综合实验数值计算

数学与统计学院
数
学
综
合
实
验
报
告
班级：2013级数学三班姓名：康萍
数 值 计 算
一、实验目的
本实验通过介绍Mathmatca 的数值计算功能，它的特点是准确计算与数值计算相结合，能够通过可选参数提高计算精度，学习包括数据的拟合及插值、数值积分与方程的近似解、极值问题、最优化与数理统计方面的内容。

二、实验环境
基于Windows 环境下的Mathematica7.0软件与Mathematica9.0软件。

三、实验的基本理论和方法
1、 Mathmatica 提供了进行数据拟合的函数：
Fit[data,funs,vars] 对数据data 用最小二乘法求函数表funs 中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars 是自变量或自变量的表。

Fit[data, {
}x ,1, x ] 求形如bx a y +=的近似函数式。

Fit[data, {
}2,,1x x , x ] 求形如2cx bx a y ++=的近似函数式。

Fit[data, {
}xy y x ,,,1, {}y x ,] 求形如dxy cy bx a y +++=的近似函数式。

2、 函数InterpolatingPolynomial 求一个多项式，使给定的数据是准确的函数值，其调用格式如下：
InterpolatingPolynomial[{ ,,21f f },x] 当自变量为1，2，…时的函数值为 ,,21f f 。

InterpolatingPolynomial[{ ),,(),,(2211f x f x },x] 当自变量为i x 时的函数值为i f
InterpolatingPolynomial[{}}},,,,{,{1111 ddf df f x ,x] 规定点i x 处的函数值。

3、 求定积分的数值解有两种方法：
使用N[Integrate[f,{x,a,b}],n]或使用NIntegrate[f,{x,a,b}]前者首先试图求符号然后再求近似解，后者使用数值积分的直接求近似解。

究竟选用哪一个，这需要首先了解两者各自的特点。

前者首先试图求符号解，当然花费更多的时间，但安全可靠。

后者使用数值积分的直接求近似解，节约运行时间，但可靠性就差了。

NIntegrate[f,{max min ,,x x x },{ max min ,,y y y },…]是标准形式而且允许积分区间端点是奇异点。

如果积分区间内部有奇异点，积分区间内部的奇异点不能被识别，需要明确指出：
NIntegrate[f,{max 21min ,,,,,x x x x x }],其中,,,21 x x 是奇异点。

NIntegrate 有控制计算精度的可选参数：
WorkingPrecision 内部近似计算使用的数字位数（默认值为16，等于系统变量SMachinePrecision 的值）。

AccuracyGoal 计算结果的绝对误差（默认值为Infinity ）。

PrecisionGoal 计算结果的相对误差（默认值为Automatic 一般比WorkingPrecision 的值小10）。

这3个参数都可以缺省或重新设置，后两个值之一可以为Infinity ，表示使用该参数，只使用另一个，一般第一个应该大于后两个。

MaxPoints 计算时选取的被积函数的最大样本数（默认值为Automatic ）。

MaxRecursion 积分区域递归子划分的最大个数（默认值为6）。

MinRecursion 积分区域递归子划分的最小个数（默认值为0）。

SingularityDepth 积分区间端点处变量变化前使用的递归子划分个数（默
认值为4）。

4、 求数值的和、积的函数
NSum[f,{i,imin,imax,di}] 求通项为f 的和的近似值。

NProduct[f, {i,imin,imax,di}] 求通项为f 的积的近似值。

5、 函数Nsolve 用于求代数方程（组）的全部近似解，其调用格式如下： Nsolve[eqns,vars,n] 其中可选参数n 表示结果有n 位的精度。

能解类型广泛的方程（组）的是FindRoot ，大多数情况下它使用牛顿迭代法，无法求出符号导数时用正割法，其调用格式如下：
FindRoot[eqn,{x, 0x }] 从0x 出发求未知量x 的方程eqn 的一个解。

FindRoot[eqn,{x, 0x ,x,min,xmax}] 如果超出区间[xmin,xmax]则停止寻找。

FindRoot[eqn,{x, {0x ，1x }}] 当方程无法求出符号导数时必须给出两个初值
0x ，1x 。

FindRoot[{eqn1，eqn2,…},{x, 0x },{0,y y }, …] 求方程组的一个解。

如果在参数中出现复数，则求复数解。

方程的标准形式为方程的右边为0，这时可以输入方程左边的表达式，等号与0都可以省略。

6、 函数FindMinimum 寻找一个函数的极小值点，其调用格式如下：
FindMinimum[},{,0x x f ] 从0x 出发求未知量x 的函数f 的一个极小值点和极小
值。

FindMinimum[}}],{,{,10x x x f ] 当函数无法自动求出符号函数时，必须给出两个初值10,x x 。

FindMinimum[ },,{},,{,00y y x x f ] 求多元函数的一个极小值点和一个极小值。

7、 ConstrainedMin[f,{ineqns},{x,y,…}] 在不等式约束的区域上求多元线性函数的最小值。

ConstrainedMax[f,{ineqns},{x,y,…}] 求最大值。

其中约定的所有自变量都非负，不等式可以使用各种不等号和等号。

如果系数都是整数或分数，则答案也是整数或分数。

8、SampleRange[data] 求表data 中数据的极差（最大值减最小值）。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值∑=n
i i x n 1
1。

Variance[data] 求方差（无偏估计）()
2
1
11∑=--n
i i x x n 。

StandardDeviation[data] 求标准差（无偏估计）()
2
1
11∑=--n
i i x x n 。

VarianceMLE[data] 求方差()
2
1
1∑=-n
i i x x n 。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差（无偏估计）()
2
1
1∑=-n
i i x x n 。

CentralMoment[data,k] 求k 阶中心矩()
k
n
i i x x n ∑=-1
1。

BinomialDistribution[p] Bernoulli 分布。

BinomialDistribution[n,p] 二项分布。

GeometricDistribution[p] 几何分布。

HypergeometricDistribution[n,M,N] 超几何分布。

PoissonDistribution[λ] Poisson 分布。

NormalDistribution[σμ，] 正态分布。

ChiSquareDistribution[n] 2χ分布。

UniformDistribution[min,max] 均匀分布。

ExponentialDistribution[λ] 指数分布。

StudentTDDistribution[n] t 分布。

FRatioDistribution[21,n n ] F 分布。

GammaDistibution [λ,r ] Γ分布。

9、MeanCI[data,KnowVariance →Var] 已知方差Var,由数据表data 求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。

MeanCI[data] 由数据表data 求总体数学期望的置信区间（方差未知，基于t 分布）。

10、MeanTest[data, μ,KnownVariance →Var ] 已知方差Var ，由数据表data 检验总体数学期望μ，求出P 值。

MeanTest[data, μ] 方差未知，由数据表检验总体数学期望μ，求出P 值。

四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析
实验一 数据拟合与插值
实验1 数据拟合 1.1、实验内容：
已知一组数据{19.1，76.3}、{25，77.8}、{30.1，79.25}、{36，80.8}、{40，82.35}、{45.1，83.9}、{50，85.1}，求其函数解析式,并绘制出图形。

1.2实验步骤
在Mathematica 中输入语句如下
1.3实验结果
1.4结果分析
这组数据的近似函数解析式为y=70.5723 +0.291456 x，通过使用一次函数得到了很理想的拟合。

2.1 实验内容：
{0.1,5.1234},{0.2,5.3057},{0.3,5.5687},{0.4,5.9378},{0.5,6.4337},{0.6,7. 0978},{0.7,7.9493},{0.8,9.0253},{0.9,10.3627}，求其函数解析式,并绘制出图形。

2.2实验步骤
在Mathematica中输入语句如下：
2.3实验结果
2.4结果分析
这组数据的近似函数解析式为y= 5.30661 -1.83196 x+8.17149 x2，通过使用二次函数得到了很理想的拟合。

3.1实验内容：已知数据表
x 0.00 0.15 0.31 0.50 0.60 0.75
y 1.00 1.004 1.031 1.117 1.223 1.422 求4次拟合多项式，并绘图进行比较。

3.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
3.3、实验结果：
3.4、结果分析
拟合多项式为1.02587 -7.53296 x+65.6478 x2-162.547 x3+119.015 x4 4.1实验内容：二元拟合
4.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：
4.3实验结果：
4.4 结果分析
首先生成二元函数xy x -+51,10,10≤≤≤≤y x 的一个数据表，然好由这些数据反过来求二元函数。

说明Fit 函数可以求解多元问题。

使用函数Chop 去掉系数很小的项，以此消除误差。

5.1 实验内容：使用初等函数的组合进行拟合 5.2 实验步骤：在Mathematica 中输入语句如下：
5.3 实验结果：
5.4 结果分析：
在进行数据拟合时，第二个参数使用了几个初等函数，说明可以任意选用函数组成函数表。

实验2 插值法构造近似函数
1.1 实验内容：由已知条件求多项式
1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3 实验结果：
1.4 结果分析：
输出结果表明，所得答案是准确结果，而不是近似函数，ln[30]是给出当x=1时的函数值和一、二阶导数值，由3个条件得到一个二次多项式。

2.1 实验内容：生成插值函数及其多项式
2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.3 实验结果：
2.4 结果分析：
其中插值函数f的定义域是[19.1，50]，由图形可以看出，给定的数据点在函数曲线上。

3.1实验内容：已知x=0,2,3,5,6时的函数值为y=1,3,2,5,6.求插值多项式并绘图。

3.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：
3.3 实验结果
3.4 结果分析
插值多项式为1+(1+(-(2/3)+(3/10-11/120 (-5+x)) (-3+x)) (-2+x)) x。

4.1 实验内容：生成插值函数及其多项式。

4.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：
4.3 实验结果
4.4 结果分析：
以上生成插值函数时，因为数据太少，因此设置插值多项式的次数为2，其中f1与f2的区别是，后者的自变量取默认值。

通过实验说明了给定数据与对应关系，同时说明已知点处的近似函数值等于给定的值。

5.1 实验内容：生成插值函数及其多项式。

5.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
5.3 实验结果：
5.4 结果分析
先生成一个二元近似函数，再使用FunctionInterpolation由复合函数生成一个新的近似函数，用以简化复合函数的计算过程，同时绘制出复合函数与它的近似函数图形，图象显示两者相差不大。

实验二数值积分与方程的近似解
实验1 数值积分
1.1 实验内容：有奇异点的积分
1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3实验结果：
1.4结果分析：
被积函数在x=0时分母为0，x=0是奇异点。

如果给出的点不是奇异点，也不影响计算结果。

2.1实验内容：可选参数比较
2.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.4结果分析：虽然ln[6]表明可以设置很高的精度参数，但显然不如使用ln[5]简便。

3.1实验内容：可选参数比较
3.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
3.3 实验结果：
3.4 结果分析：
被积函数在x=0附近变化剧烈，使用MaxRecursion的默认值6不行，在ln[1]中设置它的值为10后解决。

第二种解决问题的方法是插入分点，将积分区间分成三段，如ln[2]所示。

4.1 实验内容：求数值的和与积
4.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
4.4 结果分析：
如果能求准确值，应当首先求准确值再用N求近似值，这样得到的结果精度比直接用NSum的高。

实验2 方程（组）的近似值
1.1 实验内容：有奇异点的积分
1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3 实验结果：
1.5 结果分析：
x^5−2∗x+1=0的解为x=1.00.方程组x^2+x^2=1,x^3−x=0的解为x=0.826031,y=0.563624。

2.1 实验内容：解方程组
2.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.3 实验结果：
2.4 结果分析：
ln[9]和ln[10]说明，取不同的初值可能得到不同的解。

Ln[11]是解方程组，已经不是代数方程了。

Ln[12]求指定区间内的解失败，仍输出一个结果，但不是
解。

Ln[13]是给出两个初值的例子，此例如果仅给一个初值则失败。

实验三极值问题
实验1 极值问题
1.1 实验内容：求函数的极小值。

1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3 实验结果：
1.4 结果分析：
ln[20]是求函数的极大值点，因为没有求极大值的函数，改求-f的极小值。

Ln[21]是求多元函数的极小值。

实验2 线性规化
1.1 实验内容：多元线性规划。

1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3 实验结果：
1.4 结果分析：
ln[27]说明即使不等式使用严格不等式号，答案仍取在边界上。

在ln[28]中系数使用小数，则答案也是小数形式的。

Ln[29]说明可以使用等号，但必须键入“= =”。

2.1 实验内容：非正常的多元线性规划。

2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.3 实验结果：
2.4 结果分析
Ln[1]实质上有无穷多个解，但没有警告信息。

Ln[2]无解，返回结果是原来的输入式。

Ln[3]已知区域无界，没有最大值，如果在无界区域上有最大最小值，还是能求出来的。

3.1 实验内容：自变量和约束不等式较多时的多元线性规划。

2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
3.3 实验结果：
3.4 结果分析
Ln[2]有无穷多解，仍没有警告出现。

Ln[3]无解。

Ln[1]为正常情况，复杂的系数矩阵可以由数据文件读入。

实验四数理统计
实验1 样本的数字特征
1.1、实验内容：一元数理统计的基本计算。

1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3、实验结果：
1.4、结果分析：
所给样本的样本容量为7，其中样本的最小值为3.8，最大值为6.6，中值为6，平均值为6.，方差（无偏估计）为0.962857，标准差（无偏估计）为0.981253.
2.1、实验内容：求多元数理统计的基本计算。

2.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.3、实验结果
2.4、结果分析：样本容量为4，中值为{1.185，2.125，
3.245}，平均值为{1.1925，2.14，3.125}，方差为{0.00755833，0.0200667，0.0137667}，2阶中心矩为{0.00566875，0.01505，0.010325}，z的协方差为0.0093，y与z的相关系数为0.0521435，x的自相关系数为1.。

实验2 常用分布的计算
1.1、实验内容：二项分布的各种计算。

1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3实验结果
1.4、结果分析
二项分布的均值为nb，方差为n(1-p)p,特征函数为n
it p
-。

当二项
1(+
p)
e
分布中n=10,p=0.3时，点4处分布b的密度值为0.200121，点3.9处分布函数值为0.649611，点4处的分布函数值为0.849732，方差为2.1.
2.1、实验内容：离散分布的例子。

2.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
2.3、实验结果
2.4、结果分析
超几何分布（n,M,N
）的均值为
N
Mn
，方差为
(
)
N
N
N
n
N
M
Mn
)
1
(
1
+
-
+
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-。

参数为5
的泊松分布在点2处的密度值为
5
2
25
e
，点20处的密度值为7
10
64121
.2-
⨯。

3.1、实验内容：（1）()1,0N-ξ，求()()()1
1
,
96.1
,
96.1<
<
-
-
≤
≤ξ
ξ
ξp
p
p。

（2）()5.0,8N-ξ，求()()9
7
,
10≤
<
≤ξ
ξp
p
3.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
3.3、实验结果
3.4、结果分析
（1）()()0249979.096.1,975002.096.1=-≤=≤ξξp p ，()81859.011=≤≤-ξp （2）()()9545.097,999968.010=≤<=≤ξξp p
4.1实验内容：绘制2χ分布在n 分别为1，5，15时的分布密度函数图。

4.2、实验步骤：在Mathematica 中输入语句如下
4.3、实验结果
4.4、结果分析：
当参数为1时，函数图为蓝色分支；当参数为5时，函数图为红色分支；当参数为15时，函数图为黄色分支。

可见，参数越大，图像越“矮胖”，参数越小，图像越“高瘦”。

实验3 区间估计
1.1、实验内容：已知某钢铁厂的铁水含炭量（%）服从正态分布，现测得5炉铁水的含炭量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37.如果已知标准差108.0=σ，求铁水平均含炭量的置信区间。

1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3、实验结果
根据所做程序，实验没有给出一个的正确的置信区间。

1.4、结果分析
本机所装Mathematica程序中没有相应的外部函数。

实验4 回归分析
1.1、实验内容：某食品厂使用自动裝罐机生产罐头，每罐标准质量是500g，标准差为10g，现抽取10罐，测的质量（单位：g）分别为495,510,505,498,503,492,502,512,497，506，假定罐头的质量服从正态分布，显著性水平为0.05，问装罐机工作是否正常？
1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下
1.3、实验结果
根据所做程序，实验没有得出一个的正确的假设检验。

1.4、结果分析
本机所装Mathematica程序中没有相应的外部函数。

五、心得体会
之前在数值分析、常微分方程、以及运筹学等课程中学习了很多关于数值计算方面的问题，但是之前一直都是笔算进行的。

有时候问题特别复杂，或是题设特别多的时候，总给人一种无从下手的感觉，我们必须花费大量的时间去练习求极限、导数和积分的技能，需要死背大量的公式，这些重复劳动的技能令人厌烦，在挤占理解数学概念和理论方面所花时间的同时，还直接影响了我们的学习兴趣。

但这次通过做数值分析的实验，我了解了很多关于数值分析编程方面的知识，而且，无论题设多复杂，题目多么难，只要会调用相关的函数，并编写正确的调用格式，就会在极短的时间内得到我们所想要的结果。

这无疑节省了我们很多时间，而且通过这次实验让我对计算数学产生了一定的兴趣。

通过计算机的辅助，我们可以解决很多实际问题中笔算明显存在费时费力的问题，快速而又准确的高效率无疑是一项极有意义的工作。

在实验过程中还是存在很多问题，如常微分方程的求解上，编程存在一定的问题，导致一直运行不出来结果，但是在日后的学习中，我会继续寻找问题的根源，尽早解决它。

还有在数理统计的计算方面，由于学校机房的Mathematic7.0与我自己电脑上的Mathetivca9.0自带的程序包中缺乏实现统计计算的一些外部函数，导致在数理统计模块中，无法对总体数学期望与总体方差的区间进行估计，没能对总体数学期望与总体方差的假设进行检验。

在做回归分析模型时也未能生成回归分析报表。

虽然在做的过程中受到了很大的阻碍，最终没能达到自己预期的效果，但是单日后的学习中，我会继续思考能否在不用调用外部函数的条件下，用其他方法快速、准确的求出其结果。

虽然机械可以代替人做重复的、繁重的工作，但不如人灵活，譬如在没有相
_
关的调用函数时，问题便无从下手。

Mathematica的符号功能虽然强大，能代替人解数学教材中的绝大多数计算题，但很多时候都没有人的思维灵活。

所以，在解决一个问题时，首先应该自己思考清楚，真正把问题想清楚了，才能运用正确的方法去解决，计算机只是一个辅助工具，是为了让我们能更快速的得出答案，节约时间，并不能代替我们去思考。