2018-2019学年人教A版选修2-2 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念 课件(31张)

部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
C．－ 2＋ 2i D. 2＋ 2i
解析：3i－ 2的虚部为 3，－3＋ 2i 的实部为－3，
所构成的复数为 3－3i.
答案：A
4．给出下列复数：①－2i，②3＋ 2，③8i2，④isin π，⑤4－2i.其中表示实数的是________(填序号)．
解析：②为实数，③8i2＝－8 为实数，④isin π＝0×i
归纳升华 1．如果两个复数不全是实数，它们就不能比较大小． 2．复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0，两个条件缺一不可．
[变式训练] (1)有下列说法： ①1－ai(a∈R)是一个复数； ②纯虚数的平方不小于 0； ③－1 的平方根只有一个，即为－i； ④i 是方程 x4－1＝0 的一个根； ⑤ 2 i 是一个无理数． 其中正确的为________(填序号)． (2)若复数 z＝a2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数， 则实数 a 的值为________．
(3)a＋bi(a，b∈R)中，虚部是复数代数形式中 i 的实 数系数，不含 i，不能说虚部为 bi，也不能说虚部系数为 b.
2．两个复数相等的充要条件： (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是 a，b，c，d∈R，即当 a，b，c，d∈R 时，a＋bi＝c＋di
⇔a＝c 且 b＝d.若无前提条件，则结论不成立；
③两个虚数不能比较大小．
其中，真命题的序号是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
解析：对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时， 为纯虚数．
在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，若 x＝－1，则 x2＋3x＋2＝0，(x2－1)＋(x2＋ 3x＋2)i 不是纯虚数，故②错误；③正确． 答案：D
第三章 数系的扩充与复数的引入
3．1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关
概念
[学习目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程， 体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作 用(重点)． 2.理解复数的基本概念，了解复数的代数表 示法(重点)． 3.理解复数相等的充要条件(重点、难点)．
类型 2 复数的分类
[典例 2] 当实数 m 是何值时，复数 z＝(m2＋m－6)i ＋m2－m7＋m3＋12是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
m2＋m－6＝0，
解：(1)由
得 m＝2.
m＋3≠0，
所以当 m＝2 时，z 是实数．
m2＋m－6≠0， m≠2且m≠－3，
(2)由
2．复数 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是 a＝0 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0.
所以 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条
件．
答案：A
3．以 3i－ 2的虚部为实部，以－3＋ 2i 的实部为虚
1．复数的概念． 在复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中应注意：(1)a，b∈R， 这是确定 z 的实部、虚部的前提，并可进一步判定 z 是实 数、虚数还是纯虚数；(2)设复数 z 时，要注明 a，b 的范 围，如果 z 是纯虚数，可设 z＝bi(b∈R 且 b≠0)；如果 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)．形如 bi 的数 不一定是纯虚数，只有 b∈R 且 b≠0 时，bi 才是纯虚数；
[变式训练] (1)若 xi－i2＝y＋2i(x，y∈R)，则复数 x
＋yi＝( )
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
(2)若 a 为实数，且 4a＋(a2－4)i＝－4i，则 a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：(1)由 i2＝－1，得 xi－i2＝1＋xi，则由题意得 1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得 x＝2，y ＝1， 故 x＋yi＝2＋i. (2)由题意知，4a＋(a2－4)i＝－4i， 所以4aa2－＝40＝，－4，解得 a＝0.故选 B. 答案：(1)B (2)B
2．两个复数相等的充要条件 在复数集 C 中任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c， d∈R)，规定 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b ＝d． 温馨提示 当两个复数不全是实数时，不能比较大
小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可
以比较大小．
3．复数的分类 (1)复数 a＋bi(a，b∈ 实数（b＝0） R)虚数（b≠0）纯非虚纯数虚（数（a＝a0≠）0）
[变式训练] 若复数(a2－a－2)＋(a＋1)i 是纯虚数，
则实数 a 的值为( ) A．－1 B．－2 C．2 D．2 或－1 解析：因为(a2－a－2)＋(a＋1)i 是纯虚数，a2－a－2＝0，来自所以解得 a＝2.
a＋1≠0，
答案：C
类型 3 复数相等 [典例 3] 已知 x，y 是实数，且满足(2x－1)＋(3－y)i ＝y－i，求 x，y.
＝0 为实数，其余为虚数． 答案：②③④
5．满足 x2＋2x＋3i＝m＋xi(x，m∈R)的 m 的值为
________．
x2＋2x＝m，
解析：由已知可得
解得 m＝15.
x＝3，
答案：15
类型 1 复数的概念(自主研析)
[典例 1] 下列命题：
①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1；
(2)集合表示：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零，则 这两个复数相等．( ) (3)若 ab＝0，则 z＝a＋bi 为纯虚数．( ) (4)复数 z＝bi 是纯虚数．( )
解析：(1)错，当 b＝0 时，z＝a＋bi 为实数． (2)对，此时，这两个复数的实部和虚部分别相等． (3)错，当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 为纯虚数，当 b ＝0 时，z＝a＋bi 为实数． (4)错，当 b＝0 时，z 为实数． 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
得
m＋3≠0，
m≠－3，
即 m≠2 且 m≠－3.
所以当 m≠2 且 m≠－3 时，z 是虚数．
m2＋m－6≠0， m≠2且m≠－3，
(3)由m＋3≠0，
得m≠－3，


m2－7m＋12＝0， m＝3或m＝4，
即 m＝3 或 m＝4. 所以当 m＝3 或 m＝4 时，z 是纯虚数．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到 “化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题 来求解．
1．复数的有关概念 (1)复数． ①定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1，a 叫作复数的实部，b 叫作 复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a， b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式．
(2)复数集． ①定义：全体复数所成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母 C 表示．
2x－1＝y， 解：由复数相等的充要条件得
3－y＝－1， y＝4， 解得x＝52.
归纳升华 应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复 数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相 等列方程组．(2)把“复数相等”这一条件转化为两个实 数等式，为应用方程思想提供了条件，同时也是复数问题 实数化的体现．
归纳升华 复数的分类是由复数的实部与虚部的取值范围决定 的：当复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中的 b＝0 时，z 为实数； 当 b≠0 时，z 为虚数；特别地，当 b≠0，a＝0 时，z 为 纯虚数．因此在解本题时，应先分清复数的实部与虚部， 再根据复数的分类，将问题转化为关于未知数的方程(组) 或不等式(组)求解．
解析：(1)因满足形如 a＋bi(a，b∈R)的数均为复数， 故①正确；纯虚数的平方一定小于 0，如 i2＝－1，故② 错误；－1 的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故③错 误；因为 i4－1＝0 成立，故④正确； 2 i 是虚数，而且 是纯虚数，故⑤错误．综上，①④正确．
(2)由条件知 a2－3＋2a＝0，解得 a＝1 或 a＝－3. 答案：(1)①④ (2)1 或－3