北师版数学高二选修1-2课件 3.3 综合法与分析法

答案
梳理
(1)定义：从命题的条件出发，利用 定义 、 公理 、 定理 及运算法则，通 过 演绎推理 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们 把这样的思维方法称为 综合法 . (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示已知条件、已有的 定义 、公理 、定理 等，Q表示 所要证明的结论 )
第三章 推理与证明
§3 综合法与分析法
学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 综合法
思考
阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要 证明的结论.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b＝ex<e0＝1， ∴a>b.
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解析 答案
2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝1－1 x中最大的是
√A.c
B.b
C.a
D.随x取值不同而不同
解析 ∵0<x<1，∴b＝x＋1>2 x> 2x＝a，
∵1－1 x－(x＋1)＝1－1－1－x x2＝1－x2 x>0，∴c>b>a.
反思与感悟
跟踪训练 3 (1)求证： a－ a－1< a－2－ a－3 (a≥3)；
证明
(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.
证明 要证明tan Atan B>1，
只需证明csoins
Asin Acos
BB>1，
因为A、B均为锐角，所以cos A>os B，
中，由正弦定理及已知，得ssiinn
CB＝ccooss
B C.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.因为－π<B－C<π，
从而B－C＝0，所以B＝C.
证明
类型二 分析法
例 3 已知 a>0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明
分析法的应用范围及方法
答案
梳理
(1)定义：从求证的结论 出发，一步步地探索保证前一个结论成立的_充__分__ 条件 ，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等. 这样的思维方法称为分析法 . (2)分析法的框图表示
Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件
题型探究
类型一 综合法
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解析 答案
4. 3－ 2__<__ 2－1.(填“>”或“<”)
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答案
5.设 x，y 是正实数，且 x＋y＝1，求证：(1＋1x)(1＋1y)≥9. 证明 要证(1＋1x)(1＋1y)≥9 成立，
因为x，y是正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，
只需证明(1＋1x)(1＋1－1 x)≥9，
命题角度1 用综合法证明不等式 例1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
本课结束
证明
反思与感悟
(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正 弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等 手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中 间量，一般遵循“化繁为简”的原则. (2)用综合法证明不等式时常用的结论：
①ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； ②a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)， 即证2＋x－x2≥9x－9x2，
即证4x2－4x＋1≥0，
即证(2x－1)2≥0，此式显然成立. ∴原不等式成立.
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证明
规律与方法
1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证” 等词语. 3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
即cos Acos B－sin Asin B<0，
只需证明cos(A＋B)<0.
因为△ABC为锐角三角形，所以90°<A＋B<180°，
所以cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.
证明
当堂训练
1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为
√A.a>b
C.a<b
证明
证明三角恒等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
反思与感悟
跟踪训练 2 在△ABC 中，AACB＝ccooss CB，证明：B＝C.
证明
在△ABC
知识点二 分析法
思考
阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知 a>0，b>0，求证：a＋2 b≥ ab. 证明：要证a＋2 b≥ ab， 只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0， 只需证( a－ b)2≥0， 因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.
b＋c－a c＋a－b a＋b－c 跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b ＋ c >3. 证明 因为b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c＝ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3.
又a，b，c为不全相等的正实数，
而ba＋ab≥2，bc＋bc≥2，ac＋ac≥2，
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解析 答案
3.欲证 2－ 3< 6－ 7成立，只需证明 A.( 2－ 3)2<( 6－ 7)2 B.( 2－ 6)2<( 3－ 7)2
√C.( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2
D.( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证明 2＋ 7< 6＋ 3，即证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.
且上述三式等号不能同时成立，
所以ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3>6－3＝3， b＋c－a c＋a－b a＋b－c
即 a ＋ b ＋ c >3.
证明
命题角度2 用综合法证明等式 例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立.