态矢量及运动方程 一般角动量的基本知识 两个角动量的耦合
§6.1 电子自旋的引出
6.1-1 Uhlenbeck 和 Goudsmit 假设 电子自旋是 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年 作为假设提出来的 主要的两个实验事实: 1.氢原子和碱金属原子光谱的精细(双线)结构 2.反常塞曼效应:弱磁场中光谱线的复杂分裂 1.电子绕核运动-轨道角动量 2.绕自身轴转动-自转角动量(电子自旋)
* * 2 0 c 0 c | c | 0 1 0 2 ˆx 又 2 0 1 c 0 c 0 0 | c |
| c | 1
2
0 e i 令 c exp( i ) (α为实）,则 x i 0 e
ˆ ˆx 由厄密性 x
a 0 d 0
0 b ˆx c 0
得 : b = c*
0 b 0 c* 0 b c 0 b* 0 c 0
0 c* ˆx c 0
自转角动量在空间取值量子化的,取值为 m s
m s :自旋磁量子数
自旋角动量在空间任何方向上的投影只能取两个数值. 取自旋角量子数为s,则2s+1=2
1 1 s ms 2 2
与自旋对应的磁矩称为自旋磁矩 与电子自旋方向相反,大小等于一个玻尔磁子 e e e MS ms gs ms gs B ms 2me me 2me
ˆ 自旋角动量 S
ˆ ˆ ˆ L L i L
ˆ ˆ ˆ S S i S
ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L
泡利算符的矩阵形式
ˆ :对角矩阵,对角元为其本征值 S z
0 /2 ˆ Sz 0 / 2 1 0 1 0 ˆz 0 1 2 0 1
ˆ x , ˆ y的矩阵形式 求
a b ˆx 令 c d
即
1 0 c1 c1 c c 2 0 1 2 2 2
对于 1/ 2 ( sz )
1 0 c1 c1 由 c c 2 0 1 2 2 2
6.2-4
电子自旋的本征矢量
ˆ ( or ˆ z ) 的本征矢量 1. S z
令
1/ 2 ( sz )(或 )和 1/ 2 ( sz )(或 )
ˆ 的本征值 / 2和-/2 对应的本征矢量 分别为 S z
ˆ S 1 ( S ) 1 ( Sz ) z 2 z 2 2 本征值方程为 S ˆ 1 (S ) 1 (S ) z z z 2 2 2
0 电子自旋向下 1
满足正交性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1

2
1 1 0 1 0 2 0
ˆ 的本征矢量 2. 电子自旋在空间任一方向投影的算符 S n
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S ˆ sin sin S ˆ cos Sn 的矩阵形式 S n S x sin cos S n y z 0 1 i 0 sin cos sin sin 2 1 0 2 0 i 1 0 cos sin e i cos i 2 0 1 2 sin e cos