《创新设计》全国通用高考数学理科二轮专题复习专题二三角函数与平面向量习题高考_1

第2讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C.－34 D.－43
解析 ∵sin α＋2cos α＝102，
∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.
用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.
答案 C
2.(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于( ) A.－210 B.7210 C.－210或7210 D.－7210
解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫34π，54π. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45， ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. 答案 A 3.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A.5
B. 5
C.2
D.1
解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由
余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余
弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.
答案 B
4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，
则△ABC 的面积是( )
A.3
B.932
C.332
D.3 3
解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.
∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得
ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.
答案 C
5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )
A.6365
B.3365
C.1365
D.6365或3365
解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞
π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋
β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－
cos(α＋β)sin β＝6365.
答案 A
二、填空题
6.(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC
的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.
解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，
又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，
a 2＝
b 2＋
c 2
－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 8
7.(2015·南昌模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值
是________.
解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b
2，
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24
， 当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23
时等号成立. ∴cos C 的最小值为
6－24. 答案
6－2
4 8.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索
道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；
从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC
＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.
解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得
BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD
. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米). 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得
AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AC ·CD ·cos ∠ADC
＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米).故索道AC 的长为40013米.
答案 40013
三、解答题
9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .
(1)求a 的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A ＋π4的值. 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .
由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2
2ac .
因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.
由于0＜A ＜π，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.
故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13×22＝4－26. 10.(2015·唐山模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3.
(1)求b ；
(2)若△ABC 的面积为212，求c .
解 (1)由正弦定理得：sin C sin B ＝sin B cos C .
又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，∴C ＝45°.
又b cos C ＝3，所以b ＝3 2.
(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7，
由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25.所以c ＝5.
11.(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.
由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,
可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；
由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，
可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.
所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。