江苏省徐州市建平中学高三数学理期末试卷含解析

江苏省徐州市建平中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知是三次函数的两个极值点，且,则
的取值范围是（）
A. B . C .
D .
参考答案：
A
2. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为( )
A．y=4x B．y=3x C．y=﹣3x D．y=﹣2x
参考答案：
D
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．解答：解：函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是
f′（x）=3x2+2ax+a﹣2，
由f′（x）是偶函数，
即有f′（﹣x）=f′（x），
即为3x2﹣2ax+a﹣2=3x2+2ax+a﹣2，
可得a=0，
即有f（x）=x3﹣2x，f′（x）=3x2﹣2，
即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为﹣2，
则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=﹣2x，
故选D．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键．
4. 若函数，则（其中为自然对数的底数）
A．B．C．
D.
参考答案：
C
5. 若的展开式中的系数是640，则实数的值是( )
A. B. 8 C. D. 4
参考答案：
D
6. 若曲线，则点P的坐标为
A.（1，0）
B. （1，5）
C.（1，）
D. （，2）
参考答案：
A
略
7. 已知命题p：?x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为（）
A．￢p：?x∈（1，+∞），x3+16≤8x B．￢p：?x∈（1，+∞），x3+16＜8x
C．￢p：?x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0 D．￢p：?x0∈（1，+∞），x03+16＜8x0
参考答案：
C
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即命题的否定是：￢p：?x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．
8. 在等比数列中，，则=（）
A． B．C． D．
参考答案：
B
9. 设全集为，集合，则集合可表示为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D 10. 设函数，若对于任意，恒成立，则实数m的取值范围为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
恒成立问题，利用分离参数法得到m＜，转为求函数在的最小值，从而可求得m的取值范围．
【详解】由题意，f（x）＜﹣m+4，可得m（x2﹣x+1）＜5．
∵当x∈[1，3]时，x2﹣x+1∈[1，7]，
∴不等式f（x）＜﹣m+4等价于m＜．
∵当x＝3时，的最小值为，
∴若要不等式m＜恒成立，
则必须m＜，
因此，实数m的取值范围为（﹣∞，），
故选：C．
【点睛】本题考查恒成立问题的解法，经常利用分离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，则_______________．
参考答案：
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
参考答案：
略
13. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标
是
.
参考答案：
,设
，其中。

将向量
按逆时针旋转
后得
向量，设，则，
，即
.
14. 已知向量
平行，则m= ．
参考答案：
﹣
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用． 【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可． 【解答】解：向量
平行，
可得﹣2m=1，解得m=﹣． 故答案为：﹣．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
15. 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k ，）.若a-2b 与c 共线，则
k=________________.
参考答案： １
本题考查了向量的差与数乘的运算以及向量的共线，容易题．显然，由
与共线，有，可得．
16. （5分）设（1﹣x ）（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2= ．
参考答案：
30
【考点】： 二项式定理的应用． 【专题】： 计算题．
【分析】： 要求a 2，只要求解展开式中的含x 2项的系数，根据题意只要先求出（1+2x ）5的通项，即
可求解
解∵（1﹣x ）（1+2x ）5
=a 0+a 1x+a 2x 2
+…+a 6x 6
，
而（1+2x ）5
展开式的通项为
∴（1﹣x ）（1+2x ）5=展开式中含x 2的项为=30x 2
∴a 2=30
故答案为：30
【点评】：本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径
17. 已知，则。

参考答案：
24
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
设向量，
，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右
侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B ，C 的对边分别是，若，
且，求边长．
参考答案：
（I）因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分
将点代入，得，
所以，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为． ---------------------6分
（II）由，即又 ------------------------8分
由，知，
所以
-----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------------------------12分
19. 已知函数.
（1）若在点处的切线与轴平行，且在区间上存在最大值，求
实数的取值范围；
（2）当时，求不等式恒成立时的最小整数值.
参考答案：
（1），
在点x=e处的切线与x轴平行，
，.(2分)
因此，
当时，在区间上为正，在区间上为负，因此在区间上为增函数，在区间上为减函数，
即函数在x=e处取得唯一的极大值，即为最大值;
当时，在上为减函数，在为增函数，即函数有最小值，
无最大值.
因此实数的取值范围是.（6分）
（2）当时，设，
在区间上为减函数，又，，因此存在唯一实数，使，（8分）
由此得到；（9分）
此时在区间上为增函数，在区间上为减函数，
由单调性知，
又，故，
因此恒成立时，即的最小整数值为.（12分）
20. 已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
（1）求
(2) 求数列的通项；
(3) 若,，求证：＜
参考答案：
解：（1）令，得，
(2)又………①
有…………②
②-①得
∴
∴
(3)n=1时=1＜符合
时，因为,
所以
∴＜
略
21. 设椭圆左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F2作斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点，试在x轴上求一点P，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形.
参考答案：
（1）；（2）点坐标为时.
【分析】
（1）根据已知求出，再根据直线与直线垂直求出b的值，即求出椭圆的方程；
（2）先求出线段的中点为，再根据求出t的值，即得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则点，点，
设，且，则，，
∵，则，所以，即.
∵直线与直线垂直，且点，
∴，，
由，得，
∵，∴，
.
（2）由（1）得.设点，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去并整理得，
由韦达定理得，所以.
因此，线段的中点为.
设点的坐标为，由于，为邻边的平行四边形是菱形，则.
所以直线的斜率为，解得.
因此，当点坐标为时，以，为邻边的平行四边形为菱形.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22. （14分）在中，，．
（1）求的值；（2）设，求的面积．
参考答案：。