数学建模-黄灯亮多久

t2
所以只有 是需要进一步求得的。
t1
v0
解题过程
第三步 ： 下面先计算刹车距离. 设车辆的重量为 W ，车 辆刹车时，水平方向只受到摩擦力fW 作用，其方向 与运动方向相反。设刹车后，汽车走过的位移x (t )， 根据牛顿第二定律有如下的微分方程：
W d x 2 , fW g dt dx v0 , dt t0 x (0) 0.
0
进一步的问题
即使给了充分的停车时间，仍有许多驾驶员企 图加速想抢在红灯亮之前冲过交叉路口。但驾驶员 们并不知道什么时候红绿灯转为红灯。有一种“倒 数”型的红绿灯可以部分地解决这个问题，在黄灯 亮的最后几秒钟内，黄灯上显示出一窜倒着数的数 字，它们准确地警告驾驶员红绿灯何时将变为红色。 这种系统在我国的部分城市正使用着，它成功地降 低了事故发生率。
40 30
20
10
v （m/s） 0
5 10 15 20 25 30
数学实验
当 v 0 30 、45、60、75（km/h ），也即约8.3， T 12.5， 16.7，20.8（m/s ）时， 的值如下表所 示：
v0 （km/h）
T (s)
经验法(s) 2
30
4.92.03
3
4 5
数学实验
表中的“经验法”是按如下“经验”得到：对法 定的迫近速度的每个15 km/h亮黄灯1秒。我们注意 到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。 这使人想起，许多交叉路口的设计很可能使车辆在 绿灯转为红灯时正处在交叉路口上。
顺便地，我们还可以求得使 T 取最小值时的法 定速度 v 7.67（m/s）＝27.6（km/h），此时T *＝ 4.91s。
黄灯亮多久
在交通管理中，定期的亮一段黄灯是为了让 那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致 无法停下的驾驶员有机会在黄灯亮的时候通过路 口。如果汽车的法定速度为 v ，交叉路口宽度 为 H ，典型的车身长度为 L ，地面的摩擦系数 为 f ，试问黄灯点亮的时间多长为好呢？
0
应用背景
相关知识点
1.函数最大(小)值的求法 2.高阶可降阶微分方程的解法 3.微分方程的几何应用和简单物理应用
0
T 0 0
0

得到驻 2 fg ( L H ) 时， T 有
t0
T * min T
2(L H ) fg
数学实验
v0 借助于Mathematica可以描绘出 关于 的图像。 T t0 1 H m 10 。另外，我们将接 L ， 假设 s ， m 5 f 0 .在 受公路工程师提出的具有代表性的数据 . 2 Mathematica软件中输入如下程序： Plot[v/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, {v, 0, 30}] v0 运行后得到如下 T 关于 v 0的图像，其中 的单位为： T （s） m/s。
0
2
解题过程
第二步 ： 因此，如果取
T t 0 t1 t 2 ,
则选择刹车的驾驶员可以在刹车距离内安全停车； 选择通过路口的驾驶员也有足够时间安全通过路口。 T 所以最佳点亮黄灯时间就归结为求上述 的最小值。 假设汽车以法定速度 通过路口。由于 为常数， t v0 而 ， L H
0
2
（1）
解题过程
其中 g 为重力加速度，负号是因为速度与摩擦力方
向相反，从而
dv dt

d x dt
2
2
0
.
解题过程
第四步 ： 对（1）式积分得
v dx dt fgt v 0
（2）
v0
由于车停下后速度为零，所以在（2）式中令 得到汽车自刹车至停下所用的时间 在
x (t ) 1 2
解题方法
通过建立汽车刹车的微分方程，求出汽车通 过刹车距离、路口宽度和一个车身的行驶时间， 再求黄灯亮时的最小值，解决黄灯亮时问题。
解题过程
第一步 ： 驶近交叉路口的驾驶员看到黄灯信号时首先要 作出决定：是停车还是通过路口。如果选择停车， 他必须有足够的停车距离；如果选择通过路口，他 必须有足够的时间安全通过路口。 设驾驶员作出决定的反应时间为 t ，通过刹车 距离的时间为 t 1 ，通过路口和一个车身距离的时间 为 t ，黄灯点亮的时间为 T 。
2
t'
v0 fg
。 （3） （4）
x ( 0 ) 0 的条件下，对（2）式再积分得到
fgt v0t
2
从而刹车距离
x ( t ') D
v0
.
2 fg
解题过程
第五步 ： 由（4）式得
t1 D v0
v0 2 fg

v0 2 fg
L H v0
，
t0
所以
T
.
对 T 关于 v 0 求导数,令 点 v 2 fg ( L H ) ，所以当 v 极小值
fgvvdt2001??0002tvhlfgvt????对?关于lfg求导数令所以当得到驻hl?点极小值时有t20v0hv?20fgv?t02mintfghltt????00t??数学实验借助于mathematica可以描绘出假设s受公路工程师提出的具有代表性的数据mathematica软件中输入如下程序