数学建模评价模型方法实用教案
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当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01．
计算得 1.1086, 0.8942, a 0.3915, b 0.3699。
则
f
(x)
1
1.1086(x
0.8942)2
1 ,1
x3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
22
第第2二2十页二页/，共共448页8。页
一类多属性(或多指标)的综合评价问题。
4
第第4四页页，/共共484页8。页
一、一般(yībān)数据建模问题的 提出
综合评价是科学、合理决策( juécè)的前提。 综合评价的基础是信息的综合利用。 综合评价的过程是数据建模的过程。 数据建模的基础是数据的标准化处理。
如何构成一个综合(zōnghé)评价问题呢？
（2）分析预测实际(shíjì)对象未来的变化状
1
第第1一页页，/共共484页8。页
1. 一般(yībān)数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般(yībān)方法 3. 数据建模的综合评价方法
4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法
６. 数据建模的预测方法
2
第第2二页页，/共共484页8。页
设系统有 m 个评价指标（属性）
x1, x2, , xm (m 1) ， 即 评 价 指 标 向 量
x (x1, x2, , xm )T 。
7
第第7七页页，/共共448页8。页
综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（3）权重系数 针对每一综合评价问题不同的评价目的，各评
价指标之间的相对重要性是不同的。 权重系数:用来(yònɡ lái)刻画评价指标之间相
在实际数据指标 x1, x2, , xm (m 1) 之间，往往
存在着不可公度性，直接应用是困难的，会出现“大数 吃小数”的错误、从而导致结果的不合理。
常用(chánɡ yònɡ)方法: 标准差法、极值差法和功效系数 法等。
假设 m 个数据指标 x1, x2, , xm ，不妨设已做了类型的一 致化，并有 n 组样本观测值 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 。
5 第第5五页页，/共共484页8。页
一、一般数据建模问题(wèntí) 综合评的价提问出题(wèntí)的五个要素：
（1）被评价对象 综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。 在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个 数要大于 1。
假设一个综合评价问题中有 n 个被评价对象(或系统)， 分别记为 S1, S2, , Sn(n 1)。
根据实际
三、数据建模的综合(zōnghé)评 价方法
1. 线性加权综合法
m
用线性加权函数 y wj x j 作为综合评价模型， j 1
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标(zhǐbiāo)之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标(zhǐbiāo)间信息的 重复，使评价结果不能客观地反映实际。
n i 1
( xij
x
j
)2
1
]2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别 为 0 和 1，即 xij [0,1] 是无量纲的，称之为 xij 的标准观测值。
16
第第1十6六页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
假设 n 个被评价对象的 m 个数据指标向量 x (x1, x2, , xm )T ，权重向量为 w (w1, w2, , wm )T ， 则构造综合评价函数 y f (w, x) 。
第第9九页页，/共共448页8。页
综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意 度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、 人文等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢？
19 第第1十9九页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性指标的量化处理(chǔlǐ) 方法
按国家(guójiā)的评价标准,评价因素一般分为五个 等级，如A，B，C，D，E。
指预 标处 的理
规范化指标
x1, x2,, xm
确系 定数 权
权重系数
w1, w2,,wm
选价 择模 评型
综合评价指
标 y f (x,w)
计算综合 评价指标
依 指 标 y1, y2,, yn 对 s1, s2,, sn 排序或分类
11 第第1十1一页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数。
则 xij [c, c d ] 。
譬如若取 c 60, d 40 ，则 xij [60,100] 。
18
第第1十8八页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性指标(zhǐbiāo)的量化处 理方法
在社会实践中，很多问题都涉及到定性(dìng xìng)因素(指 标)的定量处理问题。
对重要性的大小。
如果用 wj 来表示评价指标 xj ( j 1, 2, , m) 的权
m
重系数，则 wj 0( j 1, 2, , m) ，且 wj 1。 j 1 8 第第8八页页，/共共484页8。页
9
综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（4）综合评价模型 通过(tōngguò)建立合适的综合评价数学模型将多 个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，即得 到相应的综合评价结果。
主要特点： （1）各评价指标间作用得到线性补偿； （2）权重系数(xìshù)的对评价结果的影响明显。
24
第第二2十4四页页/，共共4488页页。
三、数据建模的综合评价(píngjià)
方法
2. 非线性加权综合法
m
用非线性函数 y
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．
21
第第2二1十页一页/，共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性(dìng xìng)指标的量化处理 方法
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1 ；
当“较满意”时，则隶属度为 0.8，即 f (3) 0.8；
x
2(x m) , M m 2(M x) ,
m x 1 (M m) 2
1 (M m) x M
M m 2
即可将中间型数据指标 x 极大化。
13 第第1十3三页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方
1. 数据类法型的一致化处理(chǔlǐ)方
法
（3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则令
15
第第1十5五页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方法
2. 数据指标(zhǐbiāo)的无量纲化处理方 法
(1) 标准差方法(fāngfǎ)
令 xij
xij x j sj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
, m) ，
其中 xj
1 n
n i 1
xij , s j
[1 n
23
二、数据处理的一般(yībān)方
法
3. 定性指标的量化处理(chǔlǐ)
方法
f
(
x)
1
1.1086(
x
0.8942)
2
1,1
x3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
第第二2十3三页页/，共共448页8。页
根据这个 规律，对于任 何一个(yī ɡè) 评价值，都可 以给出一个(yī ɡè)合适的量化 值。
6
第第6六页页，/共共448页8。页
综合评价问题(wèntí)的五个要素
（2）评价指标 它是反映被评价对象(系统)的运行状况的基本要素。 通常问题都有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧 面刻画系统所具有某种特征大小(dàxiǎo)的一个度量。 所有的评价指标一起称为综合评价的指标体系。 原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。
数据(shùjù)处理与数据(shùjù)
建模方法 实际(shíjì)中大量信息或海量信息对应着大 量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需 要的问题答案--数据建模问题。
通过实际(shíjì)对象过去或当前的相关信息， 主要研究两个方面问题：
（1）分析研究实际(shíjì)对象所处的状态和 特征等，依此做出评价和决策；
1. 数据类型的一致化处理(chǔlǐ)方 法
一般问题的数据指标 x1, x2, , xm (m 1) 可能有
“极大型”、“极小型”、“中间型”和“区间型”指标。
极大型:期望取值越大越好； 极小型:期望取值越小越好； 中间型:期望取值既不要(bùyào)太大，也不 要(bùyào)太小为好，即取适当的中间值为最 好; 区间型:期望取值最好是落在某一个确定的区 间内为最好。
也可以是一个团体。 对于评价目的选择、评价指标体系确定
(quèdìng)、权重系数的确定(quèdìng)和评价模型的 建立都与评价者有关。
10
第第1十0页页，/共共484页8。页
综合评价过程 (guòchéng)的流程
明任 确务
对 s1, s2,, sn
进行综合评价
明目 确的
排序或 分类 ?
确 定 评 确定指标 价指标 初始值
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？ 简单地对应数字分量化方法是不科学的！ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种 可行有效的方法。
20
第第2二0十页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān) 方法
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等 级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
3
第第3三页页，/共共484页8。页
一、一般(yībān)数据建模问题 的提出 综合(zōnghé)依据相关信息对被评价的对象所进 行评的价客：观、公正、合理的全面评价。
如果把被评价对象视为系统，则综合评价问 题：在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统 的运行(或发展(fāzhǎn))状况好，哪个状况差？ 即哪个优，哪个劣？
2. 数据指标(zhǐbiāo)的无量纲化处理 方法
(2) 极值(jízhí)差方法
令 xij
xij mj M j mj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
其中 M j m1iaxn {xij}, mj m1iinn{xij}( j 1, 2,
则 xij [0,1] 是无量纲的标准观测值。
, m) ， , m) 。
17
第第1十7七页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān) 2. 数据(方sh法ùjù)指标的无量纲化处理方
法
(３) 功效系数(xìshù)方法
令
xij
c
xij mj M j mj
d
(i
1, 2,
,n; j 1,2,
, m) ，
其中 c, d 均为确定的常数。c 表示“平移量”， d 表示
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
c
b
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b}，M
和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。即可将 x 极大化。
14
第第1十4四页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
2. 数据指标的无量(wúliàng)纲化 处理方法
譬如：评价人对某事件“满意(mǎnyì)度”的评价可分为 {很满意(mǎnyì)，满意(mǎnyì)，较满意(mǎnyì)，不太满意 (mǎnyì)，很不满意(mǎnyì)} 将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。
为取连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函 数：
[1 (x )2 ]1,1 x 3
一、一般数据建模问题的提出
一般(yībān)问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息；
•如何综合利用(zōnghélìyòng)这些相关信息给出 综合评价结果、制定决策方案，或预测未来？
•这类问题都归结为信息综合利用(zōnghélìyòng) 与评价问题。
什么(shén me)是综合评价与综合评价问题呢？
第第1十2二页页，/共共484页8。页
什么是一 致化处理? 为什么要
一致化?
12
二、数据处理的一般(yībān)方 1. 数据类法型的一致化处理(chǔlǐ)方
法Hale Waihona Puke （1）极小型: 对某个极小型数据指标 x ，则令
x 1 (x 0) ,或 x M x ,即可将 x 极大化。 x
（2）中间型: 对某个中间型数据指标 x ，则令
计算得 1.1086, 0.8942, a 0.3915, b 0.3699。
则
f
(x)
1
1.1086(x
0.8942)2
1 ,1
x3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
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一类多属性(或多指标)的综合评价问题。
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第第4四页页，/共共484页8。页
一、一般(yībān)数据建模问题的 提出
综合评价是科学、合理决策( juécè)的前提。 综合评价的基础是信息的综合利用。 综合评价的过程是数据建模的过程。 数据建模的基础是数据的标准化处理。
如何构成一个综合(zōnghé)评价问题呢？
（2）分析预测实际(shíjì)对象未来的变化状
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第第1一页页，/共共484页8。页
1. 一般(yībān)数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般(yībān)方法 3. 数据建模的综合评价方法
4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法
６. 数据建模的预测方法
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第第2二页页，/共共484页8。页
设系统有 m 个评价指标（属性）
x1, x2, , xm (m 1) ， 即 评 价 指 标 向 量
x (x1, x2, , xm )T 。
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第第7七页页，/共共448页8。页
综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（3）权重系数 针对每一综合评价问题不同的评价目的，各评
价指标之间的相对重要性是不同的。 权重系数:用来(yònɡ lái)刻画评价指标之间相
在实际数据指标 x1, x2, , xm (m 1) 之间，往往
存在着不可公度性，直接应用是困难的，会出现“大数 吃小数”的错误、从而导致结果的不合理。
常用(chánɡ yònɡ)方法: 标准差法、极值差法和功效系数 法等。
假设 m 个数据指标 x1, x2, , xm ，不妨设已做了类型的一 致化，并有 n 组样本观测值 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 。
5 第第5五页页，/共共484页8。页
一、一般数据建模问题(wèntí) 综合评的价提问出题(wèntí)的五个要素：
（1）被评价对象 综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。 在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个 数要大于 1。
假设一个综合评价问题中有 n 个被评价对象(或系统)， 分别记为 S1, S2, , Sn(n 1)。
根据实际
三、数据建模的综合(zōnghé)评 价方法
1. 线性加权综合法
m
用线性加权函数 y wj x j 作为综合评价模型， j 1
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标(zhǐbiāo)之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标(zhǐbiāo)间信息的 重复，使评价结果不能客观地反映实际。
n i 1
( xij
x
j
)2
1
]2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别 为 0 和 1，即 xij [0,1] 是无量纲的，称之为 xij 的标准观测值。
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二、数据处理的一般(yībān)方 法
假设 n 个被评价对象的 m 个数据指标向量 x (x1, x2, , xm )T ，权重向量为 w (w1, w2, , wm )T ， 则构造综合评价函数 y f (w, x) 。
第第9九页页，/共共448页8。页
综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意 度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、 人文等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢？
19 第第1十9九页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性指标的量化处理(chǔlǐ) 方法
按国家(guójiā)的评价标准,评价因素一般分为五个 等级，如A，B，C，D，E。
指预 标处 的理
规范化指标
x1, x2,, xm
确系 定数 权
权重系数
w1, w2,,wm
选价 择模 评型
综合评价指
标 y f (x,w)
计算综合 评价指标
依 指 标 y1, y2,, yn 对 s1, s2,, sn 排序或分类
11 第第1十1一页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数。
则 xij [c, c d ] 。
譬如若取 c 60, d 40 ，则 xij [60,100] 。
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二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性指标(zhǐbiāo)的量化处 理方法
在社会实践中，很多问题都涉及到定性(dìng xìng)因素(指 标)的定量处理问题。
对重要性的大小。
如果用 wj 来表示评价指标 xj ( j 1, 2, , m) 的权
m
重系数，则 wj 0( j 1, 2, , m) ，且 wj 1。 j 1 8 第第8八页页，/共共484页8。页
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综合(zōnghé)评价问题的五个要素
（4）综合评价模型 通过(tōngguò)建立合适的综合评价数学模型将多 个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，即得 到相应的综合评价结果。
主要特点： （1）各评价指标间作用得到线性补偿； （2）权重系数(xìshù)的对评价结果的影响明显。
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第第二2十4四页页/，共共4488页页。
三、数据建模的综合评价(píngjià)
方法
2. 非线性加权综合法
m
用非线性函数 y
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．
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二、数据处理的一般(yībān)方 法
3. 定性(dìng xìng)指标的量化处理 方法
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1 ；
当“较满意”时，则隶属度为 0.8，即 f (3) 0.8；
x
2(x m) , M m 2(M x) ,
m x 1 (M m) 2
1 (M m) x M
M m 2
即可将中间型数据指标 x 极大化。
13 第第1十3三页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方
1. 数据类法型的一致化处理(chǔlǐ)方
法
（3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则令
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第第1十5五页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方法
2. 数据指标(zhǐbiāo)的无量纲化处理方 法
(1) 标准差方法(fāngfǎ)
令 xij
xij x j sj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
, m) ，
其中 xj
1 n
n i 1
xij , s j
[1 n
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二、数据处理的一般(yībān)方
法
3. 定性指标的量化处理(chǔlǐ)
方法
f
(
x)
1
1.1086(
x
0.8942)
2
1,1
x3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
第第二2十3三页页/，共共448页8。页
根据这个 规律，对于任 何一个(yī ɡè) 评价值，都可 以给出一个(yī ɡè)合适的量化 值。
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第第6六页页，/共共448页8。页
综合评价问题(wèntí)的五个要素
（2）评价指标 它是反映被评价对象(系统)的运行状况的基本要素。 通常问题都有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧 面刻画系统所具有某种特征大小(dàxiǎo)的一个度量。 所有的评价指标一起称为综合评价的指标体系。 原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。
数据(shùjù)处理与数据(shùjù)
建模方法 实际(shíjì)中大量信息或海量信息对应着大 量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需 要的问题答案--数据建模问题。
通过实际(shíjì)对象过去或当前的相关信息， 主要研究两个方面问题：
（1）分析研究实际(shíjì)对象所处的状态和 特征等，依此做出评价和决策；
1. 数据类型的一致化处理(chǔlǐ)方 法
一般问题的数据指标 x1, x2, , xm (m 1) 可能有
“极大型”、“极小型”、“中间型”和“区间型”指标。
极大型:期望取值越大越好； 极小型:期望取值越小越好； 中间型:期望取值既不要(bùyào)太大，也不 要(bùyào)太小为好，即取适当的中间值为最 好; 区间型:期望取值最好是落在某一个确定的区 间内为最好。
也可以是一个团体。 对于评价目的选择、评价指标体系确定
(quèdìng)、权重系数的确定(quèdìng)和评价模型的 建立都与评价者有关。
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第第1十0页页，/共共484页8。页
综合评价过程 (guòchéng)的流程
明任 确务
对 s1, s2,, sn
进行综合评价
明目 确的
排序或 分类 ?
确 定 评 确定指标 价指标 初始值
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？ 简单地对应数字分量化方法是不科学的！ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种 可行有效的方法。
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第第2二0十页页，/共共484页8。页
二、数据处理的一般(yībān) 方法
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等 级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
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第第3三页页，/共共484页8。页
一、一般(yībān)数据建模问题 的提出 综合(zōnghé)依据相关信息对被评价的对象所进 行评的价客：观、公正、合理的全面评价。
如果把被评价对象视为系统，则综合评价问 题：在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统 的运行(或发展(fāzhǎn))状况好，哪个状况差？ 即哪个优，哪个劣？
2. 数据指标(zhǐbiāo)的无量纲化处理 方法
(2) 极值(jízhí)差方法
令 xij
xij mj M j mj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
其中 M j m1iaxn {xij}, mj m1iinn{xij}( j 1, 2,
则 xij [0,1] 是无量纲的标准观测值。
, m) ， , m) 。
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二、数据处理的一般(yībān) 2. 数据(方sh法ùjù)指标的无量纲化处理方
法
(３) 功效系数(xìshù)方法
令
xij
c
xij mj M j mj
d
(i
1, 2,
,n; j 1,2,
, m) ，
其中 c, d 均为确定的常数。c 表示“平移量”， d 表示
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
c
b
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b}，M
和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。即可将 x 极大化。
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第第1十4四页页，/共共448页8。页
二、数据处理的一般(yībān)方 法
2. 数据指标的无量(wúliàng)纲化 处理方法
譬如：评价人对某事件“满意(mǎnyì)度”的评价可分为 {很满意(mǎnyì)，满意(mǎnyì)，较满意(mǎnyì)，不太满意 (mǎnyì)，很不满意(mǎnyì)} 将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。
为取连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函 数：
[1 (x )2 ]1,1 x 3
一、一般数据建模问题的提出
一般(yībān)问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息；
•如何综合利用(zōnghélìyòng)这些相关信息给出 综合评价结果、制定决策方案，或预测未来？
•这类问题都归结为信息综合利用(zōnghélìyòng) 与评价问题。
什么(shén me)是综合评价与综合评价问题呢？
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什么是一 致化处理? 为什么要
一致化?
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二、数据处理的一般(yībān)方 1. 数据类法型的一致化处理(chǔlǐ)方
法Hale Waihona Puke （1）极小型: 对某个极小型数据指标 x ，则令
x 1 (x 0) ,或 x M x ,即可将 x 极大化。 x
（2）中间型: 对某个中间型数据指标 x ，则令