山东省济宁市第一中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题数学含答案解析

济宁市第一中学2024届高三3月份定时检测
数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．二项式4
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含2x 项的系数为（
）A ．32
-
B ．
32
C ．1
2
-
D ．1
2
2．平面向量a ，b 满足||2a = ，3b = ，4a b += ，则b 在a
方向上的投影向量为（
）
A ．
12
a B ．14
a
C ．38
a
D ．
8
a 3．若函数()()cos π(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线1
3
x =对称，则ϕ=（）
A ．
π3
B ．
π6
C ．
2π3D ．
5π6
4．从1,2,,9 这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A ．
13
B ．49
C ．718
D ．
1336
5．已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为64
3
，则该球表面积为（）
A ．9π
B ．36π
C ．4π
D ．
4π3
6．设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（
）
A ．
2
3
B C ．34
D 7．设1033e a =，11
ln 10b =，ln 2.210
c =，则（
）A ．a b c <<B ．c b a
<<C ．b<c<a
D ．a c b
<<8．已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n ∈N .若
集合{}*
,n S x x b n N ==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（
）个A ．2B ．3C ．4
D ．5
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知圆2222
12:(3)1,:()16C x y C x y a -+=+-=，则下列结论正确的有（
）
A ．若圆1C 和圆2C 外离，则4
a >
B ．若圆1
C 和圆2C 外切，则4
a =±C ．当0a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线D ．当2a =-时，圆1C 和圆2C 相交10．已知1z 、2z 都是复数，下列正确的是（
）
A ．若12=z z ，则12=±z z
B ．1212
z z z z =C ．若1212z z z z +=-，则120z z =D ．1212
z z z z ⋅=⋅11．已知函数()sin 2cos2x
f x x
=
-，则（
）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的图象关于点()π,0对称
C ．不等式()f x x >无解
D ．()f x 三、填空题(每题5分，共15分）
12．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线:250l x y +-=垂直，则
C 的离心率为
.
13．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用1A 、2A 表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B 的概率是
.
14．如图，已知点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 内（包含边界）一个动点，若点P 到点A 的距离是点P 到1BB 的距离的两倍，则点P 的轨迹的长度为
．
四、解答题（共77分）
15．
（13分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，)
cos cos 2sin a C c A b B +=．
(1)求角B 的值；
(2)若b =22a c +的取值范围．
16．
（15分）如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AB ，CD 是长度为2的底面圆的两条直径，AB CD O = ，且3SO =，P 为母线SB 上一点．
(1)求证：当P 为SB 中点时，SA ∥平面PCD ；
(2)若60AOC ∠=︒，二面角P CD B --的余弦值为
21
，试确定P 点的位置．17．
（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为
4
5
，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为1
2，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23
，击中目标三次起火点必定被扑灭.(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
18．（17分）已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>
点()3,1-在双曲线
C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．
19．（17分）已知函数()()()2ln 1,sin f x a x x x x g x x =-++=．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0,0a x =>时，若在()g x 的图象上有一点列
()
**11,1,2,3,,,,2
2i i i A g i n i n ⎛⎫
⎛⎫=⋅⋅⋅∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,3,,i k i n =⋅⋅⋅，
（ⅰ）求证：()()3
16
g x f x x >-；
（ⅱ）求证：1
1
9n
i i k n =>-∑．
高三数学答题卡
姓名：班级：考场：
座号：
选择题（共12小题，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分，共58分）
1．[A ][B ][C ][D ]6．[A ][B ][C ][D ]11．[A ][B ][C ][D ]
2．[A ][B ][C ][D ]7．[A ][B ][C ][D ]3．[A ][B ][C ][D ]8．[A ][B ][C ][D ]4．[A ][B ][C ][D ]9．[A ][B ][C ][D ]5．
[A
][B ][C ][D ]
10．
[A
][B ]
[C ]
[D ]
填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．13．
14.
15．（13分）
贴条形码区
17．（15分）
16．（15分）
18.（17分）19.（17分）
济宁市第一中学2024届高三3月份定时检测
数学试题及参考答案
一、单选题
1．二项式4
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为（ ）
A ．3
2
-
B ．
32 C ．12
-
D ．1
2
【答案】B 【分析】
利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】
故选：B.
2．平面向量a ，b 满足||2a = ，3b = ，4a b += ，则b 在a
方向上的投影向量为（ ）
A
B ．14
a
C ．38
a
D
【详解】由4a b +==== 可得32
a b ⋅=，
而b 在a 方向上的投影向量为23||cos ,3248||||
b b a a b a a a a a a 〈〉⋅=== . 故选：C.
3．若函数()()cos π(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线1
3
x =对称，则ϕ=（ ）
A ．
π3
B ．
π6
C ．
2π3
D ．
5π6
【答案】C 【分析】
由余弦函数的对称性直接求解. 【详解】
4．从1,2,,9 这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ） A ．13
B ．
49
C ．
718
D ．
1336
【答案】C 【分析】
求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率. 【详解】
这九个数字中任取两个，有2
9C 种取法，
和为质数有()()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,2,3,1,6,2,5,3,4,2,9,3,8,4,7,5,6,4,9,5,8,6,7，
()8,9共14种情况，
因此所求概率为29147C 18
=. 故选：C.
5．已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为64
3
，则该球表面积为（ ） A ．9π B ．36π C ．4π D ．
4π
3
【答案】B
【详解】
P 在底面ABCD 的射影为H ,AC BD 的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为64163
⨯=，故4PH =. 6．设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（ ）
A ．2
3
B C ．
34
D
【详解】如图所示：
M 为准线与x 轴的交点，
因为30PQF ∠=︒，且PF PQ =，所以30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒，
因为//FM PQ ，所以30QFM ∠= ，
而tan 301
QM QM QM MF
=
=
==
，所以QF =
所以2cos302
3
QF PF PQ ==÷=
= . 故选：A.
7．设10
33e a =，11
ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<
C ．b<c<a
D ．a c b <<
【答案】B 【分析】
由题意可得1a >，1b <，1c <，即可得a b >，a c >，再比较b 与c 的大小关系，借助对数运算转化为比较()9
1.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】100331e e a >==，11ln 110b =<，ln 2.2
110
c =
<，故a b >，a c >， 要比较11ln 10与ln 2.210的大小，即比较10
11ln 10⎛⎫
⎪⎝⎭与ln 2.2的大小，
等价于比较()10
1.1与
2.2的大小，等价于比较()9
1.1与2的大小， 又()()()()9
8
4
4
1.1 1.1 1.1 1.1 1.21 1.1 1.2=⨯=⨯>⨯ ()()2
2
1.1 1.44 1.1 1.4 1.1 1.962=⨯>⨯=⨯>，
故()9
1.12>，即11ln
2.2
ln 1010
>，即b c >， 故c b a <<. 故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与c 的大小关系，可借助对数运算转化为比较()9
1.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
8．已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n ∈N .若
集合{}*
,n S x x b n N ==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【分析】考虑3t ≤不符合题意，4,6,7,8t =时，列举出满足条件的集合，再考虑5t =时不成立，得到答案.
二、多选题
9．已知圆2222
12:(3)1,:()16C x y C x y a -+=+-=，则下列结论正确的有（ ）
A ．若圆1C 和圆2C 外离，则4a >
B ．若圆1
C 和圆2C 外切，则4a =±
C ．当0a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线
D ．当2a =-时，圆1C 和圆2C 相交 【答案】BCD 【分析】
根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】()()1212123,0,0,,1,4C C a C C r r ===.
若1C 和2C 外离，则12125C C r r =>+=，解得4a >或4a <-，故A 错误；
若1C 和2C 外切，125C C ==，解得4a =±，故B 正确； 当0a =时，122113,C C r r C ==-和2C 内切，故C 正确；
10．已知1z 、2z 都是复数，下列正确的是（ ）
A ．若12=z z ，则12=±z z
B ．1212z z z z =
C ．若1212z z z z +=-，则120z z =
D ．1212z z z z ⋅=⋅ 【答案】BD 【分析】
利用特殊值判断A 、C ，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B 、D.
【详解】对于A ：令12i z =+、212i z =+，显然不满足12=±z z ，故A 错误；
对于C ：令11i z =+、21i z =-，则122z z +=，122i z z -=， 所以1212z z z z +=-，但是()()211i 1i 2z z =+-=，故C 错误； 设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，
所以()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++， 则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++
=
=
=
，
所以1212z z z z ⋅=⋅，故B 正确；
()12i z z ac bd ad bc ⋅=--+，又()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：BD
11．已知函数()sin 2cos2x
f x x
=
-，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的图象关于点()π,0对称
C ．不等式()f x x >无解
D ．()f x 4
【答案】BD 【分析】
对于选项A:验证()()πf x f x +=是否成立即可判断；对于选项B:验证
()()2πf x f x -=-是否成立即可判断；对于选项C:利用()π0πf -=>-即可验证()f x x >有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A:()()()
()sin πsin π,π2cos2π2cos2x x
f x f x x x
+-+==
≠∴-+-不是()f x 的周期，
故A 错误;
对于选项B:()()()
()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x x
f x f x f x x x
---==
=-∴---关于()π,0对称，故
B 正确；
对于选项C:()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，故C 错误； 对于选项D:()()
22sin sin 2sin 1212sin x x
f x x x
=
=+--，若sin 0x ≤，则()0f x ≤，
请点击修改第II 卷的文字说明
三、填空题
12．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线:250l x y +-=垂直，则
C 的离心率为 .
【详解】由直线:250l
x y +-=的斜率为1
02
-<，故有112b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，
即
2b
a
=，则e =13．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出
一球放入乙袋，分别用1A 、2A 表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B 的概率是 .
【详解】
所以1211225103217
()()()()(|)()(|)8218742
P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=, 故答案为：
1742
14．如图，已知点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 内（包含边界）一个动点，若点P 到点A 的距离是点P 到1BB 的距离的两倍，则点P 的轨迹的长度为 ．
【详解】
四、解答题
15．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
()3cos cos 2sin a C c A b B +=． (1)求角B 的值；
(2)若b =22a c +的取值范围．
【详解】（1)cos cos 2sin a C c A b B +=，
)sin cos sin cos 2sin sin A C C A B B +=，
(
)2sin sin
A C
B B B
+==，又sin0
B≠，
所以sin B=，又B为锐角，
则
π
3
B=；
（2
）由正弦定理
4
sin sin sin
a c b
A C B
====
，
则4sin,4sin
a A c C
==，
所以()()
2222
16sin16sin81cos281cos2
a c A C A C
+=+=-+-，
π
168cos28cos2168cos28cos2π
3
A C A A
⎛⎫
=--=----
⎪
⎝⎭
1
168cos28cos22
2
A A A
⎛⎫
=--- ⎪
⎪
⎝⎭
1624cos2
A A
=+-
π
168sin2
6
A
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
，
因为在锐角三角形ABC
中
π
2
ππ
0π
32
A
A
⎧
<<
⎪⎪
⎨
⎪<--<
⎪⎩
，得
ππ
62
A
<<，
所以
ππ5π
2
666
A
<-<，
则
1π
sin21
26
A
⎛⎫
<-≤
⎪
⎝⎭
，
π
20168sin224
6
A
⎛⎫
<+-≤
⎪
⎝⎭
所以22
a c
+的取值范围为(]
20,24.
16．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，AB CD O
=
，且3
SO=，P为母线SB上一点．
(1)求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD；
(2)若60
AOC
∠=︒，二面角P CD B
--
21
P点的位置．
【答案】(1)证明见详解
则()0,0,3S ，()1,0,0A ，(1,0,0B -所以()
1,3,0CD =- ，(1,0,3BS =
设BP BS λ= ，01λ<<，则(P 设平面PCD 的法向量为(n x =
17．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为4
5
，每次投弹是否击中目标相互独
立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为1
2，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23
，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【详解】（1）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3 ()()3
2
131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫
⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()()2
3
23
41484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫
==⋅⨯====
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. X ∴的分布列如下： X 0
1 2 3
P
1125 12125 48125 64125
()44123,,3555X B E X ⎛⎫
~∴=⨯= ⎪⎝⎭
.
（2）击中一次被扑灭的概率为12
113
411
6C 552125
P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 击中两次被火扑灭的概率为2
223
41232
C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯=
⎪⎝⎭
击中三次被火扑灭的概率为3
34645125
P ⎛⎫
==
⎪⎝⎭ ∴所求概率63264102125125125125
P =
++=. 18．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>
点()3,1-在双曲线C 上．过
C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．
19．已知函数()()()2ln 1,sin f x a x x x x g x x =-++=． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0,0a x =>时，若在()g x 的图象上有一点列
()
**11,1,2,3,,,,22i i i A g i n i n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,3,,i k i n =⋅⋅⋅， （ⅰ）求证：()()316
g x f x x >-； （ⅱ）求证：
19n
i k n >-∑． 【详解】（1）
当1a =时，()2ln 1f x x x =+，()11f =，所以()2ln 2f x x =+'，
曲线()y f x =在点()1,1处切线的斜率为()12f '=，
所以切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；
（2）
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（ⅰ）中得到2
cos 12
x x >-，从而得到12311cos 1022i i ++>->，从而借助放缩法，得到2271162i i k +>-⨯.。