北京市昌平区临川育人学校2017届高三第二次月考数学试卷.doc

2016-2017学年市昌平区临川育人学校高三（上）第二次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．
1．已知原命题：“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（）
A．原命题为真，否命题为假B．原命题为假，否命题为真
C．原命题与否命题均为真命题D．原命题与否命题均为假命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】容易看出原命题为真，加以说明即可，写出其否命题，再判断真假即可，对于假命题的情况，举反例即可．
【解答】解：原命题为真，∵若结论不成立，即a，b都小于1，这样便不满足a+b≥2；
它的否命题为：“若a+b＜2，则a，b都小于1”，该命题为假，比如，a=2＞1，b=﹣2，满足a+b＜2．
故选A．
2．复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z﹣z﹣1=（）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故选B
3．要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】把y=sin（2x+）化为cos[2（x﹣）]，故把cos[2（x﹣）]的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．
【解答】解：y=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]．
故把cos[2（x﹣）]的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象，
故选A．
4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）
A．1﹣B．
C．1﹣D．与a的取值有关
【考点】几何概型．
【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．
【解答】解：利用几何概型求解，
图中阴影部分的面积为：
，
则他击中阴影部分的概率是：
=1﹣，
故选A．
5．某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如右表所示，
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+a，那么a的值等于（）A．0.35 B．3.15 C．3.5 D．0.4
【考点】线性回归方程．
【分析】先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意，，
代入线性回归方程为，可得3.5=0.7×4.5+a，∴a=0.35
故选A．
6．将函数y=sin（2x﹣ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象沿x轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ的值为（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可得﹣ϕ=kπ，k∈z，由此求得ϕ的值．
【解答】解：将函数y=sin（2x﹣ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象沿x轴向左平移个单位后得到y=sin[2（x+）﹣ϕ]=sin（2x+﹣ϕ）的图象，
根据所得图象关于原点对称，可得﹣ϕ=kπ，k∈z，∴ϕ=，
故选：B．
7．设x1，x2分别是方程x•2x=1和x•log2x=1的实根，则x1+x2的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）
【考点】反函数．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、互为反函数的性质即可得出．
【解答】解：方程x•2x=1和x•log2x=1变形为：2x=，log2x=．
∵函数y=2x与y=log2x互为反函数，
∴，
∴x1+x2=＞2，
∴x1+x2的取值范围是（2，+∞）．
故选：D．
8．正三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积为（）
A．9πB．πC．18πD．6π
【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．
【分析】由题意，正三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设外接球的半径为R，则R2=（2﹣R）2+（）2，求出R，再求出正三棱锥的外接球的体积．
【解答】解：由题意，正三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，
设外接球的半径为R，则R2=（2﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴外接球的体积为=9π，
故选：A．
9．设直线ax+by=1（其中a，b为实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，△AOB是直角三角形（O为坐标原点），则点P（a，b）到点M（0，1）的距离的最大值为$（）A．+1 B．2 C．2+3 D．﹣1
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，由图形可知点P（a，b）到焦点（0，1）的距离的最大值．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1
所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=，
则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，
∴2a2+b2=2，即a2+=1．
因此所求距离为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离，
如图得到其最大值PF=+1
故选A
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，则角A的大小为（）
A．B．C．D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形内角和定理即可得出．
【解答】解：∵（2b﹣c）cosA=acosC，
∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC）=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=，A∈（0，π），
∴A=．
故选：B．
11．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）
A．+B．+C．+D．+
【考点】向量加减混合运算与其几何意义．
【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴
故选B
12．函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．D．（﹣∞，1）
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出msinθ＞m﹣1，根据sinθ∈[0，1]，即可求解．
【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）为奇函数，增函数，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0
恒成立，
即f（msinθ）＞f（m﹣1），
∴msinθ＞m﹣1，当时，sinθ∈[0，1]，
∴，解得m＜1，
故实数m的取值范围是（﹣∞，1），
故选D．
二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以与其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，
故=（）•（）=（）•（）=﹣+
﹣=4+0﹣0﹣=2，
故答案为2．
14．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径，求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1
∴3a2＞b2，
∴a2＜c2=a2+b2＜4a2，
由e=，
∴1＜e＜2
故答案为：（1，2）
15．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．
【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），
所以，解得；
故答案为：．
16．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．
【考点】数列的求和．
【分析】a n+1=S n S n+1，可得S n+1﹣S n=S n S n+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a n+1=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，
∴=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．
∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，
解得S n=﹣．
故答案为：．
17．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是③④．
①2a﹣3b+1＞0；
②a≠0时，有最小值，无最大值；
③∃M∈R+，使＞M恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
【考点】简单线性规划；不等式．
【分析】由已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧可得2a﹣3b+1＜0，结合不等式的性质可得当a＞0时，＞+，从而对①②作出判断；对于③，是看
有没有极小值，据的几何即可得出；对于④，利用式子蕴含的斜率的几何意义即可解决．
【解答】解：由已知（2a﹣3b+1）（2﹣0+1）＜0，
即2a﹣3b+1＜0，∴①错；
当a＞0时，由3b＞2a+1，
可得＞+，
∴不存在最小值，∴②错；
表示为（a，b）与（0，0）两点间的距离，由线性规划知识可得：
＞=恒成立，
∴③正确；
表示为（a，b）和（1，0）两点的斜率．
∵表示点（a，b）与点（1，0）连线的]斜率，由线性规划知识可知④正确．
故答案是：③④．
三、解答题：共70分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分．
18．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．
（1）比较f（），f（）的大小；
（2）求函数f（x）的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．
（2）将f（x）化简，由此得到最大值．
【解答】解：（1）f（）=﹣，
f（）=﹣，
∵﹣＞﹣，
∴f（）＞f（），
（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．
=﹣2sinx﹣1+2sin2x，
=2（sinx﹣）2﹣，
∴函数f（x）的最大值为3．
19．已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．
（1）求f（x）的最大值与相应的x的值；
（2）若f（θ）=，求cos2（﹣2θ）的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值与相应的x的值．
（2）利用条件求得sin（2θ﹣）=，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos2（﹣2θ）的值．
【解答】解：（1）函数f（x））=•=1+sin2x+（sinx﹣cosx）•（sinx+cosx）
=1+sin2x﹣cos2x=1+sin（2x﹣），
故函数f（x）的最大值为1+，此时，2x﹣=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z．
（2）若f（θ）=1+sin（2θ﹣）=，则sin（2θ﹣）=，
∴cos2（﹣2θ）=cos2（2θ﹣）=1﹣2=1﹣2×==．
20．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．
【考点】列举法计算基本事件数与事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数
（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，
此分数段的学员总数为21人所以毕业生，
的总人数N为N==60，
90～95分数段内的人数频率为P1=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1
所以90～95分数段内的人数n=60×0.1=6，
（Ⅱ）90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生
设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，
每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种
所以，P（A）==
21．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
【考点】频率分布直方图；组合与组合数公式．
【分析】（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；
（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可．
【解答】解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
，，，
Y的分布列为
Y 0 1 2
P
（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，
重量不超过505克的概为1﹣=；
恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．
22．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，
{b n}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d==2，
则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{c n}的前n项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+
=n2+．
23．已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；
（2）求{a n}的通项公式；
（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2．
（2）由2S n=a n a n+1，得2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，从而a n+1﹣a n﹣1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{a n}的通项公式．
（3）由（2）得S n=，从而S15为最小值等价于S13≥S15，
S15≤S17，由此结合已知条件能求出a的值．
【解答】解：（1）∵2S n=a n a n+1，
∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，
∵a1=a≠0，
∴a2=2．
（2）∵2S n=a n a n+1，∴2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，
两式相减，得：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），
∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，
∴{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，
当n=2k﹣1，k∈N*时，a n=a1+（k﹣1）×2=a+n﹣1，
当n=2k，k∈N*时，a n=2+（k﹣1）×2=2k=n．
∴．
（3）∵2S n=a n a n+1，，
∴S n=，
∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，∴当n为偶数时，a n＞0，∴此时S n＞S n﹣1，
∴S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，
∴a14+a15≤0，a16+a17≥0，
∴14+15+a﹣1≤0，16+17+a﹣1≥0，
解得﹣32≤a≤﹣28，
∵数列{a n}是由整数组成的，∴a∈{﹣32，﹣31，﹣30，﹣29，﹣28}，
∵a≠0，∴对所有的奇数n，a n=n+a﹣1≠0，
∴a不能取偶数，∴a=﹣31，或a=﹣29．
24．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【考点】简单复合函数的导数．
【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，
则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1++lnx﹣a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
四、请考生在第（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（23）（本小题满分10分）解答题（共1小题，满分10分）
25．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
五、选修4-5：不等式选讲
26．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，
解得：x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
2016年12月27日。