课时作业(四十九) 直线的倾斜角与斜率、直线方程 (3)

课时作业(四十九)　直线的倾斜角与斜率、直线方程
　基础过关组　
一、单项选择题
1．已知点A(1，3)，B(－1,33)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60° B．30°
C．120° D．150°
解析　设直线AB的倾斜角为α，因为A(1，3)，B(－1,33)，所以k AB＝33－3
－1－1
＝－3，所以tan α＝－
3，又α∈[0°，180°)，所以α＝120°。

故选C。

答案　C
2．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( )
A.
3
3
B.3
C．－3D．－
3 3
解析　设直线l的斜率为k，则k＝－
sin 30°
cos 150°
＝
3
3。

故选A。

答案　A
3．若直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为45°，则实数a，b满足的关系是( ) A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
解析　由题意得直线ax＋by＋c＝0的斜率存在，且为k＝－a
b
，又直线的倾斜角为45°，所以k＝－
a
b
＝tan
45°＝1，所以a＝－b，所以a＋b＝0。

故选A。

答案　A
4．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( ) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y－10＝0
C．3x－y＝0 D．3x＋y－6＝0
解析　因为|AO|＝|AB|，所以∠AOB＝∠ABO，即k AB＝－k OA＝－3。

所以直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0。

故选D。

答案　D
5．两条直线x
m
－
y
n
＝a与
x
n
－
y
m
＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
解析　直线方程x
m
－
y
n
＝a可化为y＝
n
m
x－na，直线方程
x
n
－
y
m
＝a可化为y＝
m
n
x－ma，由此可知两条直线
的斜率同号。

故选B。

答案　B
6．已知角α是第二象限角，直线2x＋y tan α＋1＝0的斜率为8
3
，则cos α等于( )
A.3
5
B．－
3
5
C.4
5
D．－
4
5
解析　由题意，得k＝－
2
tan α
＝
8
3
，故tan α＝－
3
4
，故cos α＝－
4
5。

故选D。

答案　D
7．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则
y
x－3
的最大值为( )
A．1 B.3 5
C．－1
2
D．－3
解析　设Q(3,0)，则k AQ＝3－0
2－3
＝－3，k BQ＝
2－0
－1－3
＝－
1
2。

因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所
以
y
x－3
的取值范围是[－3，－12]，故y x－3的最大值为－12。

故选C。

答案　C
二、多项选择题
8．过点(－10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程可能为( )
A．x－y＝0 B．x－4y－30＝0
C．x＋y＝0 D．x＋4y－30＝0
解析　由题意，当直线经过原点时，直线的方程为x＋y＝0；当直线不经过原点时，设直线的方程为
x
4a
＋
y
a ＝1，则
－10
4a
＋
10
a
＝1，解得a＝
15
2
，此时直线的方程为
x
30
＋
2y
15
＝1，即x＋4y－30＝0。

故选CD。

答案　CD
9．直线(m2＋1)x－2my＋1＝0(其中m∈R)的倾斜角可能为( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
2π
3
解析　若m＝0，则直线的倾斜角为
π
2
；若m<0，则直线的斜率k＝
m2＋1
2m
<0，倾斜角α的取值范围为
(π2，π)；若m>0，则直线的斜率k＝m2＋12m≥1(当且仅当m＝1时取等号)，所以倾斜角α≥π4，结合选项可知选BCD。

答案　BCD
10．(2021·广东佛山期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。

已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(－2,0) D．(0，－2)
解析　设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点为(－1,1)，设为M，所以|MC|＝|MA|＝10，所以(x＋1)2＋(y－1)2＝10　①。

由A(－4,0)，B(0,4)知△ABC 的重心为(x－43，y＋43)，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0　②。

由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2。

故选AD。

答案　AD
三、填空题
11．已知直线y＝1
2
x＋k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k的值为________。

解析　令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k。

所以所围成的三角形的面积S＝|12k×(－2k)|＝k2＝1，所以k＝1或k＝－1。

答案　1或－1
12．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为
______________________。

解析　若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0。

若a ≠0，b ≠0，设直线l 的方程为x
a ＋y
b ＝1，由题意知Error!解得Error!此时，直线l 的方程为x －y ＋4
＝0。

答案　x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0
13．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝
55
，则l 的斜率为________。

解析　因为sin θ＋cos θ＝
5
5　①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1
5，所以2sin θcos θ＝－4
5
，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝35
5，由①②解得Error!所以tan θ＝－2，即l
的斜率为－2。

答案　－2
14．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为_____________。

解析　若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k ＝－1
2，直线方程为x ＋2y ＝0。

若a ＝3b ≠0，设直线方程为x
a ＋y
b ＝1，即x
3b ＋y
b ＝1。

由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－1
3。

从而直线方程为－x －3y ＝
1，即x ＋3y ＋1＝0。

综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0。

答案　x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0
　素养提升组　
15．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f (π4－x )＝f (π
4＋x )
，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )
A.π
4 B.π3 C.2π3
D.3π4
解析　由f (π4－x )＝f (π4＋x )
知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f
(π
2
)
，所以－b ＝a ，则直
线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a
b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π
4。

故选
D 。

答案　D
16．(2020·诸暨市校级期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，B (－2,0)，C (1,0)，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABEF 与ACGH ，则点H 的坐标为________，直线FH 的一般式方程为________。

解析　分别过H ，F 作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，因为四边形ACGH 为正方形，所以Rt △AHM ≌Rt △CAO ，可得AM ＝OC ，MH ＝OA ，因为A (0,2)，C (1,0)，所以MH ＝OA ＝2，AM ＝OC ＝1，可得OM ＝OA
＋AM ＝3，由此可得H 坐标为(2,3)，同理得到F (－2,4)，所以直线FH 的斜率为k ＝
4－3
－2－2＝－1
4
，可得直线FH
的方程为y －3＝－1
4
(x －2)，化简得x ＋4y －14＝0。

答案　(2,3)　x＋4y－14＝0。