河南省洛阳市高一上期末数学试卷

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2024届洛阳市西工区高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2024届洛阳市西工区高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数y ＝f （x ）在R 上为增函数，且f （2m ）＞f (﹣m +9），则实数m 的取值范围是（） A.(﹣∞，﹣3) B.(0，+∞)C.(3，+∞)D.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)2．若0,0,a b c d >><<则一定有A.a bc d > B.a b c d < C.a b d c> D.a b d c< 3．命题“200R,1x x ∃∈≠”的否定是：（）A.2R,1x x ∀∈=B.2R,1x x ∀∉=C.200R,1x x ∃∈=D.200R,1x x ∃∉=4．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b = C.12k =，4b =D.12k =-，4b =-5．已知71sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,则7sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A.79- B.79 C.19-D.196．已知集合{|10}M x x =+≥,2{|4}N x x =<则M N = ( )A.(,1]-∞-B.[1,2)-C.(1,2]-D.(2,)+∞7．设集合{}{}2Z 12,N 21,R M x x N y y x x x =∈-<=∈=-++∈，则（） A.N M ∈ B.M N ⊆ C.N M ⊇D.MN8．在半径为5cm 的圆上，一扇形所对的圆心角为3π，则此扇形的面积为（） A.5B.256πC.56π D.752π9． “22log log a b >”是“22a b >”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且不必要条件D.既不充分也不必要条件10．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为 A.2 B.12C.3D.13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.河南省洛阳市高一第一学期期末考试

10.河南省洛阳市高一第一学期期末考试教学(本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,21,,M N x x n n N P M N ===-∈=,则P 的子集共有（ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.方程220x y ax by c +-++=表示圆心为()1,2，半径为1的圆，则,,a b c 的值依次为（） A.-2，-4,4 B.2，-4,4 C.2，-4，-4 D.-2,4，-43.若132122,,log a b c e π-===，则有（）A.a b c >>B.c a b >>C.b c a >> D,b a c >>4.一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的表面积为（） A.3π B.2πD.π5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A.若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B.若//,m m n α⊥，则n α⊥C.若,m m αβ⊥⊥，则//αβD.若,,//m m n ααβ⊥⊥,则//n β6.若()00,M x y 为圆()2220x y r r +=>上一点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系为（） A.相切 B.相交 C.相离D.相切或相交7.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，若()0x f x ⋅≥，则的x 取值范围是（ ) A.[]2,2- B.(][),22,-∞-+∞ C.()[],20,2-∞-D.[][)2,02,-+∞8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.22B.3C.44D.39.数学家欧拉在1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点为()()()0,0,4,0,3,3A B C ，则该三角形的欧拉线方程为（）A.3230x y --=B.3230x x --=C.320x y --=D.20x --=10.已知函数()2,1,37,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,R x x ∈且12x x ≠，使得()1f x =()2f x 成立，则实数a 的取值范围是（） A.[)3,+∞ B.()3,+∞ C.(),3-∞ D.(],3-∞11.直线0kx y --=与曲线y =交于,M N 两点，O 为坐标原点,当OMN ∆面积取最大值时，实数k 的值为（）A.3-B.C.-l D.112.已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，满足()()2ln 1x f f x e x e --=+，则函数()f x 的零点所在区间为（）A.3211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,e第I 卷(非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知()2221x f x =-，则()1f =_____.14.()1,1,2P -是空间直角坐标系中一点，点P 关于平面xOy 对称点为M ，点P 关于z 轴对称点为N ，则线段_____MN =.15.函数()()()ln 2ln 4f x x x =++-的单调递减区间是_____.16.如图，正方形ABCD 边长为2，点M 在线段DC 上从点D 运动到点C ，若将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABC ，则点D 在平面ABC 内射影所形成轨迹的长度为_____.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）已知直线()()12:316,:220l x m y l mx y m ++-+-+=，分别求满足下列条件的m 的值. (I)12l l ⊥； (II)12//l l .18.(本小题满分12分)已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，ABC ∠的平分线BH 所在直线方程为y x =.求： (I)顶点B 的坐标； (II)直线BC 的方程. 19.（本小题满分12分）如图，直线PA 垂直圆O 所在的平面，AB 为圆O 的直径，,PA AB C =是圆O 上除,A B 外一动点，点,M N 分别是线段,PB PC 的中点. (I)求证:;AN MN ⊥(II)证明:异面直线PA 与CM 所成角为定值，并求其所成角的大小. 20.（本小题满分12分）已知函数()3lg 3ax f x x -=+，其中a 为常数.(I)若函数()f x 为奇函数，求a 的值；(II)设函数()f x 的定义域为l ，若[]2,5l ⊆，求实数a 的取值范围. 21.(本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E F分别为,CD PB 的中点，2,AP AE ==. (I)求证://EF 平面PAD ；(II)求证:平面AEF ⊥平面PAB ； (III)求二面角P AE F --的大小. 22.(本小题满分12分）已知圆()222:1C x y r +-=(r 为半径），圆C 被x 轴截得弦长为，直线():,l y x m m R O =+∈为坐标原点. (I)求圆的方程；(II)若2m =-,过直线l 上一点P 作圆C 的切线,PQ P 为切点，求切线长PQ 最短时，点P 的坐标；(III)若直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥，求实数m 的值.参考答案 1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算、子集的个数.因为{}21,N N x x n n ==-∈{}1,1,3,5,7,=-⋅⋅⋅,所以{}1,3,P M N P ==中有2个元素，所以其子集共有4个，故选C.【规律总结】若集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个. 2.答案：B解析：本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.圆220x y ax by c +-++=的标准方程为22222244a b a b x y c ⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其圆心为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由已知221,22,2,4,24,1,44aa b b c a bc ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪-=∴=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+-=⎪⎩故选B. 【方法归纳】圆的标准方程和一般方程可以互相转化，一般方程化为标准方程实质上是配方，而标准方程化为一般方程实质上是完全平方展开；与圆的圆心和半径有关的题目，一般要将一般方程化为标准方程. 3.答案：D解析：本题考查指数式、对数式大小的比较方法.因为()3120,18a -==∈,12121,log 0b c e π=>=<，所以b a c >>，故选D.【方法点拨】当两个实数不能通过作差或作商比较大小时，可以通过判断两个实数所属的范围进行比较.这种方法实质上是通过“媒介值”进行大小比较，常用的媒介值是0和1. 4.答案：A解析：本题考查圆锥的轴截面和表面积.由已知，圆锥的底面半径为1，所以圆锥的底面积为π；又圆锥的母线长为2，所以圆锥的侧面积为2π，所以圆锥的表面积为23πππ+=,故选A. 【方法归纳】圆锥的表面积包括底面积和侧面积，求表面积时注意不要遗漏底面积. 5.答案：C解析：本题考查面面垂直的判定、面面平行的判定、直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定.对于A ，当//αβ时，α内存在直线与β内的直线垂直，故A 错误；对于B,当//,m m n α⊥时，n 与α的位置关系有三种：//,,n n n αα⊂与α相交(包括垂直），故B 错误；对于C ，当m 与,αβ都垂直时，在α内任取两条相交直线,a b ,过a 作平面1γ，与β交于直线1a ，则1//a a ，同理可得直线1b ，且1//b b ，根据两平面平行的判定定理，有//αβ，故C 正确；对于D,由,//m ααβ⊥可得m β⊥，又m n ⊥，则n 与β的位置关系有//,n n ββ⊂，故D 错误，故选C.【技巧点拨】对于线面位置关系的判断问题，一方面要结合判定定理进行推理，另一方面也要善于利用身边的模型，如圆珠笔、书本等；对于不正确的选项，只需利用模型找出反例即可. 6.答案：A解析：本题考査直线与圆的位置关系.圆222x y r +=的圆心为()0,0O ，设圆心O 到直线200x x y y r +=的距离为d，则2d =，因为()00,M x y 在圆O 上，所以22200x y r +=，所以2d r ==，所以直线与圆相切，故选A.【方法归纳〗判断直线与圆的位置关系的常用方法是比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小.当d r >时,直线与圆相离；当d r =时,直线与圆相切；当d r <时，直线与圆相交. 7.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性、不等式的解法.0x <时0x ->，()()()2222f x x x x x ∴-=---=+，又因为()f x 为偶函数，所以()()22f x f x x x =-=+；不等式()()0,00,x x f x f x ≥⎧⎪⋅≥⇔⎨≥⎪⎩或()0,0,x f x ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩即20,20,x x x ≥⎧⎨-≥⎩或20,20,x x x ≤⎧⎨-≤⎩解得2x ≥或20x -≤≤，故选D. 【一题多解】本题也可以用数形结合的方法求解.如图所示，作出函数()f x 在0x ≥时的图象，再根据偶函数的性质作出其在0x <时的图象，根据图象确定不等式的解集为[][)2,02,-+∞，故选D.8.答案：D解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式.该三视图表示的几何体为四棱锥，如图所示，该四棱锥的底面为正方形，且底面与一个侧面垂直，其底面边长为2,其高为1,故其体积为2142133V =⨯⨯=,故选D.【方法归纳】根据三视图还原几何体时，要牢牢把握“正视图与侧视图的高相等，正视图与俯视图的长相等，俯视图与侧视图的宽相等”，再结合常见几何体的三视图，确定几何体是简单几何体还是组合体,是常规位置放置还是倾斜位置放置. 9.答案：A解析：本题考查三角形外心、重心、垂心的定义、直线方程的求法、直线的交点坐标.由已知，()()()0,0,4,0,3,3A B C ，设其重心为,G AB 边上的中线方程为()32,y x AC =-边上的中线方程为()34y x =--，联立得73,3G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；又AB 边的垂直平分线方程为2,x AC =边的垂直平分线方程为3332y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由2,333,22x y x =⎧⎪⎨⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩设其外心为H ，则()2,0H ,所以三角形ABC 的欧拉线为GH ，其方程为()32y x =-，即3230x y --=，故选A.三角形的重心坐标可由123123,3,3x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩求得，外心坐标可以先求两个边的垂直平分线，再求其交点得到.10.答案：C解析：本题考查分段函数、函数的单调性、最值.由已知得,()f x 在实数集R 上不单调.设()()2, 1.37,1g x x ax x h x ax x =-+≤=->.因为()22,24a a g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1x ≤，其对称轴为2a x =，当12a <,即2a <时，()g x 在(),1-∞上不单调，符合题意；当12a≥，即2a ≥时，()g x 在(],1-∞上单调递增，其最大值为()11g a =-+；若使()f x 在R 上不单调，只需()()11g h >，即137a a -+>-，即23a ≤<.综上，3a <,故选C.【方法归纳】解答本题的关键有两个：一是准确把握题意，把问题归结到函数的单调性上来；二是分段函数的单调性与最值问题,对于分段函数来讲，如果两段函数都单调且单调性相同，那么函数的单调性由两段函数在临界点的最大值和最小值确定. 11.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系、利用基本不等式求最值.直线0kx y --=即(y k x =,该直线过定点)P.曲线y =即()22101x y y +=≤≤表示半圆，因为直线与半圆交于,M N 两点，所以10k -<≤.圆心O到直线的距离为d =,弦MN的长度MN ==所以OMN ∆的面积1122S d MN =⋅⋅==2212112k k ====≤=+-+ ⎪⎝⎭.当且=3k =-时取“=”，即当OMN ∆的面积最大时，实数k的值为 A. 利用基本不等式求解是解题的关键. 12.答案：B解析：本题考查函数零点、函数的单调件.因为()f x 在()0,+∞上是单调函数，且()()2ln 1x f f x e x e --=+是定值，所以()2ln 0x f x e x -->且()2ln x f x e x --是常数，设()2ln x f x e x c --=(c 为常数），则()2ln x f x e x c =++(c 为常数）.因为()1f e c =+(c 为常数），由已知得，1c =，所以()2ln 1x f x e x =++，所以2111110,30e e e f e f e e e ⎛⎫⎛⎫=->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 的零点在11,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭内，故选B. 13.答案；见解析解析：本题考查函数值的求法.设21x =,则0x =,则2211x -=-，故()11f =-. 【一题多解】本题也可以用换元法求解.设2,x t =则2log x t =，所以()()22log 1f t t =-，所以()()2212log 11 1.f =-=-14.答案：见解析解析：本题考查空间对称点的坐标、空间两点间的距离公式.由已知，()()1,1,2,1,1,2M N ---，所以线段MN 的长度为MN==15.答案：见解析解析：本题考查复合函数的单调性.由20,40,x x +>⎧⎨->⎩得24x -<<，所以()f x 的定义域为()2,4-.()()()ln 24f x x x =+-⎡⎤⎣⎦，设()()()()24,2,4t x x x x =+-∈-，则()t x 在()1,4上为减函数，所以()f x 的单调递减区间为()1,4.【易错分析】对于复合函数的单调性问题，除了正确应用“同增异减”的结论外,还要特别注意函数的定义域，函数的单调区间一定要在定义域之内；本题容易忽略函数的定义域而出错.16答案：见解析解析：本题考查圆的性质、平面与平面垂直的性质.如图，N 点为点D 在平面ABC 内的射影，连接,AC O 为AC 的中点，因为平面ADM ⊥平面ABC ，且平面ADM 平面ABC AM =，所以点D 在平面ABC 内的射影在线段AM 上.当M 无限接近D 点时，D 点的射影也无限接近于D ，当M 与C 点重合时,D 点的射影在AC 的中点O 处,因为DN AM ⊥，所以点N 在以AD 为直径的圆上，其轨迹为该圆的14,长度为2π. 【方法点拨】求轨迹的长度，需要先得到轨迹的形状,而求轨迹的形状，需要把握动点的特征,本题中的动点是点D 在平面ABC 内的射影,利用圆的性质可以得到其轨迹为圆弧，求得轨迹的起点与终点即可得圆弧的长度.17.答案：见解析解析：【名师指导】本题考査两直线平行与垂直的条件.(I)利用两直线垂直的条件列出方程解得m 的值；(II)利用两直线平行的条件列出方程解得m 的值，去掉不符合题意的解即可. 解：(I)若12l l ⊥，则有()3120m m ⨯++⨯=,(2分）解得25m =-.（4分） (II)若12//l l ,则有()310m m m ⨯-+=,（6分）解得3m =-或2m =.当3m =-时，直线1l 与直线2l 平行；当2m =时，直线1l 与直线2l 重合，不符合题意,舍去.所以3m =-.(10分）18.答案；见解析解析：【名师指导】本题考查中点坐标公式、直线的方程、点关于直线的对称问题.(I)由点B 在直线y x =上，设出点B 的坐标，由线段AB 的中点在直线210x y +-=上列出方程求解即可；(II)根据角平分线的性质知点A 关于直线y x =的对称点在直线BC 上,可求出点A 关于直线y x =的对称点，然后用两点式可写出直线BC 的方程.解：(I)由题可知，点B 在直线y x =上，∴可设点B 坐标(),m m ，（1分）则AB 的中点12,22m m ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线CM 上，（3分） 2221022m m ++∴+⋅-=,解得1m =-，（5分） ∴点B 坐标为()1,1--(II)设点A 关于y x =的对称点为()'00,A x y ，则由000021,122,22y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩解得002,1.x y =⎧⎨=⎩（8分）直线'A B 的方程为()()()()111121y x ----=----.（10分）直线'A B 的方程即是直线BC 的方程，化简，可得直线BC 的方程为2310x y --=.(12分）19.答案：见解析解析：【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角. (I)由三角形中位线定理，易得//MN BC ，从而把证明AN MN ⊥的问题转化为证明AN BC ⊥的问题,证明BC ⊥平面PAC 即可得证；(II)将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，由//OM PA 得只需求CM 与OM 所成的角即可，在Rt OMC ∆中,可以证得该角为定值45︒.证明：(I)PA ⊥垂直圆O 所在的平面，点,B C 在圆O 上，PA BC ∴⊥.AB 为圆O 的直径，C 是圆O 上除,A B 外一动点，AC BC ∴⊥.(2分)又PA AC A =BC ∴⊥平面PAC .(3分）而AN ⊂平面,PAC BC AN ∴⊥.(4分）在PBC ∆中，,M N 分别是线段,PB PC 的中点，//MN BC ∴.AN MN ∴⊥.(6分）(II)连接,OM OC ,在PAB ∆中，,M O 分别是,PB AB 的中点，1//2OM PA OM PA ∴=且.（7分）由题知PA 垂直圆O 所在的平面,ABC OM ∴⊥平面ABC .OC ⊂平面,ABC OM OC ∴⊥.(9分）又OC 是圆O 的半径，且,PA AB OM OC ==.OCM ∴∆为等腰直角三角形，即OM 与MC 所成角为45︒.(11分）//OM PA ,∴异面直线PA 与CM 所成角为定值，大小为45︒.(12分）20.【名师指导】本题考查奇函数的概念、对数的运算、数形结合和分类讨论的数学思想.(I)由奇函数的性质得()()0f x f x -+=，列出方程进行求解，舍去不成立的解即可求得a 的值；(II)由函数的定义域及0a =和0a ≠两种情况讨论求解. 解:（I)因为()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=对定义域内的任意x 恒成立，所以222339lg lg lg 0339ax ax a x x x x ----+==-++-恒成立，（2分）所以22291,9a x x-=- ()2210a x -=对定义域内的任意x 恒成立，故210a -=，即1a =±.(3分）当1a =时，()3lg3x f x x -=+为奇函数，满足条件；（4分）当1a =-时，()3lg 3x f x x --=+无意义，故不成立.(5分）综上，1a =.（6分） (II)若[]2,5I ⊆，则当[]2,5x ∈时，有303ax x ->+恒成立，（7分）因为2x ≥，所以30x +>，从而30ax ->在[]2,5x ∈上恒成立，（8分）令()3g x ax =-,则当0a =时，不符合题意；当0a ≠时,()()2230,5530,g a g a =->⎧⎪⎨=->⎪⎩解得3,2a >（11分）所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（12分） 21.答案：见解析解析：【名师指导】本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角的求法. (I)证法一:先证明四边形DEFM 是平行四边形，得到//EF DM ,从而利用线面平行的判定定理证明；证法二:先利用面面平行的判定定理证明平面//EFM 平面PAD ,再证明//EF 平面PAD ；(II)通过线面垂直的判定定理证明平面AEF 内的直线AE 垂直于平面PAB 即可得证；(III)由(II)结合二面角的平面角的定义可得PAF ∠即为所求二面角，在等腰Rt PAB ∆中可求得PAE ∠的大小.解：(I)证法一:取PA 的中点M ,连接,FM DM .,F M 分别为,PB PA 的中点，//FM AB 且12FM AB =，（1分）又点E 是CD 的中点，四边形ABCD 为菱形，//DE AB ∴且12DE AB =，（2分） //FM DE FM DE ∴=且.∴四边形DEFM 为平行四边形，//EF DM ∴.（3分） EF ⊄平面,PAD DM ⊂平面PAD .//EF ∴平面PAD .（4分）证法二:取AB 的中点M ，连接,FM ME .,F M 分别为,PB PA 的中点,//FM PA ∴.又FM ⊄平面,PAD PA ⊂平面PAD ,//FM ∴平面PAD ，（1分）同理可得//ME 平面PAD .（2分）,,ME FM M ME FM =⊂平面FME ,∴平面//FME 平面PAD .（3分）又EF ⊂平面,//FME EF ∴平面PAD .（4分）(II)证明：底面ABCD 是边长为2的菱形，3,AE =222,AE DE AD AE DE ∴+=∴⊥.（5分）而//,DE AB AE AB ∴⊥.又PA 平面,ABCD AE ⊂平面ABCD ,PA AE ∴⊥.（6分）,AB PA A AE =∴⊥平面PAB .（7分）而AE ⊂平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB .（8分）(III)由(II)可知，AE ⊥平面PAB ,,AE PA AE AF ∴⊥⊥.平面PAE 平面AEF AE =,AF ⊂平面,AEF PA ⊂平面PAE ,PAF ∴∠为二面角P AE F --的平面角.（10分）在Rt PAB ∆中，2AB AP ==,且F 为PB 的中点，45PAF ︒∴∠=.(11分）∴二面角P AE F --的大小为45︒.（12分）22.答案：见解析解析：【名师指导】本题考查圆的标准方程、直线的垂线、两直线的交点、直线与圆的位置关系.(I)关于直线与圆相交的问题，在圆半径、弦心距和半弦长构成直角三角形中，利用勾股定理可求得圆的半径r 并最终求得圆的方程；(II)利用圆心与切点的连线与切线垂直把线段PQ 的长度最短问题转化为圆心C 与直线l 上的点的连线距离最短问题，从而利用两直线的交点求P 点坐标；(III)设出交点M 和N 的坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合斜率关系求解即可，注意不要忘记利用判别式对求得的解进行检验.解:(I)由题可知,圆心C 在y 轴上，OC x ⊥轴，设x 轴与圆C 交于点,A B ，1,OA OC AC r ==,因为AOC ∆为直角三角形，所以222OA OC AC +=,即2221r +=，（2分）所以r =所以圆的方程为()2213x y +-=.(3分） (II)当2m =-时，直或l 的方程为2y x =-，因为PQC ∆为直角三角形，所以22223PQ PC QC PC =-=-, 当PC 最小时，切线长PQ 最短.显然当PC l ⊥时，PC 最小.（4分）因为()1,0,1PC k C =-，所以直线():110PC y x -=-⨯-，即1y x =-+,（5分）由1,2,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得3,21,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（6分） (III)设()()1122,,,M x y N x y ，由题可得120,0,x x ≠≠由()2213,,x y y x m ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩得()22221220x m x m m +-+--=,（8分）所以()()22418220,m m m ∆=----> ()21212221,.2m m x x m x x --+=--⋅=（9分）因为OM ON ⊥，所以12121OM ON y y k k x x ⋅=⋅=-，即12120x x y y +=.（10分）所以()()()21212121220,x x x m x m x x m x x m +++=+++= 即()22222102m m m m m --⨯--+=，（11分）整理得220m m --=,解得1m =-或 2.m = 经检验满足0∆>，所以1m =-或 2.m =（12分）。

河南省洛阳市高一上期末数学试卷(有答案)

河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=03．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=04．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．18．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=3，求几何体BEC﹣AFD的体积；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}，由全集U={1，2，3，4}，A∩B）={1，3，4}．∴∁U（故选：A．2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=0【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．【解答】解：对于A：=3，是锐角，对于B：是直角，对于C：=﹣，是钝角，对于D：=2，是锐角，故选：C．3．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出线段的中点坐标，求出线段的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【解答】解：=﹣1时，y=0，=3时，y=2，∴（﹣1，0），（3，2）的中点为（1，1），线段﹣2y+1=0的斜率是：==，线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线的斜率是：﹣2，故所求直线方程是：y﹣1=﹣2（﹣1），即：2+y﹣3=0，故选：B．4．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象．【分析】可判断函数f（）=ln﹣6+2连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】解：设f（）=ln+2﹣6，因为函数f（）=ln﹣6+2连续，且f（2）=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=ln﹣6+2的零点在（2，3）之间，故0∈（2，3）；∵0∈（，+1），∴=2，故选B．5．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，∴log a b＜log a1=0，b a＞b0=a0＞a b＞0，∴log a b＜a b＜b a．故选：D．6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A7．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据线面平行的判定定理进行判断．②根据线面垂直的性质定理进行判断．③根据线面垂直的定义进行判断．④根据面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：①m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故①错误，②α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交；故②错误，③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，若m与n相交，则l⊥α，否则不成立，故③错误，④若m∩n=A，设过m，n的平面为γ，若m∥α，n∥α，则α∥γ，若m∥β，n∥β，则γ∥β，则α∥β成立．故④正确，故错误是①②③，故选：C．8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（）=a||，g（）=2﹣，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可．【解答】解：设f（）=a||，g（）=2﹣，当∈[﹣1，1]时，g（）∈[﹣，]，∵f（）和g（）都是偶函数，∴只要保证当∈[0，1]时，不等式a||＞2﹣恒成立即可．当∈[0，1]时，f（）=a，若a＞1时，f（）=a≥1，此时不等式a||＞2﹣恒成立，满足条件．若0＜a＜1时，f（）=a为减函数，而g（）为增函数，此时要使不等式a||＞2﹣恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，即a＞1﹣=，此时＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，故选：A．9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，求出的范围，判断函数的图象即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，∴BC2=PB2+PC2﹣2PB•PCcos30°=16+16﹣2×4×4×=32﹣16，∴底面正方形的面积s=32﹣16，h=tan30°，∴V（）=sh=tan30°，为线性函数，∵四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，∴正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，∴≤4故选：C．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（）是定义在R上的偶函数，∴f（lga）+f（lg）≤2f（1），等价为f（lga）+f（﹣lga）=2f（lga）≤2f（1），即f（lga）≤f（1）．∵函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（lga）≤f（1）等价为f（|lga|）≤f（1）．即|lga|≤1，∴﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，故选：B．11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆外切时，m取得最大值．【解答】解：由题意，∴A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4，），D（4，4），∵A（3，3），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（﹣3）2+（y﹣4）2=1．过P，M，N的圆的方程为2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为+1=6，故选：C．12．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象，从而化为图象的交点的个数问题，从而解得．【解答】解：由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象如下，直线n=（m﹣2）+4过定点A（2，4），当直线n=（m﹣2）+4过点C时，=2，解得，=，当直线n=（m﹣2）+4过点B时，==，结合图象可知，＜≤，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y值即可．【解答】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得=，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．M的坐标是（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：函数y=﹣2+a﹣2，对称轴=，若函数在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，∴0＜≤，解得：0＜a≤3，故答案为：（0，3]．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】由函数的解析式求得f（）==2，画出函数f（）的图象，求得A、B的横坐标，可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解：∵函数，∴f（）==2，∴函数f（）的图象如图所示：令=2，求得=，故点A的横坐标为，令3﹣3=2，求得=log35，故点B的横坐标为log35．∴不等式，即f（m）≤2．顾满足f（m）≤2的实数m的取值范围为，故答案为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明．【解答】解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC1A1，面面平行⇒线面平行，①正确；②M连接A1C中点G，连接C1G，A1C⊥平面MNC1G．∴MN⊥A1C；②正确；===a3，③正确；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A④由三视图可知：此多面体是正方体切割下了的，M是A1B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由垂直可得1•（m﹣3）﹣2m=0，解方程可得；（2）由l1∥l2可得m值，可得直线方程，由平行线间的距离公式可得．【解答】解：（1）∵直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0，∴当l1⊥l2时，1•（m﹣3）﹣2m=0，解得m=﹣3；（2）由l1∥l2可得m（m﹣3）+2=0，解得m=1或m=﹣2，当m=2时，l1与l2重合，应舍去，当m=1时，可得l1：+y+1=0，l2：﹣2﹣2y+6=0，即+y﹣3=0，由平行线间的距离公式可得d==218．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据函数成立的条件即可求函数f（）的定义域；（2）根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论．【解答】解：（1）要使函数有意义，则．解得：﹣3＜＜﹣1．即f（）的为定义域（﹣3，1），（2）f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3）=log a[﹣（+1）（+3）]，令t=﹣（+1）（+3），∵﹣3＜＜﹣1，∴0＜t≤1，当0＜a＜1时，值域为[0，+∞），当a＞1时，值域为（﹣∞，0]．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A 到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点E是棱PA的中点，∴PC∥OE，∵OE⊂平面BDE，BD⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（2）解：取AD的中点N，连接PN，则∵PA=PD，∴PN⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PN⊥平面ABCD，∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，==，∴V B﹣DAERt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=，∵，BD=2，∴DE⊥EB，==．∴S△BDE设点A到平面BDE的距离为h．则，∴h=，∴点A到平面BDE的距离为．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（）即可；（2）问题转化为a＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，从而求出a的最小值．【解答】解：（1）∵f（）是奇函数，∴f（）+f（﹣）=0，即=0，∴c=0，∴f（）=，又f（1）==1，∴b=a﹣2，f（2）﹣4=﹣4＞0，∴﹣4=＞0，∴2＜a＜，∵a∈，∴a=3，b=1，∴f（）=；（2）b=1时，由（1）得：f（）=，f （）＞1恒成立即＞1对任意∈（1，+∞）恒成立，即a ＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，∴t ∈（0，1），于是+=2t 2+t ∈（0，3），∴a ≥3，a 的最小值是3．21．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=8，BC=6，AB=2，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若BE=3，求几何体BEC ﹣AFD 的体积；（2）求三棱锥A ﹣CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）推导出FD ⊥平面ABEF ，从而AF ⊥平面EFDC ，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，由此能求出几何体BEC ﹣AFD 的体积．（2）设BE=，则AF=（0＜≤6），FD=8﹣，V 三棱锥A ﹣CDF =，当=4时，V 三棱锥A ﹣CDF 有最大值，∠ACF 为二面角A ﹣CD ﹣E 的平面角，由此能求出二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【解答】解：（1）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF ，FD ⊥EF ，∴FD ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴FD ⊥AF ，又AF ⊥EF ，FD ∩EF=F ，∴AF ⊥平面EFDC ，同理，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC ﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，对于三棱锥A ﹣CDF ，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，∴V 三棱锥A ﹣CDF ===5，对于四棱锥C ﹣ABEF ，棱锥高为CE=3，∴V 四棱锥C ﹣ABEF ===6，∴几何体BEC ﹣AFD 的体积V=V 三棱锥A ﹣CDF +V 四棱锥C ﹣ABEF =5+6=11．（2）设BE=，∴AF=（0＜≤6），FD=8﹣，=，∴V三棱锥A﹣CDF∴当=4时，V有最大值，且最大值为，三棱锥A﹣CDF在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，∴CF=2，CD=2，DF=4，∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，tan==，∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S=|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设M（，y），∵|MA|=2|MB|，∴=2，化为：（﹣2）2+（y﹣2）2=4．（2）令=0，解得y=2，∴P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解得=0，或=．∴Q．∴|PQ|==．点C到直线l的距离d==．∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1，当且仅当||=1时取等号．∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±+2．。

2024届河南省洛阳市涧西区数学高一第一学期期末学业质量监测试题含解析

2024届河南省洛阳市涧西区数学高一第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合A={x|2x -＜2}，B={x|log 2x ＞0}，则（）A.{}A B x x 1⋂= B.A∩B=φC.A B {x |x 1⋃=<-或x 1}> D.A B R ⋃=2．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400B.40C.4D.6003．已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln 2f x x =+，则()f e -=（）A.3B.3-C.1D.1-4．根据下表数据，可以判定方程3ln 0x x-=的根所在的区间是（）x 12e 34ln x 00.691 1.10 1.393x 3 1.5 1.1010.75A.(3,4)B.(,3)eC.(2,)eD.(1,2)5．不等式290x -<的解集为（）A.{}|3x x >B.{}|3x x <-C.{}|33x x -<< D.{}|33x x x <->或6．在3log 0.1a =，tan4b π=，122sin2c d -==，中，最大的数为（）A.aB.bC.cD.d7．直线y m =+与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（） A.3323,3 B.23(1,3C.,2)3D.2)8．设命题，，则为（）A.，B.，C.，D.，9．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移3π个单位后与()y g x =的图象重合，则（）A.()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭C .()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=ð（）A.{}5B.{}1,2C.{}3,4 D.{}1,2,3,411．已知5sin cos 2αα-=-，则1tan tan αα+的值为（）A.－4B.4C.－8D.812．函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（）A.最大值52 B.最小值52C.最大值2D.最小值2二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．151lg 2lg 222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____.14．如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为H 函数．例如：()f x x =就是H 函数．下列函数：①2y x =；②21y x =-；③[]y x =；④()[ln ]1g x x =+中，______是H 函数（只需填写编号）（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）15．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________16．函数()23f x x =-____________．（用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）已知3sin cos 0x x +=，求22sin 2sin cos cos x x x x ++的值；（2）已知3cos 2cos 22ππαβ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33sin 2sin 22ππαβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且 ,02παπβπ<<<<，求,αβ的值18．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x 台()x N +∈需要另投入成本()a x （万元），当年产量x 不足45台时，()21303002a x x x =+-万元，当年产量x 不少于45台时，()2500619001a x x x =+-+万元．若每台设备的售价为60万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量x 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？19．已知函数()2()ln 23f x x ax =++.（1）若()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值及()f x 的值域；（2）若()f x 在区间[3,1]-上是减函数，求a 的取值范围.20．已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F .（1）求证A 1C ⊥平面EBD ；（2）求二面角B 1—BE —A 1的正切值.21．已知a ，b 为正实数，且11a b +=.（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值22．已知,αβ为锐角，cos ,cos()55βαβ=+=-（1）求cos 2α的值；（2）求()tan αβ-的值参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】先分别求出集合A 和B ，再利用交集定义和并集定义能求出结果【详解】由2-x ＜2得x ＞-1，所以A={x|x ＞-1}；由log 2x ＞0得x ＞1，所以B={x|x ＞1}．所以A∩B={x|x ＞1}．故选A【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，考查指数对数不等式的解法，是基础题2、A【解析】频数为10000.4400⨯=考点：频率频数的关系3、B【解析】根据奇偶性和解析式可得答案.【详解】由题可知()()()ln 23f e f e e -=-=-+=-，故选：B4、B【解析】构造函数()3ln f x x x=-，通过表格判断()()30f e f <，判断零点所在区间，即得结果.【详解】设函数()3ln f x x x=-，易见函数在()0,∞+上递增，由表可知，()()1 1.10.10,3 1.110.10f e f =-=-<=-=>，故()()30f e f <，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间(,3)e 上.故选：B.5、D【解析】化简不等式并求解即可．【详解】将不等式290x -<变形为290x ->，解此不等式得3x <-或3x >.因此，不等式290x -<的解集为{}|33x x x <->或故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生计算能力，属于基础题．6、B【解析】逐一判断各数的范围，即找到最大的数.【详解】因为33log 0.1g 1lo a =<，所以0a <；tan 14b π==；122122c -=<=；sin21d =<.故1b =最大.故选：B.【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.7、D【解析】如图所示：当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：3；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r 1+3，解得：m=2±舍去负值.则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m 的范围为)3,2.故选D8、D【解析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题，，所以：，.故选：D9、C【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数()g x 的解析式.【详解】由已知可得()2sin 2sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10、A【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð.故选：A.11、C 【解析】由已知条件，结合同角正余弦的三角关系可得1sin cos 8αα=-，再将目标式由切化弦即可求值.【详解】由题意知：25(sin cos )4αα-=，即512sin sin cos 4α-=，∴1sin cos 8αα=-，而1sin cos tan tan cos sin cos 18sin αααααααα+=+==-.故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，应用了22sin cos 1αα+=以及切弦互化求值，属于基础题.12、D【解析】分离常数后，用基本不等式可解.【详解】（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+---，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x ，12t ∴，2x t ∴=+.将其代入，原函数可化为22(2)4(2)5112t t t y t t t t +-+++===+，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =.故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、1-.【解析】本题直接运算即可得到答案.【详解】解：1515lg 2lg 2lg lg 42lg102121222-⎛⎫+-+-=-=- ⎝⎭==-⎪，故答案为：1-.【点睛】本题考查指数幂的运算、对数的运算，是基础题.14、③④【解析】根据新定义进行判断.【详解】根据定义可以判断①②在集合*N 上的值域不是集合*N ，显然不是H 函数.③④是H 函数.③y =是H 函数，证明如下：显然x *∀∈N ，y *=∈N不妨设y m ==，可得1m m -≤<，即()221m x m -≤< x *∀∈N ，恒有()221211m m m --=-≥成立x *∴∀∈N ，满足()221m x m -≤<m *∴∀∈N ，总存在x *∀∈N 满足m =y ∴=是H 函数.④()[ln ]1g x x =+是H 函数，证明如下：显然x *∀∈N ，()[ln ]1g x x *=+∈N 不妨设()[ln ]1g x x k =+=，可得1ln k x k -≤<，即11k ke x e -≤≤< x *∀∈N ，恒有11(1)1k k k e e e e ---=->成立k *∴∀∈N ，满足1k ke x e -≤<k *∴∀∈N ，总存在x *∀∈N 满足[ln ]1x k+=()[ln ]1g x x ∴=+是H 函数.故答案为：③④15、4【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴，又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上，∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方，∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方，由点到直线的距离公式可得，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4，故答案为4.16、3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x =的定义域为32302x x -≥⇒≥故答案为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）25（2）34πα=，56πβ=【解析】（1）先求得1tan 3x =-，然后对22sin 2sin cos cos x x x x ++除以22sin cos x x +，再分子分母同时除以2cos x ，将表达式变为只含tan x 的形式，代入tan x 的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得cos α的值，进而求得α的值，接着求得cos β的值，由此求得β的大小.【详解】（1）222222sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos x x x x x x x x x x ++++=+22tan 2tan 1tan 1x x x ++==+25（2）由已知条件，得sin αβαβ⎧=⎪=，两式求平方和得22sin 3cos 2αα+=，即21cos 2α=，所以2cos 2α=±．又因为2παπ<<，所以2cos 2α=-，34πα=把34πα=代入得cos 2β=-．考虑到0βπ<<，得56πβ=．因此有34πα=，56πβ=【点睛】本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如sin cos sin cos x x x x +-，222sin 2sin cos sin cos x x x x x+-或者2sin 2sin cos x x x +的表达式，通过分子分母同时除以cos x 或者2cos x ，转化为2tan ,tan x x 的形式.18、（1）()2130100,4522500700,451x x x y x N x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩；（2）当年产量为49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元【解析】（1）分别在45x <和45x ≥两种情况下，由()60200y x a x =--可得函数关系式；（2）利用二次函数性质、基本不等式可分别求得45x <和45x ≥时的最大值，比较即可得到结果.【小问1详解】当45x <，x N +∈时，()22116020060200303003010022y x a x x x x x x ⎛⎫=--=--+-=-++ ⎪⎝⎭；当45x ≥，x N +∈时，()2500250060200602006190070011y x a x x x x x x ⎛⎫=--=--+-=--+ ⎪++⎝⎭；综上所述：()2130100,4522500700,451x x x y x N x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩.【小问2详解】当45x <，x N +∈时，21301002y x x =-++，则当30x =时，y 的最大值为550；当45x ≥，x N +∈时，()25002500700170170160111y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤-=⎢++⎣⎦（当且仅当250011x x +=+，即49x =时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元19、（1）0a =，[ln 3,)+∞；（2）(5,4]a ∈--【解析】（1）根据偶函数的定义，求出0a =，得()2()ln 23f x x =+，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）2()23,()ln u x x ax g u u =++=，由条件可得，2()23u x x ax =++在[3,1]-上是减函数，且()0u x >在[3,1]-上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a 的不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()22ln 23ln 23x ax x ax ++=-+，故0a =，此时，()2()ln 23f x x =+，定义域为R ，符合题意.令223t x =+，则3t ，所以ln ln 3t ，故()f x 的值域为[ln 3,)+∞.（2）设2()23,()ln u x x ax g u u =++=.因为()f x 在[3,1]-上是减函数，所以2()23u x x ax =++在[3,1]-上是减函数，且()0u x >在[3,1]-上恒成立，故min 1,4()(1)50,a u x u a ⎧-⎪⎨⎪==+>⎩解得54a -<≤-，即(5,4]a ∈--.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）1516【解析】（1）先证明BE ⊥平面11A B C ，则1A C BE ⊥，再证明BD ⊥平面1AA C ，则1A C BD ⊥，从而即可证明A 1C ⊥平面EBD ；（2）由11A B ⊥平面11B BCC ，又1B F BE ⊥，则1A F BE ⊥，进而可得11A FB ∠是二面角11B BE A --的平面角，在1Rt B BC 中，求出125BF =，即可在1Rt BFB 中求出1165B F =，从而即可得答案.【小问1详解】证明：11A B ⊥ 平面11B BCC ，11A B BE ∴⊥，又1B C BE ⊥，1111A B B C B = ，BE ∴⊥平面11A B C ，1A C BE ∴⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，且BD AC ⊥，1AA AC A ⊥=，BD ∴⊥平面1AA C ，1A C BD ∴⊥，又BE BD B ⋂=，∴A 1C ⊥平面EBD ；【小问2详解】解：11A B ⊥ 平面11B BCC ，又11B F BE A F BE ⊥∴⊥，11A FB ∴∠是二面角11B BE A --的平面角，在1Rt B BC 中，11123,4,5,5BC BB B C BF ==∴=∴=，在1Rt BFB中，1165B F ==，11111315tan 16165A B A FB B F ∴∠===.21、（1）1；（2）1.【解析】（1）根据11a b +=≥222a b ab +≥可得结果；（2）由11a b +=得a b +=，将23()4()a b ab -≥化为23)44()ab ab -≥解得结果即可.【详解】（1）因为a ，b为正实数，且11a b +=，所以11a b +=≥ab ≥12(当且仅当a ＝b 22=时等号成立)因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b 22=时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.（2）因为11a b+=，所以a b +=，因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥，所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，因为2(1)0ab -≥，所以ab ＝1.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.22、（1）725-；（2）211-.【解析】（1）根据题中条件，求出25sin 5β=，sin()αβ+=，再由两角差的余弦公式，求出cos α，根据二倍角公式，即可求出结果；（2）由（1）求出4tan 3α=，tan 2β=，再由两角差的正切公式，即可求出结果.【详解】（1）αQ ，β为锐角，且cos 5β=，cos()5αβ+=-，则,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，25sin 5β∴==，sin 5)(αβ+==，3cos cos[()]cos()cos sin()sin 5ααββαββαββ∴=+-=+++=，27cos 22cos 125αα∴=-=-；（2）由（1）3cos 5α=，所以sin 45α==，则4tan 3α=，又5cos 5β=，25sin 5β=，tan 2β∴=；tan tan 2tan()1tan tan 11αβαβαβ-∴-==-+.。

洛阳市学年高一上期末数学试卷

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合M={0,1,2,3,4}，N={x |x =2n -1，n ∈N}，P=M ∩N ，则P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、方程x 2+y 2-ax +by +c=0表示圆心为（1，2）,半径为1的圆，则a ，b ，c 的值依次为（）A.-2、-4、4 B.2、-4、4 C.2、-4、-4 D.-2、4、-43、若a =2-3，b =21π，c =e 21log ,则有()A.a ＞b ＞c B .c ＞a ＞b C.b ＞c ＞a D.b ＞a ＞c4、若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积为（）A:3πB:2πC:π3D:π5、已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αC.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，α∥β，则n ∥β6、若M(x 0，y 0)为圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与该圆的位置关系是（）A:相切B:相交C:相离D:相切或相交A.[-1，2]B.(-∞，-2]∪[2，+∞）C.(-∞，-2]∪[0，2]D.[-2，0]∪[2，+∞）8、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2B.32C.4D.349、数学家欧拉在1765年首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(0,0)，B(2，0)，C(3,3)，且AC=BC,则△ABC 的欧拉线的方程为()A.0323=--y B.0323=--y x C.023=--y D.023=--y x 10、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1731)(2x ax x ax x x f 若存在x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是（）A:[3，+∞)B:(3，+∞)C:(-∞,3)D:(-∞,3]11、直线02=--k y kx 与曲线21x y -=交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当△OMN 的面积取最大值时，k 等于（）A.（3e ，2e ）B.（2e ，e ）C.（e ，1）D.（1，e ）二、填空题13、已知f （2x ）=2x 2-1，则f （1）=。

2023届河南省洛阳市第一高级中学高一上数学期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
【详解】函数 , x>0上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若确定零点所在的区间.
8、C
【解析】首先求平移后的解析式，再根据函数关于轴对称，当时，，求的值.
对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
3、C
【解析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数图像和性质，从而得出结论.
【详解】
故函数的周期为，即，故排除A,
显然函数的值域为，故排除B,
在上，函数为单调递减，故C正确，
14．若函数f（x）= 的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.
15．命题的否定是__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）若是偶函数，求a的值；
17．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立
（3）根据函数单调性和奇偶性得到，考虑，，三种情况，得到函数的最值，解不等式得到答案.

2019-2020学年洛阳市高一(上)期末数学试卷((有答案))

2019-2020学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=06．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log），b=f（2），c=f（3），则3（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A 可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+4810．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．812．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a= ．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）= ．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC 与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．2019-2020学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={1，2}．故选：B．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=0【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b．圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b上，所以﹣2=﹣+b，解得b=﹣2，故所求直线方程为x﹣y+﹣2=0．故选C．6．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log），b=f（2），c=f（3），则3（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：函数f（x）=，则a=f（log3）=1﹣log3=1+log32＞1，b=f（2）=f（）=2∈（0，1），c=f（3）=2∈（0，1），由y=2x在R上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c＜b＜a，故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：=8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a= ﹣2 ．【解答】解：∵直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）．故答案为：﹣2．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）= 7 ．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（﹣x）=+=+=2，∴f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=2×3+=7．故答案为：7．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【解答】解：（1）kBC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S△DBC===．18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线A1M所成角的正切值为．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC 与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．设点B的平面PCD的距离为d，则VB﹣PCD=××3××d=d．在△BCD中，∠BCD=150°，∴S△BCD=×3×sin150°=．∴VP﹣BCD=××3=，∵VB﹣PCD =VP﹣BCD，∴d=，解得d=，即点B到平面PCD的距离为．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．【解答】解：（1）由题意，设C1（a，1﹣a），则∵过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a﹣2）（a﹣62）=0∵半径小于5，∴a=2，此时圆C1的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，∵C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9；（2）设P（a，2a﹣6），圆C2的半径r=2，∴四边形PCCD面积S=2==3|PD|，2|PD|==，∴a=3时，|PD|=，此时面积最小为3，P（3，0）．min为直径的圆上，∵C，D在以PC2∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∵圆C2∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。

2018-2019学年河南省洛阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年河南省洛阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A=，B=，则A．A B=B．A BC．A B D．A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3．三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，所以.【考点】比较大小.4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：若A ．若//,//,m n αα则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误； B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，显然成立；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂故C 错误；D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥或//n α或n 与α相交. 【考点】1.命题的真假；2.线面之间的位置关系. 5．在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】作出图形，能够做到P A 与AB ，AC 垂直，BC 与BA ，BP 垂直，得解．【详解】如图，P A ⊥平面ABC ， CB ⊥AB ，则CB ⊥BP ，故四个面均为直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,所以要使圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1,r 须满足46r <<.7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-， ()()3f x f x -=，则()2019f =（ )A ．3-B ．0C ．1D ．3 【答案】B【解析】试题分析：，且，又()()3f x f x -=， ()()3f x f x ∴=--，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.【考点】函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察. 【易错点晴】函数()f x 满足则函数关于中心对称，()()3f x f x -=,则函数关于轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足，则函数()f x 以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而()()20193f f =，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3B．2C．2D．2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标．【详解】设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m ﹣n +4＝0 ①AB 的中点为（1，2），直线AB 的斜率k 2，AB 的中垂线方程为y ﹣2（x ﹣1），即x ﹣2y +3＝0．联立，解得．∴△ABC 的外心为（﹣1，1）．则（m +1）2+（n ﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m 2+n 2+2m ﹣2n ＝8 ②联立①②得：m ＝﹣4，n ＝0或m ＝0，n ＝4．当m ＝0，n ＝4时B ，C 重合，舍去． ∴顶点C 的坐标是（﹣4，0）．故选：A ．【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．10．设函数212,,2()143,2x x x a x f x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩的最小值为-1，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≥-B ．2a >- C. 14a ≥-D ．14a >- 【答案】C【解析】试题分析：当12x ≥时，43x-为增函数，最小值为112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故当12x <时，221x x a -+≥-，分离参数得()22211a x x x ≥-+-=--，函数()21y x =--开口向下，且对称轴为1x =，故在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递增，211124⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即14a ≥-.【考点】分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为1-，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当12x ≥时，43x-为增函数，最小值为112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当12x <时，值域应该不小于1-，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11．由直线2y x =+上的点向圆()()22421x y -++=引切线，则切线长的最小值为（）A ．42B ．31C ．33D ．421- 【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M ，过点M 做圆的切线，切线长最短，先求圆心()4,2- 到直线20x y -+=的距离422422++=，圆的半径为1，则切线长的最小值为()2242131-=，选B.12．已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C ．【考点】1、新定义；2、函数的图象．二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时， ()322f x x x =+,则()2f =__________.【答案】12 【解析】函数是定义在上的奇函数， ()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.14．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．（答案）【答案】【解析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．【详解】设该点的坐标是（x ，y ，z ）， ∵该点到三个坐标轴的距离都是1， ∴x 2+y 2＝1， x 2+z 2＝1， y 2+z 2＝1，∴x2+y2+z2，∴该点到原点的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．15．函数的单调递增区间是______．【答案】（4，+∞）【解析】由得，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调区间是，答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.16．如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.【答案】【解析】试题分析：利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．【考点】直线与平面垂直的性质．三、解答题17．已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．【答案】（1）；（2）-1；（3）3；（4）且.【解析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0（2）若l1和l2平行，则（3）若l1和l2重合，则（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可【详解】若和垂直，则,若和平行，则,,若和重合，则，若和相交，则由可知且【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18．有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．【答案】.【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得y E＝2．根据S四边形＝S△BCE﹣S△OAB即可得出．OCEA【详解】∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）．l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）．两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即y E＝2．∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•y E|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在圆锥中，已知PO=，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解．本题转化到直角三角形PDO中求解．（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．本题过点O向平面PAC作垂线，则即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值．试题解析：（1）O，D分别是AB和AC的中点OD//BC异面直线PD和BC所成的角为∠PDO在△ABC 中，的中点又（2）因为又所以又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在在【考点】异面直线所成的角、斜线与平面所成的角．20．已知函数()243,f x x x a a R =-++∈. （1）若函数()f x 在(),-∞+∞上至少有一个零点，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[],1a a +上的最大值为3，求a 的值. 【答案】(1) 1a ≤ ；（2）0a =或1132a +=. 【解析】试题分析：（1）由函数()y f x =在R 至少有一个零点，方程()2430f x x x a =-++=至少有一个实数根， 0∆≥，解出即可；（2）通过对区间[],2a a +端点与对称轴顶点的横坐标2的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数()f x 在[],1a a +上的最大值，令其等于3可得结果.试题解析：（1）由()164301a a ∆=-+≥⇒≤.（2）化简得()()221f x x a =-+-，当12a +<，即1a <时， ()()2max 433,0f x f a a a a ==-+=∴=；当21a a ≤≤+，即12a ≤≤时，()()()()2243330,1,1330f a a a a f a a a f a f a a =-+->+=-∴+-=->， ()2max 11332f x a a a ±∴=-=⇒=，（舍）；当12a +<，即2a >时， ()()2max 11313,2f x f a a a a +=+=-=∴=，综上， 0a =或1132a +=. 21．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BF ==．（1）求证： 1CF C E ⊥ ；（2）求二面角1E CF C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以A 为坐标原点， 1,AC AA 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出各个点的坐标.（1）证明1CF C E ⊥即10CF C E ⋅=即可；（2）分别求出平面CEF 的一个法向量为m 和侧面1BC 的一个法向量为n ，根据求出的法向量的夹角来求二面角1E CF C --的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则由已知可得()()()()()()10,0,0,3,1,0,0,2,0,0,2,32,0,0,22,3,1,2A B C C E F（1）证明： ()()10,2,2,3,1,2C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=，所以1CF C E ⊥.（2）()0,2,22CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由,m CE m CF ⊥⊥，得0{0m CE m CF ⋅=⋅=，即2220{320y z x y z -+=-+=，解得2{0y zx ==，可取()0,2,1m =设侧面1BC 的一个法向量为n ，由1,n BC n CC ⊥⊥，及()()13,1,0,0,0,32CB CC =-= 可取()1,3,0n =.设二面角1E CF C --的大小为θ，于是由θ为锐角可得62cos 232m nm n θ⋅===⋅⨯ 所以45θ=︒.即所求二面角1E CF C --的大小为45︒.【考点】空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.22．已知直线l ：与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且和圆O ：相外切．求动圆圆心M 的轨迹C 的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C 交于M 、N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（）（2）故不存在以为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A．试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，，则，，而若以为直径的圆过点，则，∴由此得∴，即.解得>-2故不存在以为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.。

河南省洛阳市名校2022-2023学年高一上数学期末经典试题含解析

12．已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则 ___________.
13．若的最小正周期为，则的最小正周期为______
14．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________
15．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
16、
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是
A. B.
C. D.
2．已知函数，则在下列区间中必有零点的是( )
A.(－2，－1)B.(－1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
3．已知，则（）
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错

河南省洛阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)

洛阳市2021~2022学年第一学期期末考试高一数学试题一､选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}0,1,2,3A =地真子集地个数是（）A. 16 B. 15C. 8D. 7【结果】B 【思路】【思路】确定集合地圆素个数,利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合A 地圆素个数为4,故集合A 地真子集个数为42115-=.故选：B.2. cos840= （）A.B.12C. D. 12-【结果】D 【思路】【思路】利用诱导公式可求得结果.【详解】()()1cos840cos 720120cos120cos 18060cos 602=+==-=-=-.故选：D3. “1x >”是“10x ->”地（）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】化简10x ->利用充要款件地定义可以判定.【详解】10x ->化简得1x ≠,因为1x >时,1x ≠。

而1x ≠时,不一定得出1x >.故“1x >”是“10x ->”地充分不必要款件.4. 已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则A. a b c <<B. a c b<< C. c a b<< D. b c a<<【结果】B 【思路】【思路】运用中间量0比较,a c ,运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小地比较,渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法,利用转化与化归思想解题．5. 已知1sin 3α=-,则cos 2α地值为（）A.C.79D. 79-【结果】C 【思路】【思路】利用余弦地二倍角公式即可求解.【详解】2217cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：C.6. 若2510a b ==,则11a b+地值是（）A. 1- B.12C.710D. 1【结果】D 【思路】【思路】由2510a b ==求出a ，b ,表示出11a b 、,进而求出11a b+地值.详解】由252510log 10,log 10aba b ==∴==，,11lg 2,lg 5a b ∴==11lg 2lg 5lg101a b ∴+=+==.【7. 下面有关函数2sin 2y x =,[]0,x π∈地单调性叙述正确地是（）A. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C. 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π及3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π及3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【结果】C 【思路】【思路】先求出函数地一般性单调区间,再结合选项判断即可.【详解】2sin 2y x =地单调增区间满足：222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,即,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,所以其单调增区间为：[,],44k k k Z ππππ-++∈,同理可得其单调减区间为：3[,],44k k k Z ππππ++∈.由于[]0,x π∈,令,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z 中地0,1k =,有ππ44x -≤≤,3544x ππ≤≤,所以在[]0,x π∈上地增区间为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π及3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.令3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈中地0k =,有344ππ≤≤x ,所以在[]0,x π∈上地减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C8. 已知lg lg 0a b +=,则函数x y a =与函数log b y x =-地图象可能是（）A. B.C. D.【结果】D 【思路】【思路】依据对数关系得1a b=,所以函数x y a =与函数log b y x =-地单调性相同即可得到选项.【详解】lg lg 0,0,0a b a b +=>>,所以lg 0,1ab ab ==,1a b=,,a b 不为1地情况下：1log log b by x x =-=,函数x y a =与函数log b y x =-地单调性相同,ABC 均不满足,D 满足题意.故选：D【点睛】此题考查函数图象地辨析,依据已知款件找出等量关系或不等关系,思路出函数地单调性得解.9. 函数()()sin ,0,02y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<地部分图象如图,则（）A. ,24ωϕππ==B. ,36ωϕππ==C. ,44ωϕππ==D. 5,44ωϕππ==【结果】C 【思路】【思路】先利用图象中地1和3,求得函数地周期,求得ω,最后依据1x =时取最大值1,求得ϕ,即可得解．【详解】解：依据函数地图象可得：函数地周期为()3148T =-⨯=,∴24T ππω==,当1x =时取最大值1,即sin 1,2,442k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭,又02ϕπ≤<,所以4πϕ=,故选：C ．【点睛】本题主要考查了由()sin y x ωϕ=+地部分图象确定其思路式,考查了五点作图地应用和图象观察能力,属于基本知识地考查．属于基础题.10. 已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,()()g x f x a =+,若()g x 恰有2个零点,则实数a 地取值范围是（）A. ()1,0- B. [)1,0- C. ()0,1 D. (]0,1【结果】B 【思路】【思路】利用数形结合地方式,作出函数()f x 地图象,简单判断即可.【详解】依题意,函数()y f x =地图象与直线y a =-有两个交点,作出函数图象如下图所示,由图可知,要使函数()y f x =地图象与直线y a =-有两个交点,则01a <-≤,即10a -≤<.故选：B .【点睛】本题考查函数零点问题,掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根地个数等价于两个函数图象交点个数,属基础题.11. 若定义在R 上地奇函数()f x 在(),0∞-单调递减,且()20f =,则()0f x x>地解集是（）A. ()(),20,2-∞- B. ()(),22,∞∞--⋃+C. ()()2,00,2- D. ()()2,02,-+∞ 【结果】C 【思路】【思路】思路函数()f x 地单调性,可得出()()220f f -=-=,分0x <，0x >两种情况解不等式()0f x x>,综合可得出原不等式地解集.【详解】因为定义在R 上地奇函数()f x 在(),0∞-单调递减,则函数()f x 在()0,∞+上为减函数.且()()220f f -=-=,当0x <时,由()0f x x>可得()()02f x f <=-,则20x -<<。

河南省洛阳市高一上学期数学期末考试试卷

河南省洛阳市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·雅安期中) 已知向量则下列结论正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）函数的值域是（）A . RB .C .D .3. （2分） (2016高一上·周口期末) 已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈z}，则A∩B=（）A . {0}B . [﹣1，1]C . {﹣1，0，1，2}D . D=[﹣2，3]4. （2分）设向量当向量与平行时，则等于（）A . 2B . 1C .D .5. （2分）已知函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·三原期中) 已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为2πB . 函数f（x）在区间[0， ]上是增函数C . 函数f（x）的图象关于直线x=0对称D . 函数f（x）是奇函数7. （2分） (2017高三上·九江开学考) 下列各式中，值为的是（）A . 2sin15°cos15°B . 2sin215°﹣1C . cos215°﹣sin215°D . sin230°+cos230°8. （2分） (2017高一下·瓦房店期末) 设，，，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·盘山期末) 已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A . 在[ ， ]上是增函数B . 其图象关于直线x=﹣对称C . 函数g（x）是奇函数D . 当x∈[ ，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]10. （2分） (2018高一上·旅顺口期中) 已知函数，在下列区间中，函数存在零点的是（）A .B .C .D .11. （2分）若tanα= ，tan（α+β）= ，则tanβ=（）A .B .C . 2D .12. （2分）定义域为R的函数，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5 ，则x1+x2+x3+x4+x5=（）A . 4B . 10C . 12D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若A（﹣4，2），B（6，﹣4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论：①AB∥CD，②AB⊥CD，③AC∥BD，④AC⊥BD．其中正确的序号是________．14. （1分）已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=， cos（α+β）=﹣，则sinβ=________15. （1分） (2015高二下·盐城期中) 已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若 =x，则x+y+z=________．16. （1分）已知函数，若函数f（x）的零点所在的区间为（k，k+1）（k∈Z），则k=________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一下·天水期中) 已知f（α）= ．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）= ，求f（α）的值．18. （10分）已知△ABC的内角B满足2cos2B﹣8cosB+5=0，若 = ， = 且，满足：• =﹣9，| |=3，| |=5，θ为，的夹角．（1）求角B大小；（2）求sin（B+θ）．19. （10分） (2018高一上·大石桥期末) 已知函数 .（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值.20. （15分）已知y= sin（2x+ ）﹣1．（1）求函数的对称轴和对称中心；（2）求函数的单调增区间和单调减区间；（3）若x∈（﹣，），求函数的值域．21. （10分）(2016·大连模拟) 解答（1）在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是9 ．求a1的值；（2）若函数y=a1sin（φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M（﹣1，a1），N（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠MON=θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ﹣φ）的值．22. （10分） (2016高一上·嘉兴期中) 已知函数f（x）=x2﹣ax﹣2a2（x∈R）．（1）关于x的不等式f（x）＜0的解集为A，且A⊇[﹣1，2]，求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得当x∈R时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、答案：略18-1、18-2、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、答案：略。

2020-2021学年洛阳市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年洛阳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−2<x<0}，B={x|−1<x<3}，则A∪B=()A. {x|−2<x<3}B. {x|−2<x<−1}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<3}2.f(x)=x2−ax−2有两个零点x1，x2，g(x)=x2−x−1−a有两个零点x3，x4，若x1<x3<x4<x2，则实数a的取值范围是()A. (−1,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−54) D. (−54,−1)3.f(x)是定义在R上的偶函数，已知函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(2)=0，则使f(x)<0的x的取值范围是()A. (−2,0]∪[2,+∞)B. (−2,2)C. (−2,0)D. (2,+∞)4.已知直线mx+2y−5=0与直线2x+y−1=0垂直，则m的值为()A. −1B. 0C. PADD. 45.设a=log312，b=(13)0.2，c=213，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c6.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如右图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则()A. 如果S1，S2总相等，则V1=V2 B. 如果S1=S2总相等，则V1与V2不一定相等C. 如果V1=V2 ，则S1，S2总相等D. 存在这样一个平面α使S1=S2相等，则V1=V2(e是自然对数的底数)，则()7.设x=log52，y=e−12，z=12A. x<y<zB. y<x<zC. z<x<yD. x<z<y8.在空间，下列命题正确的是()A. 平行直线在同一平面内的射影平行或重合B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 平行于同一直线的两个平面平行9.已知等比数列中，，则的值为()A. 4B. 2C. 8D. 16(θ∈R)的位置关系为() 10.直线xcosθ+ysinθ−2=0与圆(x−sinθ)2+(y−2cosθ)2=14A. 相交，相切或相离B. 相切C. 相切或相离D. 相交或相切11.已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是()A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π12.直线x−√3y+2√3=0被圆x2+y2=4截得的弦长为()A. √2B. 2C. √3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x+y+1=0的纵截距是______ ．14.已知函数f(x)=−x2+2|x|+3，则f(x)的单调递增区间为______．15.如图，切圆于，，，则的长为．16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF//平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤三棱锥A−BEF的体积为定值．其中正确命题序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆，博物馆的正厅有一幅壁画.刚进入大厅时，他在点A处发现看壁画顶端点C的仰角大小为45∘，往正前方走4米后，在点B处发现看壁画顶端点C 的仰角大小为75∘．(I)求BC的长；(II)若小明身高为1.70米，求这幅壁画顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中√3≈1.732)..18. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y=ax2+bx；②y=kx+b；③y=log a x+b；④y=a x+b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？19. 如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD．(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值．x3−4x+4；20. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若方程f(x)=kx−4在[−3,3]恰有两个不等实数根，求实数k的取值范围．321. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，，点为的中点．求证：(1)(2)22. 已知点P是圆x2+y2=4上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且DM：DP=3：2；求点M的轨迹方程．参考答案及解析1.答案：A解析：解：∵集合A={x|−2<x<0}，B={x|−1<x<3}，∴A∪B={x|−2<x<3}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由f(x)=x2−ax−2=0得ax=x2−2，则a=x2−2x =x−2x，则方程a=x−2x的两个根为x1，x2，由g(x)=x2−x−1−a=0得a=x2−x−1，则方程的两个根为x3，x4，由a=x−2x=x2−x−1，得2x−2x=x2−1，即2(x2−1)x=x2−1，即(x2−1)(1−2x)=0，得x=±1，或x=2，当x=1时，x−2x =1−2=−1，当x=−1时，x−2x=−1+2=1，当x=2时，x−2x=2−1=1，做出函数y=x−2x和y=x2−x−1的图象如图：要使y=a与y=x−2x的交点横坐标x1，x2和与y=x2−x−1交点的横坐标x3，x4，满足x1<x3<x4<x2，则直线y=a必须在y=−1和y=1之间，即−1<a<1，即实数a的取值范围是(−1,1)，故选：A．利用参数分离法分别求出a=x−2x 和a=x2−x−1，作出y=x−2x和y=x2−x−1图象，利用数形结合确定a的位置即可．本题主要考查函数零点的应用，利用参数分离法转化两个图象相交的情况是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．3.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，数形结合解决本题简洁直观，注意体会．由f(x)为偶函数，f(x)在(−∞,0]上的单调性，可判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，由f(2)=0，可得f(−2)=0，从而据题意可作出f(x)的草图，由图象即可解得不等式．解：因为f(x)在(−∞,0]上单调递减，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(2)=0可得f(−2)=0，作出满足题意的函数f(x)的草图，如图：由图象可得，使得f(x)<0的x的范围为(−2,2)．故选B．4.答案：A解析：解：∵直线mx+2y−5=0与直线2x+y−1=0垂直，∴2m+2×1=0，解得m=−1故选：A．由直线的垂直关系可得2m+2×1=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．5.答案：A解析：解：a =log 312<log 31=0，0<b =(13)0.2<(13)0=1，c =213>20=1，所以a <b <c ．故选：A ．根据对数函数的单调性可判定a <0，根据指数函数的单调性可得0<b <1，c >1，从而可得结论．本题主要考查了对数值的大小关系，解题的关键是利用指数函数单调性、对数函数单调性判断与中间值0和1的大小． 6.答案：A解析：解：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如右图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1，S 2，如果S 1，S 2总相等，则V 1=V 2．故选：A ．利用祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”直接求解．本题考查命题真假的判断，考查祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：∵x =log 52<log 5√5=12=z ，y =e −12=e lne −12=e ln 1√e >e ln 12=12=z ． ∴x <z <y ．故选：D ．分别利用对数函数的单调性和指数函数的单调性比较log52，e−12与12的大小得答案．本题考查对数的运算性质，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础的计算题．8.答案：B解析：试题分析：解：平行直线在同一平面内的射影平行，或重合，或是两个点，故A不正确；由直线垂直于平面的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故C不正确；平行于同一直线的两个平面平行或相交，故D不正确．故选B考点：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答9.答案：A解析：本题考查了等比数列的通项公式，即首先求得q，再化简，即可得答案．解：，，所以故选A．10.答案：C解析：由圆的标准方程求出圆心和半径，再求得圆心到直线xcosθ+ysinθ−2=0的距离大于或等于半径，从而得出结论．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角函数的二倍角公式，属于中档题．解：∵圆(x−sinθ)2+(y−2cosθ)2=14(θ∈R)的圆心为(sinθ,2cosθ)，半径等于12，圆心到直线xcosθ+ysinθ−2=0的距离为d=|sinθcosθ+2cosθsinθ−2|√sin2θ+cos2θ=|2−32sin2θ|≥2−32=12，故直线和圆相切或相离．故选C．11.答案：B解析：解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为√4+4+4=2√3即为球的直径，所以半径为√3，球的表面积为4πR2=12π，故选：B先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．12.答案：B解析：解：圆x2+y2=4的圆心到直线x−√3y+2√3=0的距离d=√3|√1+3=√3，半径r=2，所以弦长为2√4−3=2，故选：B．求出圆心到直线的距离，利用几何法求出弦长即可．考查直线与圆的位置关系，弦长的计算，中档题．13.答案：−1解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．直线x+y+1=0即y=−x−1，由此可得此直线的纵截距．解：直线x+y+1=0即y=−x−1，故此直线的纵截距为−1，故答案为：−1．14.答案：(−∞,−1)和(0,1)解析：解：根据题意，f(x)=−x 2+2|x|+3={−x 2+2x +3,x ≥0−x 2−2x +3,x <0，当x ≥0时，f(x)=−x 2+2x +3，在区间[0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数；当x <0时，f(x)=−x 2−2x +3，在区间(−∞,−1)上为增函数，在(−1,0)上为减函数，则f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(0,1)；故答案为：(−∞,−1)和(0,1)．根据题意，函数的解析式变形可得f(x)={−x 2+2x +3,x ≥0−x 2−2x +3,x <0，据此结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的单调性的判断，涉及分段函数以及二次函数的性质，属于基础题．15.答案：2解析：试题分析：设圆的半径为由切割线定理得：所以16.答案：①②⑤解析：解：①正确．如图1所示，连接BD ，由正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中可得AC ⊥BD ，BB 1⊥AC ，BD ∩BB 1=B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BE ；②正确．如图图2所示，∵B 1D 1//BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，而BD ⊂平面A 1BD ，∴EF//平面A 1BD ；③不正确．如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m ，F(a,b,1)，则E(a +√22m,b +√22m,1).又A(1,0,0)，B(1,1,0)． ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +√22m −1,b +√22m,1)，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,b −1,1)， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ | |BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(a+√22m−1)(a−1)+(b+√22m)(b−1)+1√(a+√22m−1)2+(b+√22m)2+1√(a−1)2+(b−1)2+1，与a ，b 的取值有关系．④如图3所示，取对角面BD 1的法向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)．设AE 与平面BD 1所成的角为θ，则sinθ=|cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗⃗ |=|1−a−√22m+b+√22m|(a+√2m−1)+(b+√2m)a ，b 的取值有关系；⑤正确．由①可知：AC ⊥平面BDD 1B 1，∴点A 到平面BEF 的距离=12|AC|，而△BEF 的面积=12|EF| |BB 1|，∴V A−BEF =13×12|AC| ⋅12|EF| |BB 1|，又|AC|，|EF|，|BB 1|都为定值，因此三棱锥A −BEF的体积为定值．综上可知：正确答案为①②⑤．故答案为①②⑤．①如图1所示，连接BD ，由正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中可得AC ⊥BD ，BB 1⊥AC ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDD 1B 1，利用其性质即可得到AC ⊥BE ；②如图图2所示，利用正方体的对角面的性质可得B 1D 1//BD ，再利用线面的判定定理即可得到EF//平面A 1BD ；③如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m ，F(a,b,1)，则E(a +√22m,b +√22m,1).又A(1,0,0)，B(1,1,0).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +√22m −1,b +√22m,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,b −1,1)，利用向量的夹角公式即可判断出；④如图3所示，取对角面BD 1的法向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)．设AE 与平面BD 1所成的角为θ，则sinθ=|cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗⃗ |即可判断出； ⑤由①可知：AC ⊥平面BDD 1B 1，可得点A 到平面BEF 的距离=12|AC|，而△BEF 的面积=12|EF| |BB 1|，利用三棱锥的体积计算公式可得V A−BEF =13×12|AC| ⋅12|EF| |BB 1|，又|AC|，|EF|，|BB 1|都为定值，因此三棱锥A −BEF 的体积为定值．熟练掌握空间点线面的位置关系、空间角、空间距离等是解题的关键．17.答案：解：( I )在△ABC 中， ∠CAB =45°，∠DBC =75°，则∠ACB =30°由正弦定理得到， BCsin45°=ABsin30°，将AB =4代入上式，得到BC =4√2 (米)( II )在△CBD 中， ∠CDB =90°，BC =4√2，所以DC =4√2sin75° 因为sin75°=sin(45°+30°)=√6+√24，则DC =2+2√3 ，所以DE =3.70+2√3≈7.16(米)答：BC 的长为4√2米；壁画顶端点C 离地面的高度为7.16米解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． (1)在△ABC 中，由条件求得∠ACB =75°−45°=30°.由正弦定理化简即可求解； (2)利用两角和的正弦公式求得 sin75°，化简即可求解．18.答案：解：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间[0.5,8]上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适． (2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；若人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把x =1，y =2；x =4，y =5代入到y =ax 2+bx ，得{2=a +b5=16a +4b，解得a =−14，b =94，所以函数解析式为y =−14x2+94x.(x ∈[0.5,8])∵y =−14x2+94x =−14(x −92)2+8116， ∴当x =92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116L .解析：(1)用①来模拟比较合适．理由是：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间[0.5,8]上是单调函数．(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；若人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把x =1，y =2；x =4，y =5代入到y =ax 2+bx ，解得a =−14，b =94，所以函数解析式为y =−14x2+94x.(x ∈[0.5,8])，再用配方法能求出当x =92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116L .考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．19.答案：(1)见解析(2)解析：解：(1)证明：由已知得，BE//AF ，BC//AD ，BE ∩BC =B ，AD ∩AF =A ， ∴平面BCE//平面ADF ．设平面DFC ∩平面BCE =l ，则l 过点C ．∵平面BCE//平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE =l ，平面DFC ∩平面ADF =DF ．∴DF//l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF//l ． (2)∵FA ⊥AB ，FA ⊥CD ，AB 与CD 相交， ∴FA ⊥平面ABCD ．故以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，∴=(−1,0,2)，=(1,2,0)．设平面DFC 的一个法向量为n =(x,y,z)，则⇒不妨设z =1．则n =(2,−1,1)，不妨设平面ACD 的一个法向量为m =(0,0,1)． ∴cos 〈m ，n 〉===，由于二面角FCDA 为锐角， ∴二面角FCDA 的余弦值为．20.答案：解：(Ⅰ)因为当x ≥0时，f(x)=13x 3−4x +4，f′(x)=x 2−4=(x +2)(x −2)，当0<x <2时，f′(x)<0，x >2时，f′(x)>0，即当x ≥0时，f(x)的减区间为[0,2]，增区间为[2,+∞)，由y =f(x)为偶函数，则当x ≤0时，f(x)的减区间为(−∞,−2]，增区间为[−2,0]，又f(−2)=f(2)=−43，f(0)=4．综上可得，f(x)的增区间为：[−2,0]，[2,+∞)，减区间为：(−∞,−2]，[0,2]．极大值f(0)=4，极小值f(−2)=f(2)=−43，(Ⅱ)由(Ⅰ)得y =f(x)在[0,2]为减函数，在[2,3]为增函数，又f(2)=−43，f(3)=1，f(x)=kx −43恒过点(0,−43)，又f(x)=kx −43过点(3,1)时，k =79，f(x)=kx −43过点(2,−43)时，k =0，则0≤k ≤79时，集合{xf(x)=kx −43}有两个元素，又y =f(x)是定义在R 上的偶函数，同理可得−79≤k ≤0时，集合{x|f(x)=kx −43}也有两个元素，综上得实数k 的取值范围是[−79,79].解析：(Ⅰ)求出函数的导数，令导数大于0，得增区间．导数小于0，得减区间，进而得到极值，注意偶函数的性质；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到的单调性和k 的符号，以及直线恒过的定点，即可得到k 的取值范围．本题考查函数的性质和运用，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查单调性的运用和其偶性的运用，属于中档题．21.答案：(1)证明：取CE的中点G，连FG、BG，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//DE，∴GF//AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG，∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE.∵BG//AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．解析：解：(1)证明：取CE的中点G，连FG、BG，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//DE，∴GF//AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG，∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE.∵BG//AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．22.答案：解：设M(x,y)，)，由DM：DP=3：2，得P(x,2y3又∵点P在圆x2+y2=4上，∴x2+(2y3)2=4．∵D坐标为(x,0)，当x=±2时，P点和D点坐标相同，即两点重合，此时约束条件中DP垂直于x轴没有意义，故x=±2舍去．∴M的轨迹方程是：x24+y29=1(x=±2)．解析：设出M点的坐标，由DM：DP=3：2得到P点的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2=4，整理后去掉曲线与x轴的交点得答案．本题考查了轨迹方程，训练了利用代入法求曲线方程，此题往往漏除曲线与x轴的交点，属中档题．。