非参数估计 练习题

非参数估计练习题
1. 对于以下数据集，使用非参数估计方法估计它的中位数和75%分位数。

9, 12, 10, 15, 14, 13, 11, 8, 7, 12
- 中位数的估计：
将数据按升序排列：7, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15
中位数位置为(n+1)/2 = (10+1)/2 = 5.5，因此需要计算第5个和第6个观测值的平均值。

中位数估计值= (11 + 12)/2 = 11.5
- 75%分位数的估计：
将数据按升序排列：7, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15
根据公式计算位置为(3/4)n = (3/4) x 10 = 7.5 的观测值在第7位和第8位之间，因此需要计算这两个观测值的平均值。

75%分位数的估计值= (13 + 14)/2 = 13.5
因此，该数据集的中位数估计值为11.5，75%分位数的估计值为13.5。

2. 对于以下数据集，使用核密度估计方法估计其概率密度函数。

6.5,
7.1,
8.3, 8.4, 6.2, 7.8, 8.5, 7.2, 6.5, 7.9
首先，需要选择一个核函数和带宽大小。

在本例中，我们选择高斯核函数和带宽大小为1。

高斯核函数的公式为：
K(x) = 1/√(2π) exp(-x^2/2)
其中，x为观测值，K(x)为对应的核函数值。

然后，使用以下公式计算每个观测值对概率密度函数的贡献：
f(x) = 1/nh Σ(K((x-xi)/h))
其中，xi为观测值，h为带宽大小，n为样本数量。

将数据排序，并将每个观测值带入上述公式中：
f(6.2) = 0.127
f(6.5) = 0.155
f(6.5) = 0.155
f(7.1) = 0.183
f(7.2) = 0.191
f(7.8) = 0.204
f(7.9) = 0.187
f(8.3) = 0.139
f(8.4) = 0.127
f(8.5) = 0.115
最终得到估计的概率密度函数为：
f(x) = 1/nh Σ(K((x-xi)/h))
= 1/(10 x 1) Σ(K((x-xi)/1))
= (1/√(2π)) Σ(exp(-((x-xi)^2)/2))
因此，该数据集的概率密度函数为高斯分布。