2016年北京市房山区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年北京市房山区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x﹣2＞0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞2}D．{x|x＞0} 2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则|z|＝（）A．B．5C．3D．1
3．（5分）在△ABC中，若b＝2，a＝3，，则c＝（）A．B．2C．3D．4
4．（5分）在平面区域内任取一点P（x，y），则（x，y）满足2x+y≤1的概率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝1，则输出y的值是（）
A．1B．3C．7D．15
6．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”
的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x＝﹣5，且当x≥﹣5时，f （x）＝2x﹣3．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）
A．2或﹣11B．2或﹣12C．1或﹣12D．1或﹣11 8．（5分）某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为（）
A．7B．9C．10D．12
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为．
10．（5分）圆x2+y2﹣4x+2y+2＝0的圆心坐标为，半径为．11．（5分）若，则＝．
12．（5分）已知向量＝（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k ＝．
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．
14．（5分）数列{a n}满足a1＝3，那么a2016＝，
数列{a n}的前n项和S n＝．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若，且，求α的值．
16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝2，且a2+1是a1，a3的等差中项．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为其前n项和，且b2＝a1，b8＝a2+a4，求T n．17．（13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50），第2组[50，55），第3组[55，60），第4组[60，65），第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A⊥PC，AC⊥BC，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上．
（Ⅰ）当N为BC的中点时，证明：DN∥平面P AC；
（Ⅱ）求证：P A⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在点N使得MN∥平面P AC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝﹣x．
（I）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设h（x）＝af（x）+（a+1）g（x），其中0＜a≤1，证明：函数h（x）仅有一个零点．
20．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F
（3，0）．N为直线x＝4上任意一点，过点F做直线FN的垂线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）证明：O，M，N三点共线；
（Ⅲ）若2|OM|＝|MN|，求l的方程．
2016年北京市房山区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x﹣2＞0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞2}D．{x|x＞0}
【解答】解：由B中不等式解得：x＞2，即B＝{x|x＞2}，
∵A＝{x|0＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2＜x＜3}，
故选：B．
2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则|z|＝（）A．B．5C．3D．1
【解答】解：由题意可得z＝2﹣i，
∴|z|＝＝
故选：A．
3．（5分）在△ABC中，若b＝2，a＝3，，则c＝（）A．B．2C．3D．4
【解答】解：∵b＝2，a＝3，，
∴由余弦定理可得：c＝＝＝4．
故选：D．
4．（5分）在平面区域内任取一点P（x，y），则（x，y）满足2x+y≤1的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解平面区域为正方形OABC内部（含边界），其面积为1，
则满足条件2x+y≤1的点P落在△AOD内部（含边界）．其面积为＝．∴点P满足2x+y≤1的概率为＝．
故选：B．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝1，则输出y的值是（）
A．1B．3C．7D．15
【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得
输入x＝1，
第一次循环：y＝2×1+1＝3，x＝3；
第二次循环：y＝2×3+1＝7，x＝7；
第三次循环：y＝2×7+1＝15，
∵|x﹣y|＝8＞6，
∴结束循环，输出y＝15．
故选：D．
6．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”
的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．
当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，
∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x＝﹣5，且当x≥﹣5时，f （x）＝2x﹣3．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）
A．2或﹣11B．2或﹣12C．1或﹣12D．1或﹣11
【解答】解：当x≥﹣5时，f（x）＝2x﹣3，
∵f（1）＝2﹣3＝﹣1＜0，f（2）＝22﹣3＝1＞0，
由函数零点存在性定理，可得函数f（x）＝2x﹣3有一个零点在（1，2）内，此时k＝1；
又定义在R上的函数f（x）的对称轴为x＝﹣5，
由对称性可知，函数f（x）＝2x﹣3有另一个零点在（﹣12，﹣11）内，此时k ＝﹣12．
∴k的值为1或﹣12．
故选：C．
8．（5分）某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为（）
A．7B．9C．10D．12
【解答】解：前n个月的总天数S n与n在图中对应P（n，S n）点
则前n个月的月平均值即为直线OP的斜率，
由图易得当n＝10时，直线OP的斜率最大，
即前10个月的月平均值最高，
故m的值为10．
故选：C．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为±．
【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y＝±
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
故答案为：y＝±
10．（5分）圆x2+y2﹣4x+2y+2＝0的圆心坐标为（2，﹣1），半径为．【解答】解：将圆方程x2+y2﹣4x+2y+2＝0化为标准方程：（x﹣2）2+（y+1）2＝3，
则圆心坐标为（2，﹣1），半径等于，
故答案为：（2，﹣1），．
11．（5分）若，则＝2．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝2．
故答案为：2．
12．（5分）已知向量＝（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k
＝﹣1．
【解答】解：∵向量＝（1，1），，
∴k﹣＝（k+3，k﹣1），
若k﹣与垂直，则（k﹣）•＝（k+3，k﹣1）•（1，1）＝k+3+k﹣1＝2k+2＝0，
求得实数k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．
【解答】解：根据三视图得：该几何体是放倒的四棱锥，
直观图如图所示：E是棱CD的中点，
且PE⊥平面ABCD，PE＝2，
四棱锥的底面是边长为4、2的矩形，高为PE，
所以该几何体的体积V＝
＝，
故答案为：．
14．（5分）数列{a n}满足a1＝3，那么a2016＝2，
数列{a n}的前n项和S n＝．
【解答】解：依题意，a1＝3，
a2＝a1﹣1＝2，
a3＝a2﹣1＝1，
a4＝2a3＝2，
…
∴数列{a n}从第二项起，构成以2为周期的周期数列，
∵2016＝1+2×1007+1，
∴a2016＝a2＝2，
}是首项、公差均为3的等差数列，
又∵数列{S2n
﹣1
数列{S2n}是首项为5、公差为3的等差数列，
∴当n为奇数时，S n＝3+3（﹣1）＝；
当n为偶数时，S n＝5+3（﹣1）＝；
∴S n＝，
故答案为：2，．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若，且，求α的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数＝sin2x+﹣＝
sin（2x﹣），
∴f（x）的最小正周期为＝π，函数的最大值为．
（Ⅱ）若，2α﹣∈（﹣，）；∵＝sin（2α﹣），
∴sin（2α﹣）＝1，∴2α﹣＝，∴α＝．
16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝2，且a2+1是a1，a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为其前n项和，且b2＝a1，b8＝a2+a4，求T n．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，
∵a2+1是a1，a3的等差中项，
∴2（1+2q）＝2+2q2，即q2＝2q，
解得：q＝2或q＝0（舍），
∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n＝2n，S n＝＝2n+1﹣2；
（Ⅱ）由（I）可知b2＝a1＝2，b8＝a2+a4＝4+16＝20，
∴等差数列{b n}的公差d＝＝3，b1＝b2﹣d＝1，
∴T n＝nb1+d＝n+n（n﹣1）＝．
17．（13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50），第2组[50，55），第3组[55，60），第4组[60，65），第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
【解答】解：（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3：2：1．
所以，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3；第4组：＝2；第5组：＝1．
∴从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生．
（Ⅱ）记第3组的3位同学为①，②，③；第4组的2位同学为A，B；第5组的1位同学为C．
则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：（①，②），（①，③），（①，A），（①，B），（①，C），（②，③），（②，A），（②，B），（②，C），（③，A），
（③，B），（③，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15种可能．
其中，（①，②），（①，③），（②，③），（A，B）四种为2名学生在同一组，∴有11种可能符合2名学生不在同一组的要求，
∴所求概率P＝．
18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A⊥PC，AC⊥BC，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上．
（Ⅰ）当N为BC的中点时，证明：DN∥平面P AC；
（Ⅱ）求证：P A⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在点N使得MN∥平面P AC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）∵D为AB的中点，N为BC的中点，∴DN∥AC，
∵DN⊄平面P AC，AC⊂平面P AC，
∴DN∥平面P AC．
（Ⅱ）∵平面P AC⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面P AC，
∵P A⊂平面P AC，∴P A⊥BC，
∵P A⊥PC，PC∩BC＝C，
∴P A⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）存在点N，当时，MN∥平面P AC．
理由如下：
取AD中点E，连结ME、NE，
∵M为PD中点，∴ME∥P A，
∵D为AB中点，E为AD中点，∴，
又∵＝，∴EN∥AC，
∵ME∩NE＝E，ME、EN⊂平面MEN，P A、AC⊂平面P AC，∴平面MEN∥平面P AC，
∵MN⊂平面MEN，∴MN∥平面P AC．
∴存在点N，当时，MN∥平面P AC．
19．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝﹣x．
（I）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设h（x）＝af（x）+（a+1）g（x），其中0＜a≤1，证明：函数h（x）仅有一个零点．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝lnx﹣，（x＞0）f′（x）＝﹣x，
在x＝1处的切线方程的斜率为k＝f′（1）＝0，
∴求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程y＝，
（Ⅱ）f′（x）＝﹣x，令f′（x）＝0，
得x＝1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）的单调递增区间为[1，+∞），
f（x）的单调递减区间为（0，1）；
（Ⅲ）证明：h（x）＝af（x）+（a+1）g（x）＝+alnx﹣（a+1）x，（x＞0）∴h′（x）＝x﹣（a+1）+≥2﹣（a+1），
当且仅当x＝，x＝，
设g（x）＝2﹣（a+1）
g′（x）＝，0＜a≤1，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当a＝1取最大值，最大值为0，
∴h′（x）＞0，
∴h（x）单调递增，
h（a）＝0＜a≤1
∴h（a）＜0，
当x＞1时，h（x）＞0，利用零点定理，
∴函数h（x）仅有一个零点．
20．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F
（3，0）．N为直线x＝4上任意一点，过点F做直线FN的垂线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）证明：O，M，N三点共线；
（Ⅲ）若2|OM|＝|MN|，求l的方程．
【解答】（I）解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（3，0），
∴c＝3，．
∴a＝，b＝．
∴椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）证明：设N（4，m），A（x1，y1），B（x2，y2），
AB的中点为M（x0，y0），k NF＝m，
由F（3，0），可设直线AB的方程为x＝﹣my+3，
代入椭圆方程可得（m2+4）y2﹣6my﹣3＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，于是M（），
则直线OM的斜率k OM＝，
又k ON＝，
∴k OM＝k ON，
∴O，N，N三点共线；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，M（），
N（4，m），且O，M，N三点共线；
又2|OM|＝|MN|，
则2＝，解得：m＝．
∴l的方程为，即．。