高二数学专题四种命题及其相互关系学案

1.1。

2 四种命题及其相互关系(学案）
一、知识梳理
我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，
(1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;
（2)如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；
(3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；
（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
二、讲解新课：
探究（一)：命题（2）、(3）、（4)与命题(1）有何关系？
1．上面的四个命题都是形式的命题，可记为，其中p是命题的条件，q是命题的结论．
2．在上面的例子中，
命题（2）的分别是命题(1）的，我们称这两个命题为互逆命题．
命题（3)的分别是命题（1）的,这两个命题称为互否命题．
命题（4）的分别是命题（1)的，这两个命题称为互为逆否命题．3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：
一般地，设“若p则q”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题；
就叫做原命题的否命题；就叫做原命题的逆否命题．
4.四种命题之间的关系：
5。

四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。

二、典例解析
题型一四种命题的概念
例1。

命题“若a2〉b2，则a>b"的否命题是( )
A．若a2〉b2，则a≤b B．若a2≤b2,则a≤b
C．若a≤b，则a2〉b2D．若a≤b,则a2≤b2
点评：写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1)对于不是“若p，则q"形式的命题,需先改写；（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
跟踪训练1。

命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为( ）
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4,则x2＋3x－4＝0”
题型二命题的真假判断
例2.对于下列说法正确的是（)
A.若()
f x是单调函数
f x是奇函数,则()
B 。

命题“若220x x --=，
则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=” C 。

命题:,2
1024x p x R ∀∈>,则0:p x R ⌝∃∈，021024x < D .命题“()2,0,2x x x ∃∈-∞<”是真命题
点评：在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

跟踪训练2. 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号）．
①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x （a >0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．
题型三四种命题关系的应用
例3。

证明：若p2＋q2 ＝2，则p ＋q ≤2．
点评：利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；（2)互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
跟踪训练3.证明:若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．。