(完整版)因式分解精选例题(附答案)

因式分解 例题讲解及练习
【例题精选】：
（1）3
223220155y x y x y x ++
评析：先查各项系数（其它字母暂时不看),确定5,15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X ，各项都有时，再确定X 的最低次幂是几，
至此确认提取X 2，同法确定提Y ，最后确定提公因式5X 2
Y 。

提取公因式后，再算出括号内各项。

解:
3223220155y x y x y x ++ =)431(52
2y xy y x -+
（2）
2
3229123y x yz x y x -+- 评析:多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3，且
相同字母最低次的项是X 2
Y
解: 2
3229123y x yz x y x -+-
=
)3129(2
223y x yz x y x +-- =)43(32
223y x yz x y x +--
=
)1423(32
+--xy y x (3）(y —x ）（c —b —a)-(x —y)（2a+b —c)—（x-y ）(b —2a ）
评析:在本题中，y —x 和x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y —x
解:原式=（y —x ）(c-b-a)+(y-x ）(2a+b —c)+(y —x ）(b —2a ） =（y —x ）(c-b —a+2a+b-c+b —2a) =(y-x)（b —a)
（4） （4) 把343232x y x -分解因式
评析：这个多项式有公因式2x 3，应先提取公因式,剩余的多项式16y 4
—1具备平方差公式的形式
解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =
)14)(12)(12(223++-y y y x （5） （5） 把827xy y x -分解因式
评析：首先提取公因式xy 2,剩下的多项式x 6-y 6
可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

对于x 6-y 6也可以变成
3232)()(y x -先运用立方差公式分解，但比较麻烦. 解：8
27xy y x -
=xy 2（x 6-y 6)= xy 2［2323)()(y x -]=
))((33332y x y x xy +- =))()()((2
2222y xy x y x y xy x y x xy +-+++-
（6）把2
236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式
评析:把（x+y ）看作一个整体,那么这个多项式相当于（x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。

对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再
分解，而要注意观察分析,善于把(x+y ）代换完全平方公式中的a,（6Z ）换公式中的
解:2
236)(12)(z z y x y x ++-+
=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=(x+y-6z)2
（7） （7）
把4
222222
2)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式
评析：把x 2
-2y 2
和y 2
看作两个整体,那么这个多项式就是关于x 2
-2y 2
和y 2
的二次三
项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就是一个完全平方式。

解：4
222222
2)2(2)2(21y y y x y x +---
=]
)2(2)2(2)2[(2122222222
y y y x y x +•--- =2
222222)4(21
)22(21y x y y x -=-- =2
2)2()2(21
y x y x -+
（8） （8） 分解因式a 2
—b 2
-2b —1
评析:初看，前两项可用平方差公式分解。

采用“二、二”分组，原式=（a+b ）（a-b)-（2b+1)，此时无法继续分解。

再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组.
解：a 2-b 2—2b —1= a 2-(b 2-2b+1)=a 2-（b+1)2
=[a+(b+1)］[a —（b+1）］=（a-b —1)（a+b+1)
一般来说,四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”.四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。

（9） （9) 把a 2
-ab+ac-bc 分解因式
解法一：a 2-ab+ac-bc=（a 2
—ab)+（ac —bc)=a （a-b ）+c(a-b ）=(a-b ）（a+c ）
解法二：a 2-ab+ac-bc=（a 2
+ac ）-(ab+bc ）=a(a+c ）—b （a+c) =（a-b)（a+c)
（10） （10) 把y x xy x 33222
--+分解因式
解法一：y x xy x 33222--+ =)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：y x xy x 33222
--+
=
))(32()32()32()32()32(2y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+- 说明：例(2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例.（2)题解法一 1：1,解法二也是1：1；（3)题解法一是
1:1，解法二是2:(—3）
（11) 分解因式123+--x x x
评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式.如是，就考虑“一、三"分组；不是，就考虑“二、二”分组 解法一：123+--x x x =
)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(2
2+-=+--=--x x x x x x x
解法二：123+--x x x =
)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(2
2+-=-+-=--x x x x x x x
解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(2
23+-+-+=+-+x x x x x x x x
=2
22)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x
（12） （12) 分解因式（a-b)2—1—2c(a —b)+c 2
评析：本题将（a-b ）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组
解：(a —b)2—1—2c （a-b)+c 2
=［(a-b ）2-2c （a-b ）+c 2］—1=[(a —b ）-c]2—1=(a —b —c)2
-1-（a —b-c+1)（a —b-c-1）
（13）分解因式8a 2—5ab —42b 2
8a -21b
解：8a 2-5ab —42b 2
a +2b
=（8a —21b ）（a+2b ） -21ab+16ab=-5ab
（14） （14） 分解因式a 6—10a 3
+16
解：a 6—10a 3+16 a 3
-2
=( a 3—2）( a 3—8) a 3
—8
=( a 3—2）(a —2）（a 2+2a+4） —8a 3—2a 3 =—10a 3
（15） （15） 分解因式-x 2
+x+30
解：—x 2
+x+30 （先提出负号) x +5
=-（ x 2
-x-30） x —6 =—（x+5）(x —6) +5x-6x=—x
（16） （16） 分解因式12(x+y ）2
—8(x+y ）-7
解：12(x+y ）2
-8（x+y)-7 2（x+y ） +1 =［2(x+y ）+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7 =（2x+2y+1）(6x+6y —7） —14+6=8
（17）把2
233y xy x y x ----分解因式
评析:此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现
公因式或是否符合公式。

本题注意到后三项当把—1提出后，实际上是33y x -按
立方差公式分解后的一个因式：
解:2233y xy x y x ----
=)()(2
233y xy x y x ++--
=)())((2
222y xy x y xy x y x ++-++- =)1)((2
2--++y x y xy x
（18） (18） 把1222
22+----x yz z y x 分解因式
评析：把122+-x x 看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把—1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。

解：122222+----x yz z y x =
)2()12(222z yz y x x ++-+- =2
2)()1(z y x +--
=)1)(1(z y x z y x ---++-
（19）分解因式6)2)(1(2
2-++++x x x x
评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x x +2这一显著特点，我们不妨设x x +2=a 可得（a+1）（a+2）-6即a 2+3a+2-6,即a 2
+3a-4，此时可分解为（a+4）（a —1）
解：6)2)(1(22-++++x x x x =62)(3)(2
22-++++x x x x
=4)(3)(2
22-+++x x x x
=]1)][(4)[(22-+++x x x x =)1)(4(2
2-+++x x x x
（20）把8)32)(42(2
2--+++x x x x 分解因式
解:
8)32)(42(22--+++x x x x =812)2()2(2
22--+++x x x x
=20)2()2(222-+++x x x x =]4)2][(5)2[(22-+++x x x x =)42)(52(2
2-+++x x x x
(21）把
72)209)(23(22-+-++x x x x 分解因式 评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项
式先进行分解,有)5)(4)(2)(1()209)(23(2
2--++=+-++x x x x x x x x 。

它又回到例3(1)的形
式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x 2
—3x ）
解：72)209)(23(2
2-+-++x x x x =72)5)(4)(2)(1(---++x x x x =72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x
=72)103)(43(22-----x x x x =
32)3(14)3(222----x x x x
=]2)3][(16)3[(2
2+---x x x x
=
)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x （22）把2
)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式 评析:不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用
结合律会出现a 2
+6
解：2
)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++
=2
)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++
=222)56)(76(a a a a a +++++ =2
22222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++ （23）把（x+1）（x+3）(x+5）(x+7）—9分解因式
评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3)（x+5）分别乘开就会出现9)158)(78(22-++++x x x x 的形式，这就不难发现（x 2+8x)作为一个整体a 同时出现在两个因式中,即（a+7）(a+15）—9的形式，展开后有a 2
+22a+96,利用十字相乘616
⨯a
a ,
得到（a+6）(a+16）而分解。

解：（x+1）（x+3）（x+5）(x+7）-9 =［（x+1)(x+7）]［（x+3）（x+5)］-9
=9)158)(78(2
2-++++x x x x 以下同于例3
=9]105)8(22)8[(222-++++x x x x =)8(22)8(2
22x x x x ++++96
=]6)8)][(16)8[(22++++x x x x =
)68)(168(22++++x x x x （24)把x （x+1）（x+2)（x+3）—24分解因式
评析:通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x 2
+3x ）,第二和第三个
一次式相乘出现（x 2+3x ）。

可以设x 2
+3x=a ，会有a （a+2)—24,此时已易于分解 解：x （x+1)(x+2）（x+3）-24 =［x(x+3）]［（x+1）(x+2）］—24
=24)23)(3(2
2-+++x x x x
=24]2)3)[(3(22-+++x x x x =24)3(2)3(222-+++x x x x =)43)(63(2
2-+++x x x x
（25）把
10)3(2)13(222-+-++x x x x 分解因式 评析：不要急于展开22)13(++x x ，通过观察前两项，发现它们有公共的x 2
+3x ，此时把它看成一个整体将使运算简化。

解：10)3(2)13(2
22-+-++x x x x
=10)3(21)3(2)3(2222-+-++++x x x x x x =)33)(33(9)3(2
222-+++=-+x x x x x x
（26）把分解因式))((4)(2
d c b a d c b a +++--+
评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b ）和(c+d ）.据此可把它们看作为一个整体.
解:))((4)(2
d c b a d c b a +++--+
=
))((4)]()[(2
d c b a d c b a ++++-+ =))((4)())((2)(2
2d c b a d c d c b a b a +++++++-+
=2
2)())((2)(d c d c b a b a ++++++
=2
2)()]()[(d c b a d c b a +++=+++
（27）把3
2)1()1()1(1+++++++a a a a a a a 分解因式
评析：把（1+a ）看成一个整体，第一项1与第二项a 也合成一个整体(1+a)
解：3
2)1()1()1(1+++++++a a a a a a a
=])1()1(1)[1(2
a a a a a a ++++++ =)]1(1)[1)(1(a a a a a +++++
=4
)1()1)(1)(1)(1(a a a a a +=++++
（28）把4112622
2-++-+y x y xy x 分解因式
评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到
)2)(32(6222y x y x y xy x +-=-+ 此时可设411262)2)(32(2
2-++-+=+++-y x y xy x n y x m y x
再用待定系数法求出m 和n
解:设
41126222-++-+y x y xy x =
mn
y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22
比较两边对应系数 得到 m+2n=2 ① -3n+2m=11 ②
mn=—4 ③
由①和② 得到m=4，n=-1 代入③也成立
∴4112622
2-++-+y x y xy x =（2x-3y+4）（x+2y-1）
(29)把
31048222+---+y x y xy x 分解因式 解:
31048222+---+y x y xy x =3104)2)(4(+---+y x y x y x =（x+4y+m)(x-2y+n ）
=mn y m n x n m y xy x +-+++-+)24()(822
2。