九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案2 (新版)北师大版

课题：3.9 弧长及扇形的面积
教学目标：
1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
2、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索能力，训练数学运用能力。

3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，提高学习积极性，同时提高对知识的运用能力。

教学重点与难点：
重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。

难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

课前准备：直尺、圆规、多媒体课件。

教学过程：
一、创设情境，引入新课：
师：同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》
这首诗吗？
白日依山尽,黄河入海流。

欲穷千里目,更上一层
楼。

你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有
这样的楼？让我们拭目以待。

（板书课题：弧长及扇形
的面积）
【设计意图】通过诗情画意的展示，调动学生学习的积极性，激发起进一步学习的兴趣，吸引学生的注意力，为新课的学习做铺垫。

二、自主先学, 合作探究：
【自主先学一】【多媒体展示】：
问题：（1）圆的圆心角（圆周角）是多少度?（2）圆的周长公式是什么?
【合作探究一】弧长的计算公式：
你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流：
360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为______，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即_________。

师生归纳：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为： 180
R n l π=。

【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师解答释疑。

【友情提示】在应用弧长公式l=
180
R n π进行计算时，要注意公式中n 的意义，n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。

【学以致用】【多媒体展示】
【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，然后师生互动共同解析。

【思维启迪】要求管道的展直长度，即求弧AB 的长，根据弧长公式180R n l π=
，可求得弧AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径。

【一生口述，师板书解题过程】
【设计意图】让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系，熟练公式的应用，规范书写过程。

【自主先学二】【多媒体展示】：圆的面积公式是什么?
【合作探究二】扇形面积的计算公式：你能总结扇形的面积公式吗？
如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，仿照探究弧长公式的过程可知，1°扇形的面积占整个圆面积的
1360
，所以1°的圆心角对应的扇形面积为_______，n °的圆心角对应的扇形面积为_________。

因此扇形面积的计算公式为：360
2R n S π=扇形，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角。

【活动方式】学生思考，计算，小组讨论，总结扇形的面积的计算公式，师巡视，并答疑解难，绝大多数小组获得结论后，再组织汇报。

【小试身手】扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1
cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)
【活动方式】学生分组讨论，合作交流，教师参与到小组合作学习中，并给予必要的个别指导，师生共同补充完善。

【设计意图】引导学生自己根据已有的知识，用类比的方法解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示小试身手，让学生及时巩固所学。

【合作探究三】弧长与扇形面积的关系：
在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝
180n πR ，n °的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360
n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n 和半径R 有关系，请问，l 和S 之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流。

【活动方式】让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，师参与她们的活动之例 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”
再下料，试计算图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果
精确到0．1 mm)。

解：∵R ＝40mm ，n =110。

180
R n π＝110180×40π≈76.8 mm ， 因此，管道的展直长度约为76.8 mm 。

中，最后教师展示探讨的过程及结果：
解： ∵l =180n πR ，S 扇形=360
n πR 2， ∴=
扇形S 360n πR 2=12R ·180n πR ， ∴lR S 2
1=扇形 并引导学生想一想：扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式？
【设计意图】通过弧长与扇形面积关系的探索，引导学生对比弧长公式和扇形面积公式，经过分析讨论得到扇形面积的第二种计算方法，让学生在分析对比中强化对知识的记忆。

三、实际应用，升华新知 :
1、学以致用：解决“欲穷千里目,更上一层楼”的问题：
【思路导航】如图，设弧AC 代表地面，O 为地球中心，C 点离A
点为500千米（即1000里）。

显然，人站在A 点是看不到C 点处的
景物的，因而需要登楼到B 点处。

这时，人的视线BC 与⊙O 相切，
AB 即为楼的最小高度。

因为AB ＝OB －OA ，OA 是地球半径，约等于
6370千米，所以只需计算出OB 即可。

【师生共析规范解题】
【设计意图】这节课一开始，以问题形式引入新课，学生是带着问题来学习新知识的，所以学习完新知识后，要带着学生回过头来，运用所学的知识解决开始的实际问题，让学生感受到学以致用，感受到用所学知识解决实际问题的快乐。

2、拓展应用：
如图，有一把折扇和一把团扇。

已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽 度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
【活动方式】留出足够的时间让学生自主完成、讨论交流校对，学生展示讲解，教师给予补充提问，师生评判纠错完善，
【设计意图】进一步体会利用数学知识解决实际问题成功感，逐步培养学生的应用意识。

四、诱导反思, 归纳总结：
解：设O ∠的度数为 n °，由弧长公式得：180R n l π=
即：180
6370500⨯=πn 解得：︒≈5.4n 在OCB Rt ∆中，63905.4cos 6370cos ≈=∠=︒
O OC OB AB ＝OB －OA ＝6390－6370＝20千米
通过计算表明，这幢楼至少要有20千米高，远远超过世界最高峰——珠穆朗玛
峰的高度，这样高的楼现实生活中是没有的。

R l
通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？
【活动方式】让学生畅所欲言地进行谈谈自己的收获和感受，其他学生听后进行思考并适当进行补充，最后教师可补充：在计算阴影面积问题时，可以通过规则图形的面积的和或差求解，也可以通过图形变化转化为规则图形求解。

【设计意图】引导学生对本节课进行系统的总结，学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固所学知识，发挥学生的主体作用，培养分析归纳能力和语言表达能力。

五、达标测试，反馈矫正：
★级：轻松过关 —— 打基础：
1、在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）。

2、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB 为120°,OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．264πcm
B ． 2112πcm
C ．2144πcm
D ．2
152πcm ★★级：快乐提升 —— 练能力：
3、如图，为拧紧一个螺母，将扳手逆时针旋转60º，扳手上一点A 转至点A 1处，若OA 长为25cm ，则AA 1⌒长为_________cm(结果保留 )。

4、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）为 。

★★★级：体验中考 —— 树信心： 5、（2014年云南省）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ） A 、
B ． 2π
C ． 3π
D ． 12π
6、（2014•德州）如图，正三角形ABC 的边长为2，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．
【活动方式】让学生在5~8分钟时间内做完，做完后小组内互评，教师跟踪学困生，对进步较快的给以语言激励，培养她们的自信心。

A A
A 1 第2题图 第3题图 第4题图
【设计意图】学生通过自评互评，可以全面了解自己的学习过程，及时进行反思，感受自己的成长和进步，同时为教师改进教学，实施因材施教提供重要依据。

六、布置作业，落实目标：
必做题：课本P102 习题3.11 第1、2、3、4题Array选做题：(2014年四川资阳)如图，扇形AOB中，半径OA=2，
∠AOB=120°，C 是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部
分面积是__
板书设计：。