【二轮必备】高考数学二轮经典试题精选第一部分25个必考问题能力突破6《平面向量》.pdf

必考问题6　平面向量
【真题体验】
1．(2011·江苏，10)已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________．
解析　因为e1，e2是夹角为π的两个单位向量，所以
e1·e2＝cos〈e1，e2〉＝cos＝－，又a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
即k－－2＋(－2k)＝0，解得k＝.
答案
2．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是
________．解析　以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则
A(0,0)，B(，0)，E(，1)，设F(x,2)，所以·＝(，0)·(x,2)＝x＝x＝1，即F(1,2)，所以
·＝(，1)·(1－，2)＝(1－)＋2＝.
答案　3．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解　(1)法一　由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.
法二　设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B，C的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A，D的中点，所以D(1,4)．
故所求的两条对角线的长分别为BC＝4，AD＝2；
(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.或者：·＝t2，＝(3,5)，t＝＝－.
【高考定位】
高考对本内容的考查主要有：
平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．
试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题．
【应对策略】
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都可以整合在一起．这其中又以向量与三角函数的综合问题为高考中最常见，是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则常是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点．在复习中，我们应加强这种类型试题的训练，争取此类问题拿满分
必备知识
1．向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．
2．向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．
(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即
a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0；
ab?a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
必备方法
1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．
3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.
命题角度一　平面向量的线性运算
[命题要点] 用已知向量表示其它向量；向量的加法、减法、数乘运算．
【例1】 (2012·大纲全国改编)ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝________. [审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 由a·b＝0，可得ACB＝90°，再利用直角三角形中的有关性质建立关系式求解．
解析　如图，a·b＝0，a⊥b，
ACB＝90°，
AB＝＝.
又CDAB，AC2＝AD·AB，
AD＝.
＝＝(a－b)＝a－b.
答案　a－b
在进行向量线性运算时要尽可能地挖掘题中的条件，利用相关图形的性质解题，把未知量转化成与已知量有直接关系的向量来求解．
【突破训练1】 (2012·扬州质量检测)已知G1，G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心，且＝e1，＝e2，＝e3，则
＝________.(用e1，e2，e3表示)
解析　根据向量的线性运算求解．
由＝＋＋＝e1，
＝＋＋＝e2，
＝＋＋＝e3，
且G1，G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心，所以＋＋＝0，＋＋＝0，将相加得＝(e1＋e2＋e3)．
答案　(e1＋e2＋e3)
命题角度二　向量共线定理的应用
[命题要点] 应用向量共线定理求字母的取值；向量共线定理与其他知识的综合应用．
【例2】 (2012·南通调研)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则ab∶c＝________. [审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 利用向量的线性运算及向量的共线定理求解．
解析　因为＝－，所以原式可以变形为(3a－4b)－(3a－5c)＝0，且，不共线，所以3a＝4b＝5c，解得
ab∶c＝2015∶12.
答案　2015∶12
平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．
【突破训练2】 (2012·徐州质检)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，－4)，若ab，则tan 2θ＝________. 解析　由ab可得－4sin θ－3cos θ＝0，解得tan θ＝－，所以tan 2θ＝＝－.
答案　－
命题角度三　平面向量的数量积
[命题要点] 数量积的定义；利用数量积求夹角；数量积与线性运算的综合应用．
【例3】 如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(·)min＝________. [审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 根据已知条件及向量运算化简目标函数，再求最小值．
解析　取AB的中点D，连接CD、CP.
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·(＋)＋2＝(2)2×－·2＋1＝7－6cos〈，〉，
当cos〈，〉＝1时，·取得最小值1.
答案　1
求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．
【突破训练3】 (2012·苏州期中)已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．
解析　设AB的中点为C，则
·(－)＝(＋)·＝·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝(25－49)＝－12.
答案　－12
命题角度四　向量与其他知识的综合应用
[命题要点] 向量与三角函数综合；向量与函数综合；向量与其它知识的综合．
【例4】 (2012·江苏，15)在ABC中，已知·＝3·.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若cos C＝，求A的值．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)利用已知条件、数量积定义及正弦定理知识转化为关于A，B的三角函数式求证．
(2)由cos C＝sin C?tan C?tan(A＋B)tan A?A.
(1)证明　因为·＝3·，所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
即AC·cos A＝3BC·cos B，由正弦定理知＝，
从而sin Bcos A＝3sin Acos B，
又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0，
所以tan B＝3tan A.
(2)解　因为cos C＝，0＜C＜π，所以sin C＝＝，
从而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，
亦即＝－2，由(1)得＝－2，解得tan A＝1或－，
因为cos A＞0，故tan A＝1，所以A＝.
平面向量是一种工具，经常与三角函数、二次函数、平面几何知识等综合考查，一般解法是利用向量的运算对问题进行转化，再利用相关知识解题．
【突破训练4】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由·＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以
2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.
因y0[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4.
6．向量概念要理清，思考问题要严密
一、对向量的概念要理解透彻
【例1】 给出下列说法：(1)零向量只与零向量相等；(2)零向量没有方向；(3)单位向量都共线；(4)共线的单位向量一定是相等向量；(5)单位向量大于零向量；(6)共线向量一定在同一条直线上；(7)若向量a，b是共线向量，向量b，c是共线向量，则向量a，c也是共线向量．其中正确说法的序号是________．
解析　由零向量是长度为0的向量，并且方向是任意的，即零向量有方向，所以(1)正确，(2)错误；因为单位向量的长度都是1，但方向是任意的，所以(3)错误；共线向量的方向可能相同，也可能相反，所以(4)错误；向量不能比较大小，所以(5)错误；共线向量是可以平移到同一条直线上，但不是一定在同一直线上，所以(6)错误；(7)中若向量
b＝0时，向量a，c不一定共线，所以错误．故正确说法只有(1)．
答案　(1)
老师叮咛：如果对向量的有关概念不清楚，就造成有些说法判断错误，如不能将向量共线与直线重合区别开来
，(6)就容易判断为正确；对零向量与任意一个向量平行遗忘，即可能将(7)也判断为正确，所以对向量的概念要逐个过关．
二、与向量的夹角有关的问题
【例2】 若向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析　a，b的夹角为钝角，a·b＝x·(－3x)＋2x·2＝－3x2＋4x＜0，解出x＜0或x＞，又由a，b共线且反向可得x＝－，所以得所求实数x的取值范围是∪.
答案　∪
老师叮咛：注意向量的夹角是钝角与向量的数量积小于0不等价，只由a，b的夹角为钝角得到a·b＜0，但
a·b＜0不能得a，b夹角为钝角，因为a，b的夹角为180°时也有a·b＜0，这一点如果遗忘，就会扩大x的范围，导致错误.。