常数项级数收敛性判别法精品

湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
例4 判别交错级数 (1)n1 1 的收敛性.
n1
n
解
因为
un

1, n
un1

1, n 1
所以有 un un1,
且
limun
n
n1
n1

2知，级数 un 收敛. n1
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例5
证明级数 (1)n1 sinn
n1
n4
收敛.
解 因为
(1)n1 sinn 1 ,
0.5
s1 s2 s3 sn
s1
s2 s3 sn
0O
1
x
-0.5
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定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列
sn 有界.


比较审敛法 设两个正项级数 un和vn, 且
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业
Hunan Foreign Economic Relations & Trade
小结：
学院
College
1．正项级数：
（1）定义；
（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法； 2．交错级数： （1）定义； （2）审敛法； 3．任意项级数：
（1）绝对收敛与条件收敛； （2）绝对收敛定理

无界，所以级数vn 发散. n1
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例1 级数
1 1 1 1 ( p 0)
n 1 2 p
p
p
n1
np
称为p—级数. 试讨论它的收敛性.

所以根据比较审敛法，级数
1 发散.
n1 n(n 1)
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比值审敛法 对于一个正项级数un , 若 n1
limun1 , 则当ρ<1时，级数
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（2）因为n(n+1)<(n+1)2，所以 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 1 1 1 1
n1 n 1 2 3 4
n 1
是调和级数去掉第一项1所成的级数，因此它是发散的，
（2）因为
lim
n
u n1 un

lim
n
3n1 (n 1)! (n 1)n1

nn 3n n!

lim3
n
(
nn )
n 1

3
1 lim(1
1
n
)

3 e

1.
n n
所以级数发散.
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1 n2
各项取绝对值所得
的级数为
111
1
1 22 32 42 n2
它是收敛的，所以原级数
n1
(1) n1
1 n2
绝对收敛.
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n1
n1
u

v un vn (n=1,2,…).（1）若级数
收敛，则级数
n
n
n1
n1


收敛；（2）若级数 un 发散，则级数 vn 发散.
n1
n1
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Hunan
Foreign
Economic Relations
n
& Trade
n

（1）
n1
n. 2n1

（2）
n1
3n n!. nn
解 （1）因为
limun1 u n n

lim
n
n 2n
1
2n1 n

1 lim

2 n
n 1 n
1 2
1,
所以级数收敛.
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解 当 p 1时，因为
1 1 (n 1,2,), np n
而级数
n1
1 n
发散，所以级数
n1
1 np
发散.
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8·2 常数项级数收敛性判别法 案例研究
数学家欧拉
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则级数 un 称为任意项级数. n1


定义 若级数 |un |收敛，则称级数un 绝对收
n1
n1
敛.
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例
任意项级数
n1
(1) n1
抽象归纳
贸易
Relations
职业
& Trade
学院
College
正项级数的审敛法

若常数项级数 un 的每一项都是非负的，即 n1

un0(n=1，2，3，…)，则称级数 un为正项级数. n1

设正项级数 un 的部分和为sn , 则部分和构成的 n1
数列 sn 是一1 个单调增加的数列，即
交错级数的审敛法
一个级数若具有以下形式
u1 u2 u3 u4 或具有以下形式
u1 u2 u3 u4 则称为交错级数，其中 un 0(n 1, 2, ).
例 下面的级数就是一个交错级数
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
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lim
n
1 n

0,
所以由交错级数的审敛法知，级
数 (1)n1 1 收敛.
n1
n
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绝对收敛与条件收敛

定义 若级数 un 中各项可以是正数、负数或零， n1
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当 p 1,n 2 时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的
面积小，所以有
sn
1
1 2p

1 3p

1 np
1
n 1
1 xp
d
x

1
1
1 xp
d
x
1
1. p 1
1
即级数 n1 n p 的部分和数列有界，所以收敛.
问：如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级数是
否一定收敛呢？


定理 若级数 un 绝对收敛，则级数 un 必收敛.
n1
n1
证
令
an

1 2
(
u
n
un),
bn

1 2
(
un

un).
于是，
有
0 an un , 0 bn un .
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College
证 设 n vk , sn uk . 当 un vn 时，则
k 1
k 1
有 sn n .

（1）当级数 vn 收敛时，数列 n有界，从而数列 sn n1

u 有界，所以级数 n 收敛. n1

（2）当级数un 发散时，数列 sn 无界，从而数列 n n1
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若任意项级数 un 收敛，而级数 |un | 发散，则
n1
n1

称级数un 条件收敛. n1
例
交错级数
n1
(1)n1 1 n
是条件收敛的.

un 收敛；当ρ>1（或
u n n
n1


）时，级数 un 发散；当ρ=1时，级数 un 可
n1
n1
能收敛也可能发散.
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例3 判定下列级数的收敛性
n2
n1
p 2 1, 所以该级数收敛.
例2 判定下列级数的收敛性：

（1）
1
2 n1 n
n.

（2）
1
n1 n(n 1)
2 2 解 （1）因为
1 n2n

1
n
,
而等比级数
n1
1
n
收敛，
所以根据比较审敛法，级数


n1
1
n2n
收敛.
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案例8.2 正整数平方倒数和：研究下面的级数

n1
1 n2
1
1 22
1 32

1 n2
（1）该级数是否收敛？（2）该级数如果收敛，那 么它收敛到多少？
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分析 我们来求它的n项部分和，依次为
s1 1,
1 s2 1 22 ,
11 s3 1 22 32 , ……
11
1
sn 1 22 32 n2 .
因为该级数每一项均是非负的，所以部分和数列
s1, s2 , s3, , sn , 是单调增加的.
湖 南 对 外经 济
Hunan Foreign Economic
n4
n4
而级数
1 n4
n1
是
p=4的p－级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级

数
n1
(1)
n1 sinn n4
收
敛. 所
以，级 数
(1)n1 sinn 是
n1
n4
绝
对
收
敛
的.
从
而
级
数

n1
(1)n1
sinn n4
收敛.
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综上，当p1时，级数
1 np
n1
收敛，当 0 p 1 时，
1
级数 n1 n p 发散.
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案例8.2(1)的解

因为
1
是 p 级数，且
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交错级数审敛法 若交错级数 (1)n1un 满足条 n1
件：(1) un un1 (n 1, 2,
); (2) limun 0, 则交错级 n

数 (1)n1un 收敛. n1
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因为 an ,bn 均为正项级数，且 |un |收敛，所以
n1
n1
n1


由比较审敛法知，级数 an 和 bn 收敛.
n1
n1


又因为 un (an bn), 所以由收敛级数的性质
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问பைடு நூலகம்收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明.
例
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数
却是发散的.
1 1 1 1 1 234 n