2018-2019学年北京市房山区八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷
、选择题（本题共 16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有 个.
1.
. （2分）下列各点在函数 y=2x-1
的图象上的是（
）
A. （1, 3） B . （-2, 4）
C. （3, 5）
D. （T, 0）
2
2. （2分）一兀二次方程 x - 3x-1 = 0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3. （2分）如果用配方法解方程 x 2
-2x-1=0,那么原方程应变形为（ ）
A. （x —1） 2=1 B . （x+1） 2=1
C. （x+1） 2=2
D. （x- 1） 2=2
4. （2分）如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小超想测量
直接到达，他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达 的中点D, E,并且测出DE 的长为8m,则A, B 间的距离为（
）
5. （2分）如图，？ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点 O, ABXAC.若 AB=4, AC=6,
7. （2分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作
两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从 这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，则下列说法不一
A, B 间的距离，但不能 A, B 的点C,找到
AC, BC
C. 16m
D. 17m
6. C. 9
D.
A.变化范围
B.平均水平
C.数据个数
D. 波动大小
A . 14m
（2分）方差是表示一组数据的
（
定成立的是（）
8. （2分）如图，△ DEF 是由△ ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（
A . （1, 1） B. （2, 0） C. （0, 1） D, （3, 1）
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. （ 2分）方程x2-x=0的解是.
10. （2分）如果一次函数 y= kx+b 的图象经过第二、三、四象限，请你写出一组满足条件 的 k, b
的值：k=, b =.
11. （2分）如图是一个窗户造型，为正八边形，则/ 1 =。

.
12. （2分）如图，已知函数 y=x+1和y=ax+3的图象交于点 P,点P 的横坐标为1,则a
的值是 ________
B. S A AEF = S A ANF
C. S 矩形 NFGD=S 矩形 EFMB
D . S A ANF= S 矩形
NFGD
5
A. S A ABC = S ADC
J小
T=tK+3
V
13.（2分）某种手机每部售价为a元，如果每月售价的平均降低率为x,那么2个月后，这
种手机每部的售价是元.（用含a, x的代数式表示）
14.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A （0,1；），B （ - 1, 0）,菱形ABCD 的
顶点C在x轴的正半轴上，则点D的坐标为 .
15.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A （ - 3, 0）, B （ - 1, 2）.以原点O为
旋转中心，将4AOB顺时针旋转90° ,再沿y轴向下平移两个单位，得到△ A' O' B', 其中点A'与点A对应，点B'与点B对应.则点A'的坐标为，点B'的坐标为.
V
16.（2分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转
30°后得到正方形
EFCG , EF交AD于点H ,那么DH的长是
、解答题（本题共68分，第17题8分，18-23题每题5分，第24-28题每题6分）
17.（8分）解下列一元二次方程：
（1）（x- 1） 2=2
（2）2x2—4x- 3=0
18.（5分）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l
的平行线”.
小明的作法如下：
①在直线l上取一点A,以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B;
②分别以P, B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q （与点A不重合）；
③作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小明的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：= AB = AP= = .
，四边形ABQP是菱形（）（填推理的依据）.
PQ// l.
19.（5分）已知：关于x的一元二次方程x2-4x+m+1 = 0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的两个根.
20.（5分）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：
“一块矩形田地面积为55,长边比短边多6,问长边多长？” .请你用学过的一元
二次方程知识解决这个问题.
21.（5分）已知一次函数y=kx+b （kw0）,当0w xw3时，-1WyW2,求此一次函数的表达式.
22.（5分）如图，直线y = （x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C在线段AB上, 0
点D 在y 轴的负半轴上，C 、D 两点到x 轴的距离均为2.
(1)点C 的坐标为： ，点D 的坐标为： ;
(2)点P 为线段OA 上的一动点，当 PC+PD 最小时，求点 P 的坐标.
DA 的中点，判断EG 与FH 的数量关系并加以证明.
25. (6分)某中学为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，由体育老师随机抽取了八
年级40名学生进行一分钟跳绳测试， 以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分
频数分布直方图.如下表所示： 组别 次数x 频数
第
1组 80<x< 100 4 第2组
100<x< 120
b
E 、
F 、
G 、
H 分另1J 为 AB 、BC 、CD 、
24. (6 分)如图，在？ABCD 中，/ ABD=90° ,延长
AB 至点E,使BE = AB,连接CE .
(1)求证：四边形 BECD 是矩形;
(2)连接DE 交BC 于点F,连接AF,若CE = 2, / DAB = 30 ° ,求 AF 的长.
ACXBD,
第3组 120 Wxv 140
a 第4组 140<x< 160 14 第5组
160<x< 180
3
(1)表中 a =, b =
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若八年级学生一分钟跳绳的成绩标准是：
xv 120为不合格；120Wxv 140为合格;
140Wxv 160为良好；x> 160为优秀.如果该年级有 320名学生，根据以上信息，请你
27. (6分)如图，在正方形 ABCD 中，P 为边AD 上的一动点(不与点 A 、D 重合)，连接
BP,点A 关于直线BP 的对称点为 E,连接AE, CE. (1)依题意补全图形； (2)求/ AEC 的大小；
(3)过点B 作BFLCE 于F,用等式表示线段 AE 、CF 和BF 的数量关系，并证明.
28. (6分)平面直角坐标系 xOy 中，对于点A ( m, n)和点B (m, n'),给出如下定义:
;优秀的人数为
x
2
- 4ax+4a 2- 4a- 5=0 与 ax 2
- 4x+4
估计该年级跳绳不合格的人数为
元二次方程
=0的根都是整数.
若n' 则称点B为点A的可变点.例如：点(1, 4)的可变点的坐标是(1, 向(1)
4),点(-1, 4)的可变点的坐标是(- 1, -4).
(1)①点(J5，1)的可变点的坐标是；
②在点A ( - 1, 2), B (2, - 4)中有一个点是函数y=2x图象上某一个点的可变点，
这个点是;(填" A〃或" B〃)
(2)若点A在函数y=x+2 (- 4<x< 3)的图象上，求其可变点B的纵坐标n'的取值
范围；
(3)若点A在函数y= - x+4 ( - 1 w xw a, a> - 1)的图象上，其可变点B的纵坐标n' 的取值范围是-5Wn' < 3,直接写出a的取值范围.
1 -
_ _ 1 _ L J _ 」一一」L 一绡
-6 -5 -4 -3 -2 _ 1 2 3 4 5 6 x
2018-2019学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.（2分）下列各点在函数y=2x-1的图象上的是（）
A. （1, 3）
B. （-2, 4）
C. （3, 5）
D. （T, 0）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一验证四个选项中的点是否在一次函数
的图象上，此题得解．
【解答】解：A、当x= 1时，y=2x— 1=1,
.•・点（1,3）不在函数y=2x- 1的图象上；
B、当x= - 2 时，y=2x—1= - 5,
.•・点（-2, 4）不在函数y=2x- 1的图象上；
C、当x = 3 时，y= 2x — 1 = 5,
.•・点（3, 5）在函数y=2x- 1的图象上；
D、当x= - 1 时，y=2x— 1 = - 3,
.•・点（-1,0）不在函数y=2x- 1的图象上.
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足
函数关系式y= kx+b是解题的关键.
2
2.（2分）一元二次方程x - 3x-1 = 0的根的情况是（）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
【分析】计算方程根的判别式进行判断即可．
【解答】解：
2
. x — 3x— 1 = 0,
2 「•△= （- 3）-4X1X （- 1） = 9+4= 1
3 >0,
，该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关
键.
3. (2分)如果用配方法解方程 x 2
-2x-1=0,那么原方程应变形为( )
A. (x —1) 2= 1 B . (x+1) 2
= 1 C. (x+1) 2=2
D. (x- 1) 2=2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式 后即可得.
2
【解答】解：x -2x=1,
x
2 - 2x+1 = 1+1 ,
则(x-1) 2=2, 故选：D .
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键.
4. (2分)如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小超想测量
直接到达，他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达 的中点D, E,并且测出DE 的长为8m,则A, B 间的距离为(
)
A . 14m
B . 15m C. 16m D. 17m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可. 【解答】解：二•点D, E 分别为AC 、BC 的中点，
AB=2DE = 16 (cm),
故选：C.
【点评】 本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半是解题的关键.
5. (2分)如图，？ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点 O, ABXAC.若 AB=4, AC=6,
则BD 的长为(
)
A, B 间的距离，但不能 A, B 的点C,找到
AC, BC
AO=3,在RtAABO 中利用勾股定理可得 BO= 5,
则 BD = 2BO= 10.
【解答】解：二•四边形 ABCD 是平行四边形，
，BD=2BO, AO=OC=3.
在RtAABO 中，利用勾股定理可得 BO =^42
+32=
5
BD= 2BO = 10.
故选：B.
【点评】 本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理.解题的技巧是平行四边形转化 为三角形问题解决.
6. （2分）方差是表示一组数据的（ ）
A.变化范围
B.平均水平
C.数据个数
D.波动大小
【分析】根据方差的意义选择正确的选项即可.
【解答】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程 度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好. 故选：D.
【点评】本题主要考查了方差的定义，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大 小的一个量.
7. （2分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作
两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从 这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，则下列说法不一 定成立的是（
）
C. 9
D. 8
【分析】利用平行四边形的性质可知 .V
A . S A ABC = S A ADC
B . S A AEF= S A ANF
C . S 矩形NFGD=S 矩形EFMB
D . S A ANF= S 矩形NFGD
【分析】根据矩形的性质：一条对角线分成的两个三角形面积相等，可知A和B选项内容正确，不符合题意；
根据△ ABC面积=△ ADC面积，4AEF面积=△ ANF面积，△ FMC面积=△ FGC面积，
阴影部分面积即可判断C选项；
因为△ ANF面积=J L NF X AN,矩形NFGD面积=NFXND,若4ANF面积=矩形NFGD 2
面积，则AN=2ND,而已知不一定AN=2ND,所以D选项内容错误，D符合题意.
【解答】解：二•四边形ABCD是矩形，AC为对角线，
・•.△ABC 面积=△ ADC 面积.
所以A选项内容正确，不符合题意；
根据作图过程可知四边形AEFN是矩形，AF为其对角线，
所以△ AEF面积=△ ANF面积.
所以B选项内容正确，不符合题意；
因为△ ABC面积=△ ADC面积，4AEF面积=△ ANF面积，△ FMC面积=△ FGC面积，
所以△ ABC面积-△ AEF面积-△ FMC面积=△ ADC面积-△ ANF面积-△ FGC面积，
所以矩形NFGD面积=矩形EFMB面积，C选项内容正确，不符合题意；
因为△ ANF面积=—NFX AN,矩形NFGD面积=NFXND,
2
若4ANF面积=矩形NFGD面积，则AN=2ND,
而已知不一定AN=2ND,所以D选项内容错误，D符合题意.
故选：D.
【点评】本题主要考查了矩形的性质、解决这类问题的方法是四边形转化为三角形，利
用三角形面积间的和差关系进行判断.
8.（2分）如图，△ DEF是由△ ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心. 【解答】解：如图，点 P 即为旋转中心，P （0, 1）,
故选：C.
【点评】本题考查旋转变换，记住对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心是解 题的关键.
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. （2分）方程x 2
-x=0的解是
0或1 .
【分析】本题应对方程进行变形， 提取公因式x,将原式化为两式相乘的形式， 再根据“两 式相乘值为0,这两式中至少有一式值为 0”来解题. 【解答】解：原方程变形为：x （x-1） =0,
x= 0 或 x= 1.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法. 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法.本题运用的是 因式分解法.
10. （2分）如果一次函数 y= kx+b 的图象经过第二、三、四象限，请你写出一组满足条件
A. (1, 1)
B. (2, 0)
C. (0, 1)
D. (3, 1)
的k, b 的值：k= T , b= - 2 .
【分析】根据一次函数图象经过的象限确定出k与b的正负，写出一组满足题意的值即可.
【解答】解：二.一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
・•.k<0, b<0,
则满足题意的一组值为k= - 1, b=- 2,
故答案为：-1; - 2
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
11.(2分)如图是一个窗户造型，为正八边形，则/ 1= 45 ° . O
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案.
【解答】解：360° + 8 = 45° ,
故答案为：45.
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键.
12.(2分)如图，已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P,点P的横坐标为1,则a 的值是-1 .
\ 八二1+1
X
■V
【分析】把x= 1代入y= x+1求得点P (1, 2),把P (1, 2)代入y= ax+3即可得到结论.
【解答】解：:函数y= x+1和y= ax+3的图象交于点P,点P的横坐标为1,
，把x= 1 代入y=x+1 得，y=2,
，点P (1, 2),
把P （1, 2）代入y = ax+3 得2= a+3,
a = - 1,
故答案为：-1.
【点评】本题考查了两直线相交或平行，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意
是解题的关键.
13.（2分）某种手机每部售价为a元，如果每月售价的平均降低率为x,那么2个月后，这
种手机每部的售价是 a （1 -x）2元.（用含a, x的代数式表示）
【分析】由每月的降价率，结合原价即可找出2个月后该手机的售价，此题得解.
【解答】解：二.每月售价的平均降低率为x,
2个月后，这部手机降价（1 - x）2,
2
2个月后，这种手机每部的售价是 a （1-x） 2.
故答案为：a （1-x）2.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键.
14.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A （0,英），B （T, 0）,菱形ABCD 的顶点
C在x轴的正半轴上，则点D的坐标为（2,炳）.
【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可得AB= AD = 2, AD // BC,即可求点D坐标.
【解答】解：二•点A （0,点），B （- 1, 0）,
AO= V3, BO= 1
AB=V AO2+BO2= 2
•••四边形ABCD是菱形
AB= AD = 2, AD // BC
•••点D坐标（2,如）
故答案为：（2,加）
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，求AB的长是本题的关键.
15.(2分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A ( - 3, 0), B ( - 1, 2).以原点O为
旋转中心，将4AOB顺时针旋转90° ,再沿y轴向下平移两个单位，得到△ A' O' B', 其中点A'与点A对应，点B'与点B对应.则点A'的坐标为(0, 1)，点B'的
坐标为(2, - 1) .
【分析】根据题意画出图形，即可解决问题；
【解答】解：观察图形可知，A' (0, 1), B' (2, - 1);
y 1
i ■
故答案为(0, 1)或(2, - 1).
【点评】本题考查旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是学会正确画出图形解决问
题，属于中考常考题型.
16.(2分)如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG , EF
交AD于点H ,那么DH的长是__立—.
【分析】连接CH ,可知△ CFH ^ACDH (HL),故可求/ DCH的度数；根据三角函数
定义求解.
【解答】解：连接CH.
••・四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形
EFCG,
.•.Z F = Z D=90° ,
・•.△ CFH与^ CDH都是直角三角形，
在RtACFH 与RtACDH 中，
・・代FXD
• 4 ?
lCH=CH
CFH^A CDH (HL).
・ ./ DCH =-Lz DCF = J- (90° - 30° ) = 30° . 2 2
在RtACDH 中，CD = 3,
DH = tanZ DCH XCD=
故答案为：Vs .
【点评】此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键.
三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-23题每题5分，第24-28题每题6分）
17. （8分）解下列一元二次方程：
（1）（x- 1） 2=2
（2）2x2- 4x- 3=0
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1,配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：（1）（x— 1） 2=2,
x- 1 = 土近，
x1 = 1 + '眄,x2 = 1 - ypi；
(2) 2x2- 4x- 3=0, 2
2x — 4x = 3, x2 - 2x = § x Jx
2
x
2 - 2x+1 = Jl+1 , (x —1)
xi
孚所-亨
【分析】（1）根据要求作出图形即可.
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断. 【解答】解：（1）如图所示.
【点评】本题天考查了解 二次方程，能选择适当的方法解
二次方程是解此题的
关键.
18. （5分）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线
l 外一点 P 作已
知直线l 的平行线”. 小明的作法如下:
①在直线 1上取一点A,以点A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 1于点B;
②分别以 P, B 为圆心，以AP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q （与点A 不重合）
③作直线 PQ.
所以直线 PQ 就是所求作的直线. 根据小明的作图过程,
（1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：••• AB = AP= PQ
BQ
••・四边形ABQP 是菱形（ 四边相等的四边形是菱形 ）（填推理的依据）.
PQ//
1.
，四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
・ .PQ// 1.
故答案为：PQ, BQ,四边相等的四边形是菱形.
【点评】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型.
19. （5分）已知：关于x的一元二次方程x2-4x+m+1 = 0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的两个根.
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围；
（2）由（1）中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可.
【解答】解：（1）二.一元二次方程有两个不相等实根，
「•△= 16-4 （m+1） >0,
12- 4m>0, m< 3;
（2）.••当m= - 1 时，
x （x—4） = 0,
- X1 = 0, x2 = 4.
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.
20.（5分）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：
“一块矩形田地面积为55,长边比短边多6,问长边多长？” .请你用学过的一元
二次方程知识解决这个问题.
【分析】根据长方形的面积公式列式计算即可.
【解答】解：设矩的长为X,则宽为X-6,
根据题意得：x (x - 6) = 55,
解得：x= 11或x= - 5 (舍去)
答：长为11.
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解矩形的面积计算方法，难度不
大.
21.(5分)已知一次函数y=kx+b (kw0),当0w xw 3时，-1WyW2,求此一次函数的表达式.
【分析】分两种情况考虑：k>0与kv 0,分别确定出解析式即可.
【解答】解：当k>0时，一次函数y随x的增大而增大，即x=0时，y=- 1,x= 3时,
y=2,
代入得：件T ,
l t3k+b=2
解得：( I ,
此时一次函数解析式为y=x- 1；
当k<0时，一次函数y随x的增大而减小，即x=0时，y=2, x= 3时，y= - 1,
r f b= 2
代人得：J ,
13k+b=-l
解得：(n,
lb=2
此时一次函数解析式为y= - x+2,
综上，一次函数的表达式为y= x- 1或x= - x+2.
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
…，一2 ............ ..... .... .............. . .
22.(5分)如图，直线y = ^x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C在线段AB上, 点D在y轴
的负半轴上，C、D两点到x轴的距离均为2.
(1)点C的坐标为：(-3, 2) ，点D的坐标为：(0, - 2) ;
(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+PD最小时，求点P的坐标.
(2)当C 、P 、D 共线时，PC+PD 的值最小，求出直线 CD 的解析式即可解决问题;
【解答】解：(1)由题意点C 的纵坐标为2, y=2时，2 = Z x+4,
3
解得x= - 3,
.•.C (- 3, 2),
•・•点D 在y 轴的负半轴上，D 点到x 轴的距离为2,
D (0, - 2),
故答案为(-3, 2) , (0, - 2);
(2)当C 、P 、D 共线时，PC+PD 的值最小，
设最小CD 的解析式为y=kx+b,则有［七卜+七二2,
L
b=-2
解得1
3 ,
上一2 ....... .. 4
，直线CD 的解析式为y= - —x- 2,
3
.. 一，
只
当 y=0 时，x=——,
2
P (- 2 0).
2
【点评】 本题考查一次函数图象上的点坐标特征，两点之间线段最短等知识，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
23. (5分)已知：如图，四边形 ABCD 中，ACXBD, E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、 DA 的中点，判断EG 与FH 的数量关系并加以证明
.
CD 、
A
【分析】连接EF、FG、GH、HF,根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质证明结论.
【解答】解：EG=FH,
理由如下：连接EF、FG、GH、HF ,
.「E、F分别为AB、BC的中点，
EF = JL AC, EF // AC, 2
•••G、H分别为CD、DA的中点，
HG=X A C, HG//AC, 2
EF= HG , EF // HG,
••・四边形EFGH为平行四边形，
••• EF // AC, AC± BD,
••• EFXBD,
•••F、G分别为BC、CD的中点，
FG // BD,
••• EFXFG,
••・平行四边形EFGH为矩形，
EG= FH .
【点评】 本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定 定理是解题的关键.
24. （6分）如图，在？ABCD 中，/ ABD=90° ,延长 AB 至点E,使BE = AB,连接 CE .
（1）求证：四边形 BECD 是矩形;
(2)连接DE 交BC 于点F,连接AF,若CE = 2, / DAB=30° ,求AF 的长.
CD = AB, CD//AB,推出四边形 BECD 是平行
四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）取 BE 中点 G,连接 FG.由（1）可知，FB = FC = FE,得到 FG=^CE=1, FG
2
±BE,解直角三角形即可得到结论.
【解答】（1）证明：二•四边形 ABCD 是平行四边形,
.•.CD = AB, CD // AB, ・ •• BE= AB, BE=CD,
••・四边形BECD 是平行四边形,
・ . / ABD =90 ° , ・ ./ DBE = 90° . ••.?BECD 是矩形；
(2)解：如图，取 BE 中点G,连接FG.
由(1)可知，FB = FC = FE,
FG = L CE =1, FGXBE , 2
・ •・在？ ABCD 中，AD // BC, ・ ./ CBE=Z DAB = 30° . BG= VS. AB= BE= 2V3. AG =
,
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到
D C
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，含30。

交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.
25.(6分)某中学为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，由体育老师随机抽取了八
年级40名学生进行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图.如下表所示：
请结合图表完成下列问题：
(1)表中a= 11 , b= 8 ;
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若八年级学生一分钟跳绳的成绩标准是：xv 120为不合格；120Wxv 140为合格;
140Wxv 160为良好；x> 160为优秀.如果该年级有320名学生，根据以上信息，请你估计该年级跳绳不合格的人数为96 ;优秀的人数为24 .
个百
141210 8-- —
6
' S0 100 120 140 160 180 次数
【分析】(1)由统计图可知b= 8,由统计表可知a = 40- (4+8+14+3) =11;
(2)频数分布直方图见答案；
320 X 8+4 = 96 （人），优秀的人数 32°X =L = 24 （人）.
【解答】解：(1)由统计图可知 b = 8, 由统计表可知 a=40- (4+8+14+3) =11, 故答案为11, 8;
(2)频数分布直方图补充如下：
6 . 4 .... _
2 ■
° SO 100 120 140 160 ISO_
(3)该年级跳绳不合格的人数 320X-^- = 96 (人)， 必 40
优秀的人数320X*=24 (人)， 故答案为96, 24.
【点评】 本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
26. (6分)当a 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 x 2- 4ax+4a 2- 4a- 5=0与ax 2
- 4x+4 =0的根
都是整数.
【分析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式0,即可得到关于 a 不等式, 从而求得a 的范围，再根据a 是整数，即可得到 a 的可能取到的几个值，然后对每个值 进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定
a 的值.
【解答】 解：,「关于x 的一■兀二次方程 x? - 4ax+4a2-4a - 5= 0与ax?-4x+4= 0有解， 则 aw0,
0,
x - 4ax+4a2-4a - 5= 0,
(- 4a) 2
—4X1X (4a2—4a —5) > 0,即 a<
;
4 ax2- 4x+4 = 0,
△ = 16 - 4X aX4= 16- 16a>0, a< 1；
(3)该年级跳绳不合格的人数
-殳&a< 1,且a w 0,而a是整数，
4
a = - 1, a= 1,
①当a= - 1 时，方程x2- 4ax+4a2-4a - 5= 0 为x2+4x+3 = 0,方程的解是x1 = - 1, x2
=一3；
ax2-4x+4= 0即-x2-4x+4= 0, x2+4x- 4 = 0,此时方程的解不是整数；
② 当a= 1 时，方程x2—4ax+4a2—4a — 5= 0 为x2— 4x— 5= 0,方程的解是x1 = 5, x2=
—1 ；
ax2 — 4x+4= 0 即x2 —4x+4 = 0,方程的解是x〔=x2=2;
综合上述：当a是1时，ax2— 8x+7 = 0与x2— 4ax+4a2— 4a —5= 0的根者B是整数.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c= 0 (aw0)的根的判别式△= b2-4ac：当
△ >0,方程有两个不相等的实数根；当^= 0,方程有两个相等的实数根；当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解法.
27. (6分)如图，在正方形ABCD中，P为边AD上的一动点(不与点A、D重合)，连接BP,点A关于
直线BP的对称点为E,连接AE, CE.
(1)依题意补全图形；
(2)求/ AEC的大小；
(3)过点B作BFLCE于F,用等式表示线段AE、CF和BF的数量关系，并证明.
【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可得；
(2)连接BE,由点A、E 关于BP 对称知/ BAE=/ BEA, BA=BE,由BA=BC 知BE
= BC,得/ BEF = / BCF,根据四边形的内角和为360°且/ ABC = 90°可得答案；
(3)延长BP、CE,交于点Q,由对称知AE=2ME , / EBM= —Z ABE, / QME = / AMB
2
= 90°，由/AEC= 135° 知/ QEM = 45°，得QE = &ME ,即QE =返AE,再由/ CBF
2 =Z EBF = JL/ CBE, CF=EF 得/ EBM + Z EBF=X (/ CBE+/ABE) =45°，在RtA 2 2
QBF中，根据BF = QF = QE + EF可得答案.
【解答】解：(1)如图所示，
B---------------- C
(2)如图，连接BE,
•・•点A、E关于BP对称，
BAE=Z BEA, BA= BE,
••• BA= BC,
BE= BC,
•./ BEF = Z BCF ,
•. /ABC=90° 且/ ABC+ZBAE+Z BEA+ZBEC+Z BCE = 360° ,••.Z BEA+Z BEC= 135° ,即/ AEC= 135° ;
(3)BF = -^AE+CF,
2
延长BP、CE,交于点Q,
・・•点A、E关于BP对称，
・.AE=2ME, ZABM = Z EBM=-i-ZABE, Z QME = Z AMB = 90° ,
2
・. / AEC= 135° ,
・./ QEM = 45° ,
则QE = V2ME,
.•.QE=2/1AE,
2
••• BF^CE 且BE= BC,
CBF=/ EBF=L CBE, CF = EF,
2
・. / CBE+/ABE=90° ,
・./ EBM+/EBF=_! (/CBE+/ABE) =45° ,
2
・•・在RtA QBF 中，BF = QF=QE+EF,
贝U BF =2/H AE+CF.2
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、轴对称的性质及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点.
28. (6分)平面直角坐标系xOy中，对于点A ( m, n)和点B (m, n'),给出如下定义：
若n' = nimx」则称点B为点A的可变点.例如：点(1, 4)的可变点的坐标是(1,
4),点(-1, 4)的可变点的坐标是(- 1, -4).
(1)①点(心1)的可变点的坐标是(点,1) ;
②在点A ( - 1, 2), B (2, - 4)中有一个点是函数y=2x图象上某一个点的可变点，
这个点是A ;(填" A”或" B〃)
(2)若点A在函数y=x+2 (- 4<x< 3)的图象上，求其可变点B的纵坐标n'的取值
范围；
(3)若点A在函数y= - x+4 ( - 1 w xw a, a> - 1)的图象上，其可变点B的纵坐标n'
的取值范围是-5Wn' < 3,直接写出a的取值范围.
6 -
5 -
4 -
3 -
2 ~
1 -
一一L _ L 」_ 」一一」L 一.
・6 -5 -4 -3 -2 -1Q _ 1 2 3 4 5 6 x
【分析】(1)①按定义求解即可；②把x=- 1和x=2分别代入y=2x求得某一个点的
坐标，根据定义求得可变点，即可求得答案；
(2)当分为-4Wmv1, 1WmW3两种情况求得n'的范围，从而得到n'的范围；
(3)根据题意可知y= - x+4 (- 1<x< a, a> - 1)的图象上的点A的可变点B必在函
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数n = fr+4 G>1）的图象上，结合图象即可得到答案.
J-4（E<1）
【解答】解：（1）①,.会》1,
，点（的，1）的可变点的坐标是（如，1） .
故答案为：（如，1）;
②当x= - 1 时，y= 2X （— 1） = — 2,
，函数y= 2x图象上某一个点是（-1 , -2）,
.•・点（-1, -2）的可变点的坐标是A （-1, 2）,
・・・当x=2 时，y=2X 2=4,
・•・函数y=2x图象上某一个点是（2, 4）,
・•. （2, 4）的可变点的坐标是（2, 4）,
综上，点A （ - 1, 2）是函数y=2x图象上某一个点的可变点, 故答案为A; （2）当-4Wmv1时，由题意得：n' = - n,
丁点A （m, n）在函数y=x+2上，
「•点（m, - n'）在函数y= - x- 2 上，
• - - n = - m - 2,
m= n' - 2,
. . 一4Wn' - 2< 1
•. - 2Wn' v 3.
当1WmW3时，由题意得n=n'.
丁点A (m, n)在函数y=x+2上,
( m, n')在函数y=x+2 上，
•. n' = m+2,
m= n' - 2,
•.1Wn' - 2<3,
3< n' & 5.
综上所述：-2W n' < 5.
(3)依题意，y= — x+4 (— 1 < x<
a,
a>- 1）图象上的点
图象A的可变点B必在函数n' 上 , 如
当x= 1时，n'取最大值，n'= - 1+4=3,
当n'=—5 时，*—4=_5或_ x+4= _ 5, x= - 1 或x = 9,
当n ' = — 3 时，—x+4 = — 3. x= 7.
— 5< nV 3,
，由图象可知，k的取值范围时：7W k<9.
【点评】本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是依照题意，画出函数图象，利用数形结合找出结论.。