星光惯性组合导航系统分析与研究

硕士学位论文
星光/惯性组合导航系统分析与研究 RESEARCH ON STAR/SINS INTEGRATED NA VIGATION SYSTEM
司胜营
哈尔滨工业大学
2010年7月
国内图书分类号：V 249.32 学校代码：10213 国际图书分类号：627.3 密级：公开
硕士学位论文
星光/惯性组合导航系统分析与研究
硕士研究生：司胜营
导师：王常虹教授
申请学位：工学硕士
学科、专业：控制理论与控制工程
所在单位：控制科学与工程系
答辩日期：2010年6月
授予学位单位：哈尔滨工业大学
Classified Index: V 249.32
U.D.C.: 627.3
Dissertation for the Master’s Degree in Engineering RESEARCH ON STAR/SINS INTEGRATED
NA VIGATION SYSTEM
Candidate：Si Shengying
Supervisor：Prof. Wang Changhong
Academic Degree Applied for：Master of Engineering
Speciality：Control Theory and Control
Engineering
Affiliation：Dept. of Control Science
and Engineering
Date of Defence：Juny, 2010
Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology
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- I -
摘要
在现代导航系统中，捷联惯性导航系统因具有自主性强、隐蔽性好、数
据更新率高、宽频带和信息全面等优点，被广泛应用于各个领域。

但是由于惯性测量元件误差随着时间累积，所以在长时间连续工作的条件下，惯性导航系统的导航精度会随着时间延长而降低。

星敏感器是目前应用最广泛的星载姿态敏感器，虽然数据更新率较低，但是其具有指向精度高、无姿态积累误差等优良特性。

因此将捷联惯性导航系统和星敏感器相结合，构成星光/惯性组合导航系统，以捷联惯性导航为主，以星光导航为辅，综合利用捷联惯性导航信息和星光导航信息，可以提高飞行器的导航精度。

本文结合捷联惯导和星光导航各自的特点，进行了星光/惯性组合导航系统的研究与分析，主要做了以下几方面的工作：
1. 对捷联式惯性导航系统的基本原理进行了研究，分析了捷联惯导系统的误差传播特性，并进行了惯导系统的姿态和位置的解算。

2. 对天文导航的基本原理进行研究，研究了星图模拟系统、恒星敏感器的测姿原理和基于恒星敏感器的飞行器姿态确定算法。

3. 研究了星光/惯性组合导航的原理及其组合模式，完成组合导航系统半实物仿真实验；对组合导航系统的误差状态进行了分析；研究了卡尔曼滤波理论并编写了卡尔曼滤波程序，对组合导航系统进行了滤波分析。

关键词捷联惯导；恒星敏感器；姿态解算；组合导航系统；卡尔曼滤波
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- II - Abstract
In modern navigation, the Strapdown Inertial Navigation System(SINS)was widely used for it’s advantages such as independence,concealment，wide frequency band and all-around information. The disadvantage and deficiency of SINS is also obvious because as the drift errors of the inertial measurement component increase with time, the accumulated error make it unsuitable for long-time operating continuously. The star sensor wins general popularity in modern navigation for its high accuracy, intelligence and working without accumulate error. The SINS/CNS integrated navigation mode is formed in recent years to correct the navigation parameter, it gives priority to the strapdown inertial navigation system and it is complemented by the stars information. The integrated navigation system can improve aircraft's navigation accuracy obviously.
This paper does research on the SINS/CNS Integrated Navigation System,it is mainly constituted by the following aspects:
Fristly,this paper does the research on quaternion theory and coordinate system theory, It also analyses the basis principle of the strapdown inertial navigation system and its error propagation,it also analyses the basis knowledge of celestial navigation and makes the research of the astronomical navigation system.
Secondly, the stateequtation of integrated navigation system is established.The observation equtation of integrated navigation system is established by attitude quaternion error defined by attitude quaternion of SINS and star sensor.
Finally, the paper deduces the Kalman filter theory and uses the Kalman filter to the combine the two navigation systems and do a series of analysis about the Integrated Navigation System.
Keywords: SINS, Star sensor, Attitude determination, Integrated Navigation, Kalman filtering
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目录
摘要 (I)
A bstract (II)
第1章绪论 (1)
1.1 课题研究背景 (1)
1.2 现代组合导航技术发展概况 (2)
1.2.1 各种导航方式简介 (2)
1.2.2 惯性导航的发展概况 (3)
1.2.3 天文导航的发展概况 (4)
1.2.4 惯性/天文组合导航的发展概况 (5)
1.3 本课题主要研究内容 (6)
第2章 捷联惯导系统基本原理与误差分析 (7)
2.1 常用坐标系 (7)
2.1.1 地心惯性坐标系 (7)
2.1.2 地球坐标系 (7)
2.1.3 地理坐标系 (8)
2.1.4 导航坐标系 (8)
2.1.5 载体坐标系 (8)
2.2 四元数理论 (8)
2.2.1 四元数基本知识 (8)
2.2.2 四元数表示转动的公式 (9)
2.2.3 转动四元数微分方程 (10)
2.3 捷联惯导系统基本方程 (11)
2.4 捷联惯导系统误差分析 (12)
2.4.1 惯性器件的误差模型 (12)
2.4.2 系统误差方程的推导 (13)
2.4.3 误差分析 (17)
2.4.4 惯性测量组合测漂实验与相关分析 (18)
2.5 捷联惯导系统解算原理和实现方法 (20)
2.5.1 捷联惯导系统导航解算原理 (20)
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2.5.2 基于四元数的姿态解算方法研究 (21)
2.5.3 基于方向余弦法的速度位置解算方法研究 (23)
2.5.4 捷联惯导解算实例与相关分析 (25)
2.6 本章小结 (29)
第3章 基于恒星敏感器的天文导航系统分析 (30)
3.1 天文导航常用坐标系 (30)
3.1.1 天球坐标系 (30)
3.1.2 像平面上的直角坐标系 (31)
3.1.3 像空间坐标系 (31)
3.2 自主天文导航原理 (32)
3.2.1 系统状态模型的建立 (32)
3.2.2 系统量测模型的建立 (32)
3.3 星图模拟系统的实现 (34)
3.3.1 恒星敏感器简介 (34)
3.3.2 星图模拟系统的原理 (36)
3.3.3 星敏感器测姿原理 (39)
3.4 条件冗余下的星敏感器定姿仿真分析 (41)
3.5 本章小节 (43)
第4章 星光/惯性组合模式研究与模型建立 (44)
4.1 星光/惯性组合导航系统的工作模式 (44)
4.2 卡尔曼滤波原理与卡尔曼滤波方程 (44)
4.2.1 线性离散系统的数学模型 (44)
4.2.2 离散系统卡尔曼滤波方程 (45)
4.2.3 离散型卡尔曼滤波计算流程 (46)
4.3 组合姿态卡尔曼滤波器设计 (46)
4.3.1 状态方程的建立 (46)
4.3.2 观测方程的建立 (48)
4.4 本章小结 (49)
第5章 组合导航半实物仿真实验与分析 (50)
5.1 IMU惯性测量组合简介与半实物仿真原理 (50)
5.2 组合导航前期相关实验及分析 (51)
5.2.1 多位置寻北实验 (51)
5.2.2 正倒置测零偏实验 (52)
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5.3 星光/惯性组合导航半实物仿真静态实验与分析 (54)
5.4 星光/惯性组合导航半实物仿真系统性能分析 (56)
5.4.1 星敏感器的精度对组合导航性能的影响 (56)
5.4.2 滤波周期对组合导航性能的影响 (57)
5.5 本章小结 (58)
结论 (59)
参考文献 (60)
哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 (63)
哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 (63)
致谢 (64)
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第1章绪论
1.1课题研究背景
导航是将舰船、飞机、车辆、导弹、鱼雷、或宇宙飞行器等运载体按预定的计划与要求，从起始点引导到目的地的过程。

用来完成上述引导任务的设备统称为导航系统。

导航系统是飞机能够按照预定航线飞行和执行各种作战任务的重要保障，其导航精度直接决定了战斗任务完成的质量。

高技术条件下的现代和未来战争，作战任务复杂，对抗环境恶劣，飞机对其导航系统的自主性、精确性、抗干扰性和可靠性提出了非常高的要求。

现有的惯性导航（INS）、卫星导航、天文导航（CNS）、多普勒雷达导航（DNS）、地形辅助导航（TAN）、景象匹配导航（SMN）等各种导航方式各具特点，均有其优势和不足，靠任何单一种类的导航方式都不能很好地满足要求[1]。

惯导系统的优点是完全自主、隐蔽性好、导航信息完备、短时精度高、数据输出率高等，总体而言能够很好满足上述要求，但其误差随时间发散，只能达到短时间的高精度。

GPS和DNS都存在抗电磁干扰能力弱的问题，并且在战时GPS的使用很可能受限。

CNS、TAN和SMN都是完全自主、隐蔽性好、抗干扰能力强的导航系统，但TAN和SMN的使用高度受限。

天文导航是一种古老而又现代的导航方式，它通过光电探测设备实时检测星体，通过星图识别等处理可以解算航行体的位置与航向，是一种自主式被动无源的导航方法，具有精度高、误差不随时间积累、在所有导航设备中航向精度最高、观测目标为天体不可能被人为摧毁、不受地域限制可实现全球导航、战争时可用性高等优点[2]。

天文导航不存在随时间增长而积累误差的问题，可以获得长期精度较高的姿态信息，但在天气恶劣的情况下，飞行器在中低空飞行时导航性能会受影响。

如果能够利用信息融合技术，综合使用各种导航方式，形成多传感器组合导航系统，将极大地提高导航系统的精度和可靠性，能够满足现代高技术战争对导航系统的要求，组合导航系统已经成为导航领域研究和发展的重点。

随着射电天文的发展，天文导航系统也突破天气影响而能够实现连续导航。

此外，还有很多种导航手段，都存在着一些不足。

由此可见，单一的导航
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手段是无法满足现代战争某些复杂要求的。

考虑到INS较多的优点，产生了以惯性导航为主，其它导航手段为辅的组合导航系统的思想。

组合导航系统通过信息的互补，将来自各个导航子系统的导航信息进行融合，形成一个多功能高精度的冗余系统。

目前使用较多的是INS/GPS组合系统，但GPS在战争时可用性无法得到保证。

天文导航战争时可用性高的优点，加上其日益成熟的定位技术，使其在军用领域赢得一席之地。

本课题的研究目的是针对组合导航系统的特点，对INS/CNS组合导航系统的组合方式及信息融合算法进行广泛而深入的学习与研究。

通过构建惯性导航系统导航输出误差模型，选用合适的算法，达到INS/CNS的组合，实现二者的优势互补，达到战争时可用性与导航精度提升的和谐统一，这对赢得以导航战、信息战为主的现代高技术战争具有十分重要的作用。

1.2现代组合导航技术发展概况
1.2.1各种导航方式简介
随着科学技术的发展，飞行器的导航方式也逐渐变得丰富，现阶段主要有惯性导航、天文导航、多普勒雷达导航、卫星导航、地形辅助导航、景象匹配导航等，它们凭借各自的特点被应用于不同的作战环境和飞行条件[3]。

（1）惯性导航。

惯性导航是一种完全自主、隐蔽性好、导航信息完备、短时精度高、数据输出率高的导航技术，利用陀螺实现姿态解算，利用加速度计对载体的位置和速度进行推算，在海陆空各个领域都得到了广泛的应用，但由于惯性器件漂移的存在，其误差随时间发散。

（2）天文导航。

天文导航利用飞行器所携带的星敏感器等设备对星体进行观测，根据星体的固有运动规律提供的信息确定飞行器在空间的运动参数。

天文导航系统精度高，不受电磁干扰，但受其观测手段限制，在低空和天气条件不好的情况下使用受到限制。

（3）多普勒雷达导航。

DNS是利用多普勒效应，检测飞机相对于地面的速度和偏流角或者在机体坐标系中的三维速度分量，进而求出飞机在导航坐标系内的三维速度分量。

多普勒雷达的速度精度较高，但它要求地面的回波效应较强，且使用时易暴露目标，抗干扰能力弱。

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（4）卫星导航系统。

卫星导航具有良好的性能，定位精度及速度精度等不受系统工作时间的影响，在全球范围内，卫星导航得到了广泛应用。

目前的卫星导航系统主要有GPS、GLONASS、伽利略系统和北斗导航系统。

但导航数据率较低，当飞行器在遮挡物较多的地区进行低空飞行或做大的机动时，容易发生丢星而不能正确地导航定位。

卫星导航技术现在被世界上少数几个国家所垄断，并且在战时电磁对抗环境复杂，卫星导航信号易被干扰，因此其应用很难得到保障。

（5）地形辅助导航。

TAN通过利用测得的高度与海拔数据库中的数据进行航路地形匹配来导航。

它在地形变化较大、飞机做超低空飞行时的导航精度较高，但当地形比较平坦（如平原或海面上）或飞机飞行高度较高时其精度将大大降低。

（6）景象匹配导航。

SMN是利用红外、近红外、可见光、SAR雷达等光电传感器拍摄实时地面图像，然后与标准图像数据库进行匹配来得到载体的位置信息和航向信息，但不能得到高度信息，并且由于图像数据量比较大，一般需要导航系统具有较大的存储空间和较快的数据处理能力。

目前，随着各种图像获取技术的发展，多信息源图像的融合也将成为导航系统中的重要部分。

这种系统的导航精度一般较高，适合于超低空飞行的飞行器导航或导弹末制导。

1.2.2惯性导航的发展概况
自1942年德国在V-2火箭上第一次应用了惯性制导技术，1954年INS在飞机上试飞成功，直至1958年“舡鱼”号潜艇依靠INS在冰下航行21天穿过北极，INS在舰船、飞机、导弹等装备的导航、制导中都获得了成功应用。

时至今日，惯性传感器己经发展出转子陀螺、摆式积分陀螺（PIG）、挠性陀螺（DTG）、静电陀螺（ESG）、激光陀螺（RLG）、光纤陀螺（FOG）和微机械陀螺（MEMS）等多种类型[5][6]。

根据有无稳定平台，INS又可分为平台式和捷联式两种。

平台式惯导系统精度高，目前仍使用在一些装备中，但其成本较高，机械结构复杂，可靠性较低；捷联式惯导虽然在精度上稍逊于平台式，但因其机械结构相对简单，其尺寸、质量和成本大为减少，可靠性大大提高，非常适合现代飞机的导航需要。

20世纪70年代，RLG的出现为捷联惯导提供了更好的选择，并逐步被广泛应
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用于各种捷联惯导系统。

RLG具有良好的标度因数稳定性和线性度、对加速度几乎不敏感、数字输出、快速启动、死区过后稳定性和重复性很好、无移动部件等特点，相比挠性陀螺更适合于捷联惯导系统。

90年代，美国Litton公司研制出了替代机械抖动的新型环形激光陀螺—零闭锁陀螺（ZLG），在随机游走和标度因数线性度上获得了更好的性能，其LN-100G型导航系统已经应用于F-22。

许多国家都很重视激光陀螺的发展，投入了很大的力量来研制。

基于激光陀螺的捷联惯导是目前军用飞机导航系统的主要装备，虽然近些年FOG和MEMS这些新型陀螺技术发展迅速并已应用于某些装备，但激光捷联惯导在军用飞机导航系统中的地位并没有被取代，目前大多数军用导航系统仍以激光捷联惯导为基础。

INS的总体发展趋势是高精度、小型化、低成本、高可靠性和集成化，并逐步与其他导航方式组成组合导航系统。

尤其是FOG 和MEMS的发展，使INS在小型化、低成本和集成化上获得了进一步发展[7][8]。

目前，INS与卫星导航的组合导航系统已经基本成熟，并逐步走向产品化，可以应用于大量的民用设备和部分军用装备。

但军用飞机对导航系统高精度和高可靠性的要求及使用环境的恶劣，使INS的发展面临着新的挑战。

1.2.3天文导航的发展概况
天文导航是一种历史悠久的导航方式，人类很早就知道通过观看天体来辨明方向。

大约到了元、明时期，我国的天文航海技术已经能够通过观测星的高度角来确定地理纬度，称为“牵星术”。

同样，欧洲人也很早就知道测量天体角度来定位的原理，古希腊人称之为“迪奥帕特拉”。

随着测纬度的六分仪和测经度的天文钟的出现，人们已经能够通过观测天体来确定经纬度，1875年法国人圣西勒尔发明了高度差法，成为现代天文航海的重要基础。

20世纪40年代末50年代初，随着星敏感器的出现，人们开始以恒星位置为基准进行精确定位，并于50年代到60年代间，出现了基于星敏感器与陀螺仪的组合导航系统。

70年代至今，随着各种固态成像元件（CCD、CID、CMOS-APS等）的出现和星图识别算法的优化，天文导航技术获得了进一步的发展。

在组合导航系统中, 天文导航系统的作用相当于校正仪器。

在惯导系统的位置误差或航向误差增大的时候, 让天文导航系统和惯导系统共同工作, 惯导为天文导航提供初始经纬度、航向、水平基准和艇体的姿态角, 天文导航系统
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以天上的星体、太阳、月亮等为信标, 加上精确的时间, 经实际观测推算出惯
导提供的初始经纬度和航向误差的大小, 从而达到校正惯导数据的目的，整个
校正的过程时间很短，具体时间取决于天文导航系统的先进程度。

如果天气允许, 让天文导航和惯导同时工作, 随时校正, 将得到最佳的导航结果。

在平时, 并不需要天文导航系统参与工作。

可见, 天文导航作为校正仪器,只需间断工
作即可, 或者说它只需要短期天气睛好, 这就大大减轻了对天气的依赖[9]。

1.2.4惯性/天文组合导航的发展概况
早期组合模式主要是利用天文导航系统解算出的载体位置和航向，对捷联惯性导航系统的位置和航向数据进行校正，各导航系统分别独立的工作[10]。

由于天文定位定向依赖惯性基准，而此基准由于陀螺漂移等因素本身包含误差，因而这种事后校正的作用并不大。

信息融合技术特别是卡尔曼滤波技术的引入，使组合模式不断深入。

常见的组合模式是采用两台瞄准线相互正交的星体跟踪器对惯导平台失准角进行观测以及通过天文导航系统得到星体的高度角和方位角对惯导的平台失准角进行观测，然后结合惯性导航系统误差方程建立的状态方程利用卡尔曼滤波估计出陀螺漂移对惯导进行校正，这些方法普遍存在着构造出的状态方程与量测方程变量繁多、维数偏高、计算复杂的问题。

近年来，又出现了利用以载体姿态角误差和陀螺随机漂移估计误差为状态变量的组合模式。

组合导航的关键是信息融合，目前，应用最为广泛和成熟的是卡尔曼滤波技术。

卡尔曼滤波技术是1960年前后卡尔曼和布西提出的最优线性递推滤波，是一种线性、无偏、方差最小并具有实时性的滤波，为组合导航技术的发展提供了融合手段。

20世纪60年代，卡尔曼滤波就已经广泛用于INS与多普勒雷达、罗兰、星体跟踪器、卫星等导航设备的组合之中。

1988年，Carlson N.A提出了联邦滤波理论，给出了四种典型的联邦滤波容错结构，为两个以上的导航传感器的信息融合奠定了理论基础。

应用在INS/CNS组合导航系统中，就是根据系统的物理模型（由状态方程和量测方程描述）和系统模型及传感器噪声的统计特性，将量测数据映射到状态矢量空间。

状态矢量包括一组导航系统的状态变量，如位置、速度、角速度、姿态及各种偏差量等，它们可以用来描述系统的运行状态，精确测定载体的运动行为。

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1.3本课题主要研究内容
综上所述，由于SINS存在误差随时间而不断累积的不足，难以满足对导航精度的要求。

本文的组合导航技术研究就是为了探讨如何使SINS与CNS有机结合，提高整体的导航精度。

本文在研究捷联惯性导航系统的工作原理及误差传播特性、基于恒星敏感器的天文导航系统的姿态确定算法的基础上，深入研究了星光/惯性组合导航模式，详细推导了组合导航系统卡尔曼滤波状态方程和量测方程，并通过半实物仿真结合卡尔曼滤波算法验证了星光/惯性组合导航系统可大大提高导航的精度的结论，进而详细探究了一些外界条件对导航精度的影响情况。

本文的主要内容安排如下：
第一章绪论。

列举了现代军事中几种常用的导航技术，分析了各自优缺点，阐述了组合导航系统的发展情况，并对惯性导航、天文导航以及二者的组合进行了系统的介绍。

第二章捷联惯导基本原理与相关研究。

研究了与惯性导航相关的坐标系理论与四元数理论，推导了四元数坐标变换公式和惯导基本方程，实现了惯性导航系统的姿态解算及速度位置解算，分析了捷联惯导的误差传播特性。

第三章天文导航的基本原理和相关分析。

研究了与天文导航相关的坐标系理论，推导了天文导航的系统状态模型和量测模型，对星图模拟系统、恒星敏感器的测姿原理进行深入研究并确定基于恒星敏感器的飞行器姿态算法。

第四章组合导航研究。

研究了星光/惯性组合导航的基本原理及其组合模式，建立了组合导航系统的模型，针对组合导航系统的误差状态，研究了卡尔曼滤波理论，推导出相关的卡尔曼滤波方程。

第五章半实物仿真实验与分析。

针对课题内容，进行了多位置寻北、正倒置测零偏等实物实验，对实验结果进行处理和分析，在此基础上提出半实物仿真实验的思想和实验方案，进行组合导航的滤波仿真实验和结果分析，得出系列与组合导航精度有关的结论。

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第2章 捷联惯导系统基本原理与误差分析
捷联式惯导技术是一种先进的自主式导航技术，通过把陀螺、加速度计等惯性器件固连在运载体上，避免了平台系统的机械复杂性，在航天、航空、航海及陆地导航中正得到越来越广泛的应用。

本章将从惯性导航的基本原理出发，介绍捷联惯导系统的主要原理，基于四元数理论和方向余弦法给出捷联惯导系统的具体解算方法，对惯导系统的误差传播过程和特性进行分析和研究。

2.1 常用坐标系
在导航过程中，无论是导航还是姿态控制的研究都必须引入相应的坐标系才能进行，比如惯性元件的输出信号是相对惯性空间的测量信号，根据导航任务的不同，则必须将其转换到地理坐标系或其它坐标系，因此，针对不同的研究对象和具体任务要求，正确的选择不同的坐标系是很重要的。

在捷联惯性导航中，常用坐标系如下几种[2]。

2.1.1 地心惯性坐标系
坐标轴i i o x 在赤道平面内，指向春分点；i i o z 轴垂直于赤道面，与地球自转角速度矢量一致；i i o y 轴与i i o x 轴和i i o z 轴垂直，且i i i i o x y z 构成右手直角坐标系。

2.1.2 地球坐标系
地球坐标系1111o x y z 的坐标原点位于地心，坐标轴11o x 在赤道面内，指向零度经线；11o z 轴垂直于赤道面，与地球自转角速度矢量一致；11o y 轴与11o x 轴和11o z 轴与垂直，且1111o x y z 构成右手直角坐标系。

从地球坐标系转换到地心惯性坐标系的转换矩阵为
1cos sin 0sin cos 0001i t t R t t ωωωω-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-1)
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2.1.3 地理坐标系
地理坐标系e e e e o x y z 的坐标原点在载体重心e o ，坐标轴e e o x 在e o 点的水平面内，指向正东；e e o y 在e o 点的水平面内，指向正北；e e o z 轴垂直于水平面，且e e e e o x y z 构成右手直角坐标系。

设λ、L 分别为载体的经纬度，则从地理坐标系转换到地球坐标系的坐标变换矩阵为：
1sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0cos sin e L L L R L L L λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-2)
2.1.4 导航坐标系
导航坐标系n n n n o x y z 是在导航时根据导航系统工作的需要而选取的作为导航基准的坐标系。

当把导航坐标系选得与地理坐标系相重合时，可将这种导航坐标系称为指北方位系统；为了适应在极区附近导航的需要往往将导航坐标系的n z 轴仍选得与e z 轴重合，而使n x 与e x 及n y 与e y 之间相差一个自由方位角或游动方位角α，这种导航坐标系可称为自由方位系统或游动自由方位系统。

2.1.5 载体坐标系
载体坐标系b b b b o x y z 是固连在机体上的坐标系。

载体坐标系的坐标原点位于飞行器的重心处，b x 沿机体横轴指向右，b y 沿机体纵轴指向前，b z 垂直于b b b o x y ，并沿飞行器的竖轴指向上。

2.2 四元数理论
2.2.1 四元数基本知识
所谓四元数[4]是指由1个实数单位和3个虚数单位i 、j 、k 组成并具有下列形式的数：。