【步步高】高中数学 3.1.1分数指数幂(二)配套名师课件 苏教版必修1

研一研•问题探究、课堂更高效
例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): (1)a2 a；(2) a a.
解
(1)a2
1
a＝a2 a 2
＝
a
2
1 2
＝
a
5 2
.
1
1
(2)
a
a＝ a
a
1 2
＝
aa
1 2

2
＝
a
3 2

2
＝
a
3 4
.

3.1.1（二）
研一研•问题探究、课堂更高效
研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 求值：
(1)

25
1 2
；(2)(12)－
5；(3)
16


81
3 4
.
解
(1)

25
1 2
＝
52
1 2
＝
2
5
1 2

＝5－1＝15；
(2)(12)－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝32；
(3)
1861
3
(2)
xy2·
xy3＝[xy2(
1
33
xy)3] 3 ＝(xy2x 2 y 2)
1
3＝
1 3 2 3
x 2y 2
57 1
57
＝( x 2 y2 ) 3 ＝ x6 y6 .
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3.1.1（二）
例 3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
2 1 1 1 1 5
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3.1.1（二）
3 7 3
8 15 3 3 1
解 (1)原式＝ a 2 a 2 ÷ a 3a 3 ÷ a 2 a 2
＝3 a2÷
7
a3
3 ÷
a－2
1
＝a
2 3 ÷
7
a3

2
÷(a-2
1
)3
＝a
2 3
÷a
7 6
-
÷a
2 3
＝a
27 36
2 3
＝a
1 6
2 2+2
3＝a 3
8
＝a 3
；
1
(3)
3 a
a＝
1
a·a 3 ＝
4 4 2 2 a 3 ＝ a3 ＝a 3 .

3.1.1（二）
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先 做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数， 先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指 数运算性质．
1. 210＝___3_2____；3 212＝___1_6____.
4
5 2.
－24＝___2__5 ___.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
3.1.1（二）
1
11
3．将（a n b n）3
3
表示成根式的形式是____n__a_＋__n_b___．
1
11
（a b ） 解析
1
∵an
＝n
跟踪训练 3 计算下列各式：
3 (1)(
25－
4 125)÷
25；(2)
a2
(a>0)．
3 a·
a2
3.1.1（二）
1
1 1 2 3 1
解 (1)原式＝ 253 1252 ÷254 ＝ 53 52 ÷52




＝5
2 3

1 2
－
5
3 2

1 2
1
＝56
－5＝6
5－5；
3.1.1（二）
问题 5 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有 理数指数幂是否还适用？ 答 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有 理数指数幂．
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填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.1（二）
1．正数的正分数指数幂的意义为：a__mn_＝__n__a_m_(a__>_0_，__m__，__n_∈__N_*_)_.
2．正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同．即
1 _a__mn __＝___a_mn_(_a_>_0_，__m__，__n_∈__N_*_)_．
2．根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的 运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一 般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质 准确求解.
(1) 2a 3b2 6a 2b3 ÷ 3a 6b6 ；




1 3 8
(2) m4 n 8 .


211 115
解 (1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 3 2 6b2 3 6
＝4ab0＝4a；
(2)原式＝

1
m4
8
a3 2b3
111
＝a 3 ·a 3 ·a 3 ＝a.
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3.1.1（二）
小结 运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不 能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有 负指数．
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跟踪训练 4 计算下列各式：
(1)2350＋2－2· 2
m n
＝n
am(a>0，m，
n∈N*)．
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同．即
a

m n
＝
1
m
ห้องสมุดไป่ตู้
an
(a>0，m，n∈N*)．
规定：0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义．
规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数
幂只是根式的一种新的写法．
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1 4

1 2
－(0.01)0.5；
(2)(0.000
-1
1) 4＋27
2 3
－
49 64

1 2

＋
1 9
-1.5 .
1
1
解
(1)原式＝1＋14×
4 9

2
－
1 100

2
＝1＋16－110＝1165.
3.1.1（二）
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＝33
＝217.
(4)
1
3
4 ＝
34

3 4
＝33＝27.
81
3.1.1（二）
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3.1.1（二）
小结 在进行求解时，首先要把比较大的整数化成比较小的数的 指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数 为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．
3.1.1（二）
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3.1.1（二）
问题 2 零和负整数指数幂是如何规定的？ 答 规定：a0＝1(a≠0)；00 无意义，a－n＝a1n(a≠0)．
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3.1.1（二）
问题 3 根据 n 次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从
中总结出怎样的规律？
①5
a10＝ 5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)；
8
② a8＝ a42＝a4＝a 2 (a>0)；
③4
a12＝ 4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)；
④5
a10＝ 5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)．
答 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以 写成分数指数幂形式．
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(2)原式＝
a2
1
2
2- 1
＝a 2

2 3
＝
a
5 6
＝6
a5.
a 2 ·a 3
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3.1.1（二）
例 4 化简下列各式：
7
3
(1) a 2
a3 ÷
3
a－8 3
3 a15÷
a－3 a－1；
4
1
a 3 8a3b

3
(2)
2
4b 3

23
ab

2
a3
÷1－2
b×3 a. a
3 4
＝

2 3
4
3 4

＝

2 3

3＝287.
3.1.1（二）
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3.1.1（二）
探究点二 分数指数幂的应用 问题 引入分数指数幂的意义是什么？
答 引入分数指数幂并将幂的运算性质推广到有理数的意义 是将乘方与开方的运算统一为同一种运算，即幂的运算．
；

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3.1.1（二）
(2)原式＝
1
1
1
a 3 a 8b
2
11
2
÷a 3
2b 3
1
1
×a 3
4b 3 2a 3b 3 a 3 a 3
11
12
11
2
1
＝
a3
(a3

2b3 )(a 3 2a3b3
2
11 2

4b 3
)

a3
1
1
1 a3
4b 3 2a3b3 a 3

3
n8
8
＝m2n－3＝mn32.

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3.1.1（二）
小结 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字 母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为 分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以 达到化繁为简的目的．
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3．aras＝___a_r_＋_s __(a>0，r，s∈Q)．
4．(ar)s＝___a_rs____(a>0，r，s∈Q)． 5．(ab)t＝___a_tb_t ___(a>0，b>0，t∈Q).
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 分数指数幂 问题 1 整数指数幂的运算性质有哪些？ 答 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝am·n； (3)aamn ＝am－n(m>n，a≠0)； (4)(a·b)m＝am·bm.
1
a， b n
＝n
b，∴
n
n 3 ＝ 3 n a＋n b.
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3.1.1（二）
4.用分数指数幂的形式表示下列各式 (a>0)．
(1)a3· a；(2)a2·3 a2；(3)
3 a a.
解
(1)a3·
a＝a3·a
1 2
＝
3+
a
1 2
＝a
7 2
；
(2)a2·3
a2＝a2·a
3.1.1（二）
(2)原式＝(0.14
-
)
1 4
＋
(33
)
2 3
－

7 8
2

1 2
＋

1 3
2


3 2
＝0.1－1＋32－78－1＋13－3＝10＋9－87＋27＝3714.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
3.1.1（二）
3.1.1（二）
小结 (1)式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方 便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算 性质运算． (2)对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有 特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示．但结果不能同 时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
3.1.1（二）
3.1.1 分数指数幂(二)
【学习要求】 1.理解分数指数幂的意义； 2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质； 4.了解无理数指数幂的意义． 【学法指导】 通过类比、归纳，理解分数指数幂的有关运算性质，加深根式 与分数指数幂关系的理解，提高归纳、概括的能力，了解由特 殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想.
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3.1.1（二）
跟踪训练 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)
3
2
2；(2)3
xy2·
xy3.
解
(1)
3
2
2＝
23
1
1
2 2 ＝[2·23 ]
1
1
1
2
＝

1 1
23

2
＝

2
4 3

2
＝
2
4 6
＝
2
2 3
.

3.1.1（二）
问题 4 当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可 以写成分数指数幂的形式？
答 能．例如
3
a2＝
a
2 3
(a>0)；
1
b＝b 2
(b>0)；4
c5＝c
5 4
(c>0)．
即n
am＝
m
an
(a>0，m，n∈N*)．
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3.1.1（二）
小结
我们规定正数的正分数指数幂的意义为a
例 1 求下列各式的值：
1
(1)1002
；(2)8
2 3
；(3)9

3 2
；(4)

1
3

4
.
81
解
1
(1)1002＝ 102
1 2
＝10212
＝10.
2
(2)8 3 ＝
23
2 3
＝
32
23
=22＝4.
(3)9

3 2
＝
32

3 2
＝32
3 2