FLUENT 多相流模型中文版资料
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(2) 混合模型
混合模型的相可以是流体或颗粒，并被看作互相穿插的连续统一体。混合模型求解 混合物动量方程，以设定的相对速度描述弥散相。适用混合模型的应用包括低载粉率的 带粉气流、含气泡流、沉降过程和旋风分离器等。混合模型还可以用于模拟无相对速度 的匀质弥散多相流。
(3) Euler 模型
。
当St 1时，颗粒将紧密跟随连续相，可以使用 DPM 模型、混合模型或 Euler 模型
三者中任何一种；当St 1 时，颗粒的运动将独立于连续相，可以 DPM 模型或 Euler 模 型；当 St 1，则又可以采用三种中的任何一种。具体采用何种模型还要考虑相体积分
数和计算量的大小。
航空发动机轴心通风器油 / 气两相流动中，滑油呈微小油滴，平均直径约数十μm， 局部油滴颗粒含量率最大约 10−4，体积分数最大不超过 10−7，典型情况下St数约 0.01。
入流边界的情况下，稳态的 VOF 计算才是有意义的。例如，旋转杯中自由表面的形状 取决于液体的初始的水平高度，这样的问题必须用瞬态格式求解。而另一个例子是水渠 中的水流，在其上方有空气，且空气有独立的入口，可以用稳态格式求解。
应用 VOF 模型的限制条件： 必须使用基于压力求解器。VOF 模型不能使用基于密度求解器。 所有控制容积必须充满一种流体相或多相的组合。VOF 模型不允许没有流体的空
(5.380)
式中， κ
β γ
αd αc
。不太高的分散相体积分数情况下分散相颗粒间平均距离较大，可以
忽略分散相颗粒压力和粘性应力，因而可以采用 DPM 模型。
可以用 Stokes 数 St 度量颗粒的动量非平衡程度。St 数定义为颗粒响应时间与系统响
应时间之比：
St
τd τs
(5.381)
式中，τd
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模型主要有：单流体模型、多（双）流体模型、颗粒动力学模型和分散颗粒群轨迹模型。 单流体模型将多相流视为单一混合物的连续介质。 把多相流中的各相都分别看成连续介质，用各相的体积分数描述其分布，导出各相
的守恒方程并引入本构关系使方程组封闭，这种模型通常称为多流体模型；对于两相流 的情况则称为双流体模型。多流体模型对各相连续介质的数学描述及处理方法均采用欧 拉方法，因此属欧拉 - 欧拉型模型。
5.4 多相流模型[30][32]
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5.4.1 概述
自然和工程中多数流动现象都是多相的混合流动。物理上，物质的相分为气相、液 相和固相，但在多相流系统中相的概念意义更广泛。在多相流中，一相被定义为一种对 其浸没其中的流体及势场有特定的惯性响应及相互作用的可分辨的物质。例如，同一种 物质的不同尺寸固体颗粒可以被看作不同的相，因为相同尺寸的颗粒集合对于流场具有 相似的动力学响应。
因此，轴心通风器的油 / 气两相流的数值计算应采用DPM模型。
5.4.3 多相流时间格式
为了准确模拟多相流的时空变化过程，空间和时间离散均需要高阶格式。除了一阶 时间格式外，混合模型、Euler 模型以及 VOF 隐式格式均可以使用二阶时间格式。
二阶时间格式可用于全部输运方程，包括混合相动量方程、能量方程、组分输运方 程、湍流模型、相体积分数方程、压力修正方程和颗粒流模型。在多相流中，通用输运 方程可以写成：
把多相流中的各相都分别看成连续介质，用各相的体积分数描述其分布，导出各相 的守恒方程并引入本构关系使方程组封闭，这种模型通常称为多流体模型；对于两相流 的情况则称为双流体模型。多流体模型对各相连续介质的数学描述及处理方法均采用欧 拉方法，因此属欧拉 - 欧拉（Euler - Euler）型模型。
在 Euler-Euler 型模型中，不同相在数学上被看作互相穿插的连续统一体，一相的体 积不能被其它相占据，因此引入相体积分数（phase volume fraction）的概念。相体积分 数是空间和时间的连续函数，且在同一空间位置同一时间各相体积分数之和为 1。对每 一相均可导出一组守恒方程，方程组应用本构关系或者统计运动学理论封闭。
多相流以两相流动最为常见。两相流主要有四种类型：气 - 液两相流，液 - 液两相 流，气 - 固两相流和液 - 固两相流。多相流总是由两种连续介质（气体或液体），或一种 连续介质和若干种不连续介质（如固体颗粒、水泡、液滴等）组成。连续介质称为连续 相；不连续介质称为分散相（或非连续相、颗粒相等）。
弹状流
(2) 体积分数方程
a. 体积分数方程
通过求解一相或多相体积分数的连续性方程，可以追踪各相之间的界面。第 q 相体 积分数的连续性方程为
1
ρq
t
αq ρq
αq ρqvq
Sαq
n
m pq
p 1
m qp
(5.385)
其中，ρq为第q相的物理密度；vq 为第q相的速度；mqp 为从相q向相p的传质；m pq 为从相
β
αd ρd αc ρc
(5.378)
分散相与连续相物质密度比：
γ
ρd ρc
(5.379)
式中，αd和αc分别为分散相和连续相的体积分数，ρd和ρc分别为分散相和连续相的物质密 度。
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由颗粒含量率β和物质密度比γ可估算分散相颗粒之间的平均距离：[41]
L
dd
π 1 κ 13 6κ
4 αp ρppVol n αp ρppVol n1
2t
该格式是无条件稳定的，但如果时间步长太大，三层时层方法的 n – 1 时层的负系数
会产生解的振荡。这个问题可以通过引入有界二阶格式解决。由于解的振荡主要出现在
可压缩液体流动中，因此仅对可压缩液体流动使用有界二阶格式。
5.4.4 VOF模型
(1) 概述
p向相q的传质； Sαq 为源项，其缺省值为零，也可以指定为常数或用户定义质量源项。
基本相体积分数由所有相的体积分数之和为 1 的约束条件计算，而不求解体积分数
方程：
n
αq 1
q 1
(5.386)
体积分数方程可以用隐式或显式时间离散格式求解。
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b. 显式时间离散格式
显式时间离散格式利用单元内和单元界面处前一时间步的体积分数值计算当前时间
VOF（Volume of Fluid）模型在整个计算域内对不互溶流体求解同一个动量方程组 并追踪每种流体的体积分数来模拟多相流。VOF 模型的典型应用包括射流的破碎、液体 中大气泡的运动和溃坝后液体流动的预测以及液 - 气界面的稳态和瞬态追踪。
VOF模型依赖于两种或多种流体（或相）是互不渗透的这一事实。对于引入模型中 的每一相，引入一个称为单元相体积分数的变量。在每个控制容积中，所有相的体积分 数之和为 1。只要在计算域内每一点的各相的体积分数已知，全部变量和物性的场都由 各相共享并代表了体积平均值。因而，根据体积分数的值，任意单元内的变量和物性或 者为一相的代表，或者为多相混合物的代表。即，如果单元中第q相流体体积分数为αq，
步的值：
α ρ n1 n1 qq
αqn
ρqn
t
V
f
ρqnU
αn n
f q,
f
Sαq
n
m pq
p 1
m qp
V
(5.387)
ρd dd2 18μc
为颗粒响应时间（也称为松弛时间或弛豫时间），代表颗粒与连续相动
量非平衡松弛过程的快慢，在连续相速度为常数以及Stokes阻力条件下，颗粒相对于连 续相的速度按指数规律衰减，经过时间τd后衰减为初始值的e−1；τs为系统响应时间，为
系统特征长度Ls与特征速度Vs之比，即 τs
Ls Vs
气泡流、含液滴气流、带粉气流 气力输送、液力输送、泥浆流
分层流、有自由表面流
沉降
流化床
图5.13 多相流流型
根据所依赖的数学方法和物理原理不同，多相流的理论模型分为三大类：(1)经典的 连续介质力学方法；(2)建立在统计分子动力学基础上的分子动力学模拟方法；(3)介观层 次上的模拟方法，即格子 -Boltzmann 方法。目前多在工程中应用的多相流连续介质力学
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αρ
t
αρV
τ
S
(5.382)
其中，为混合物变量（对于混合模型）或者为一相的变量；α为相体积分数（对于混合
模型α等于 1）；ρ为混合相密度；V 为混合物速度或相速度（取决于方程）； τ 为扩散 相；S为源项。
二阶时间格式使用Euler后向时间差分，为全隐格式。将通用输运方程(5.382)应用二 阶时间格式离散为
如果相间阻力规律已知，则 Euler 模型比混合模型更精确。如果相间阻力未知，则 应采用混合模型。
混合模型比 Euler 模型求解的方程数少，计算量小。Euler 模型计算精度高，但计算 量大，且稳定性较差。
估算分散相颗粒之间平均距离可以估计颗粒相互作用以及颗粒相与连续相耦合的强 弱。定义颗粒含量率（particulate loading）β 为分散相与连续相的质量密度比：
在由流体（气体或液体）和分散相（液滴、气泡或尘粒）组成的弥散多相流体系中， 将流体相视为连续介质，分散相视作离散介质处理，这种模型称为分散颗粒群轨迹模型 或分散相模型（Discrete Phase Model, DPM），由Crowe C. T. [38][39]和Smoot L. D.[40]等人提 出。其中，连续相的数学描述采用欧拉方法，求解时均N - S方程得到速度等参量；分散 相采用拉格朗日方法描述，通过对大量质点的运动方程进行积分运算得到其运动轨迹。 因此这种模型属欧拉 - 拉格朗日型模型，或称为拉格朗日分散相模型。分散相与连续相 可以交换动量、质量和能量，即实现双向耦合求解。如果只考虑单个颗粒在已确定流场 的连续相流体中的受力和运动，即单向耦合求解，则模型称为颗粒动力学模型。
Euler 模型对每一相求解动量方程和连续性方程。通过压力和相间交换系数实现耦 合。处理耦合的方式取决于相的类型。对于流 - 固颗粒流，采用统计运动学理论获得系 统的特性。相间的动量交换取决于混合物的类型。适用 Euler 模型的应用包括气泡柱、 浇铸冒口、颗粒悬浮和流化床等。
5.4.2 多相流模型的选择
VOF 模型适用于有清晰的相界面的流动。而混合模型和 Euler 模型适用于各相相互 混合且弥散相的体积分数超过 10%的情况。如果弥散相体积分数小于 10%，则应采用 DPM 模型模拟。
如果弥散相的颗粒尺寸分布和空间分布均较为分散，应首选采用混合模型。如果弥 散相集中于计算域的局部，则应采用 Euler 模型 3 中可能： αq = 0：单元中没有第q相流体。 αq = 1：单元中充满第q相流体。 0 < αq < 1：单元中有第q相流体与其它一相或多相流体间的界面。 根据局部αq值，计算域内每一控制容积被赋予适当的物性和变量值。 VOF 模型一般用于瞬态问题。只有在求解不依赖于初始条件，且对每一相有独立的
将通用输运方程5382应用二阶时间格式离散为??????????111111342nnpppppppppnnnnnbnbpuppvolvolvoltassn????????????????????5383将上式重写为ppnbnbaas??????5384其中??11132nppnnpnbpvolaast????????????1142nnppppppnuvolvolsst?????????该格式是无条件稳定的但如果时间步长太大三层时层方法的n1时层的负系数会产生解的振荡
Fluent有三种Euler - Euler型多相流模型：VOF（Volume of Fluid）模型、混合（mixture） 模型和Euler模型。Fluent有一种Euler - Lagrange型多相流模型，即分散相（DPM）模型， DPM模型见5.5节。
(1) VOF 模型
VOF 模型是应用于固定的 Euler 网格上的两种或多种互不溶流体的界面追踪技术。 在 VOF 模型中，各相流体共享一个方程组，每一相的体积分数在整个计算域内被追踪。 适用 VOF 模型的多相流应用包括分层流、有自由表面流动、液体灌注、容器内液体振 荡、液体中大气泡运动、堰流、喷注破碎的预测和气 - 液界面的稳态与瞬态追踪等。
的区域。 只能有一相为可压缩理想气体。对于使用 UDF 所定义的可压缩液体没有限制。 使用 VOF 模型时，不能模拟顺流向周期性流动。 使用 VOF 模型时，不能使用二阶隐式时间步进格式。 使用 DPM 模型进行并行颗粒追踪时，不能采用共享内存（Shared Memory）选项，
可采用消息传递（Message Passing）选项。
3αp ρppVol n1 4 αp ρppVol n αp ρppVol n1
2t
Anb nb p
S S n1
n1
n1 n1
U
pp
(5.383)
将上式重写为 其中，
App Anbnb S
(5.384)
Ap
An1 nb
S n1 p
3αp ρpVol
2t
n1
S
S n1 U
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(2) 混合模型
混合模型的相可以是流体或颗粒，并被看作互相穿插的连续统一体。混合模型求解 混合物动量方程，以设定的相对速度描述弥散相。适用混合模型的应用包括低载粉率的 带粉气流、含气泡流、沉降过程和旋风分离器等。混合模型还可以用于模拟无相对速度 的匀质弥散多相流。
(3) Euler 模型
。
当St 1时，颗粒将紧密跟随连续相，可以使用 DPM 模型、混合模型或 Euler 模型
三者中任何一种；当St 1 时，颗粒的运动将独立于连续相，可以 DPM 模型或 Euler 模 型；当 St 1，则又可以采用三种中的任何一种。具体采用何种模型还要考虑相体积分
数和计算量的大小。
航空发动机轴心通风器油 / 气两相流动中，滑油呈微小油滴，平均直径约数十μm， 局部油滴颗粒含量率最大约 10−4，体积分数最大不超过 10−7，典型情况下St数约 0.01。
入流边界的情况下，稳态的 VOF 计算才是有意义的。例如，旋转杯中自由表面的形状 取决于液体的初始的水平高度，这样的问题必须用瞬态格式求解。而另一个例子是水渠 中的水流，在其上方有空气，且空气有独立的入口，可以用稳态格式求解。
应用 VOF 模型的限制条件： 必须使用基于压力求解器。VOF 模型不能使用基于密度求解器。 所有控制容积必须充满一种流体相或多相的组合。VOF 模型不允许没有流体的空
(5.380)
式中， κ
β γ
αd αc
。不太高的分散相体积分数情况下分散相颗粒间平均距离较大，可以
忽略分散相颗粒压力和粘性应力，因而可以采用 DPM 模型。
可以用 Stokes 数 St 度量颗粒的动量非平衡程度。St 数定义为颗粒响应时间与系统响
应时间之比：
St
τd τs
(5.381)
式中，τd
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模型主要有：单流体模型、多（双）流体模型、颗粒动力学模型和分散颗粒群轨迹模型。 单流体模型将多相流视为单一混合物的连续介质。 把多相流中的各相都分别看成连续介质，用各相的体积分数描述其分布，导出各相
的守恒方程并引入本构关系使方程组封闭，这种模型通常称为多流体模型；对于两相流 的情况则称为双流体模型。多流体模型对各相连续介质的数学描述及处理方法均采用欧 拉方法，因此属欧拉 - 欧拉型模型。
5.4 多相流模型[30][32]
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5.4.1 概述
自然和工程中多数流动现象都是多相的混合流动。物理上，物质的相分为气相、液 相和固相，但在多相流系统中相的概念意义更广泛。在多相流中，一相被定义为一种对 其浸没其中的流体及势场有特定的惯性响应及相互作用的可分辨的物质。例如，同一种 物质的不同尺寸固体颗粒可以被看作不同的相，因为相同尺寸的颗粒集合对于流场具有 相似的动力学响应。
因此，轴心通风器的油 / 气两相流的数值计算应采用DPM模型。
5.4.3 多相流时间格式
为了准确模拟多相流的时空变化过程，空间和时间离散均需要高阶格式。除了一阶 时间格式外，混合模型、Euler 模型以及 VOF 隐式格式均可以使用二阶时间格式。
二阶时间格式可用于全部输运方程，包括混合相动量方程、能量方程、组分输运方 程、湍流模型、相体积分数方程、压力修正方程和颗粒流模型。在多相流中，通用输运 方程可以写成：
把多相流中的各相都分别看成连续介质，用各相的体积分数描述其分布，导出各相 的守恒方程并引入本构关系使方程组封闭，这种模型通常称为多流体模型；对于两相流 的情况则称为双流体模型。多流体模型对各相连续介质的数学描述及处理方法均采用欧 拉方法，因此属欧拉 - 欧拉（Euler - Euler）型模型。
在 Euler-Euler 型模型中，不同相在数学上被看作互相穿插的连续统一体，一相的体 积不能被其它相占据，因此引入相体积分数（phase volume fraction）的概念。相体积分 数是空间和时间的连续函数，且在同一空间位置同一时间各相体积分数之和为 1。对每 一相均可导出一组守恒方程，方程组应用本构关系或者统计运动学理论封闭。
多相流以两相流动最为常见。两相流主要有四种类型：气 - 液两相流，液 - 液两相 流，气 - 固两相流和液 - 固两相流。多相流总是由两种连续介质（气体或液体），或一种 连续介质和若干种不连续介质（如固体颗粒、水泡、液滴等）组成。连续介质称为连续 相；不连续介质称为分散相（或非连续相、颗粒相等）。
弹状流
(2) 体积分数方程
a. 体积分数方程
通过求解一相或多相体积分数的连续性方程，可以追踪各相之间的界面。第 q 相体 积分数的连续性方程为
1
ρq
t
αq ρq
αq ρqvq
Sαq
n
m pq
p 1
m qp
(5.385)
其中，ρq为第q相的物理密度；vq 为第q相的速度；mqp 为从相q向相p的传质；m pq 为从相
β
αd ρd αc ρc
(5.378)
分散相与连续相物质密度比：
γ
ρd ρc
(5.379)
式中，αd和αc分别为分散相和连续相的体积分数，ρd和ρc分别为分散相和连续相的物质密 度。
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由颗粒含量率β和物质密度比γ可估算分散相颗粒之间的平均距离：[41]
L
dd
π 1 κ 13 6κ
4 αp ρppVol n αp ρppVol n1
2t
该格式是无条件稳定的，但如果时间步长太大，三层时层方法的 n – 1 时层的负系数
会产生解的振荡。这个问题可以通过引入有界二阶格式解决。由于解的振荡主要出现在
可压缩液体流动中，因此仅对可压缩液体流动使用有界二阶格式。
5.4.4 VOF模型
(1) 概述
p向相q的传质； Sαq 为源项，其缺省值为零，也可以指定为常数或用户定义质量源项。
基本相体积分数由所有相的体积分数之和为 1 的约束条件计算，而不求解体积分数
方程：
n
αq 1
q 1
(5.386)
体积分数方程可以用隐式或显式时间离散格式求解。
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b. 显式时间离散格式
显式时间离散格式利用单元内和单元界面处前一时间步的体积分数值计算当前时间
VOF（Volume of Fluid）模型在整个计算域内对不互溶流体求解同一个动量方程组 并追踪每种流体的体积分数来模拟多相流。VOF 模型的典型应用包括射流的破碎、液体 中大气泡的运动和溃坝后液体流动的预测以及液 - 气界面的稳态和瞬态追踪。
VOF模型依赖于两种或多种流体（或相）是互不渗透的这一事实。对于引入模型中 的每一相，引入一个称为单元相体积分数的变量。在每个控制容积中，所有相的体积分 数之和为 1。只要在计算域内每一点的各相的体积分数已知，全部变量和物性的场都由 各相共享并代表了体积平均值。因而，根据体积分数的值，任意单元内的变量和物性或 者为一相的代表，或者为多相混合物的代表。即，如果单元中第q相流体体积分数为αq，
步的值：
α ρ n1 n1 qq
αqn
ρqn
t
V
f
ρqnU
αn n
f q,
f
Sαq
n
m pq
p 1
m qp
V
(5.387)
ρd dd2 18μc
为颗粒响应时间（也称为松弛时间或弛豫时间），代表颗粒与连续相动
量非平衡松弛过程的快慢，在连续相速度为常数以及Stokes阻力条件下，颗粒相对于连 续相的速度按指数规律衰减，经过时间τd后衰减为初始值的e−1；τs为系统响应时间，为
系统特征长度Ls与特征速度Vs之比，即 τs
Ls Vs
气泡流、含液滴气流、带粉气流 气力输送、液力输送、泥浆流
分层流、有自由表面流
沉降
流化床
图5.13 多相流流型
根据所依赖的数学方法和物理原理不同，多相流的理论模型分为三大类：(1)经典的 连续介质力学方法；(2)建立在统计分子动力学基础上的分子动力学模拟方法；(3)介观层 次上的模拟方法，即格子 -Boltzmann 方法。目前多在工程中应用的多相流连续介质力学
116
沈阳航空工业学院
αρ
t
αρV
τ
S
(5.382)
其中，为混合物变量（对于混合模型）或者为一相的变量；α为相体积分数（对于混合
模型α等于 1）；ρ为混合相密度；V 为混合物速度或相速度（取决于方程）； τ 为扩散 相；S为源项。
二阶时间格式使用Euler后向时间差分，为全隐格式。将通用输运方程(5.382)应用二 阶时间格式离散为
如果相间阻力规律已知，则 Euler 模型比混合模型更精确。如果相间阻力未知，则 应采用混合模型。
混合模型比 Euler 模型求解的方程数少，计算量小。Euler 模型计算精度高，但计算 量大，且稳定性较差。
估算分散相颗粒之间平均距离可以估计颗粒相互作用以及颗粒相与连续相耦合的强 弱。定义颗粒含量率（particulate loading）β 为分散相与连续相的质量密度比：
在由流体（气体或液体）和分散相（液滴、气泡或尘粒）组成的弥散多相流体系中， 将流体相视为连续介质，分散相视作离散介质处理，这种模型称为分散颗粒群轨迹模型 或分散相模型（Discrete Phase Model, DPM），由Crowe C. T. [38][39]和Smoot L. D.[40]等人提 出。其中，连续相的数学描述采用欧拉方法，求解时均N - S方程得到速度等参量；分散 相采用拉格朗日方法描述，通过对大量质点的运动方程进行积分运算得到其运动轨迹。 因此这种模型属欧拉 - 拉格朗日型模型，或称为拉格朗日分散相模型。分散相与连续相 可以交换动量、质量和能量，即实现双向耦合求解。如果只考虑单个颗粒在已确定流场 的连续相流体中的受力和运动，即单向耦合求解，则模型称为颗粒动力学模型。
Euler 模型对每一相求解动量方程和连续性方程。通过压力和相间交换系数实现耦 合。处理耦合的方式取决于相的类型。对于流 - 固颗粒流，采用统计运动学理论获得系 统的特性。相间的动量交换取决于混合物的类型。适用 Euler 模型的应用包括气泡柱、 浇铸冒口、颗粒悬浮和流化床等。
5.4.2 多相流模型的选择
VOF 模型适用于有清晰的相界面的流动。而混合模型和 Euler 模型适用于各相相互 混合且弥散相的体积分数超过 10%的情况。如果弥散相体积分数小于 10%，则应采用 DPM 模型模拟。
如果弥散相的颗粒尺寸分布和空间分布均较为分散，应首选采用混合模型。如果弥 散相集中于计算域的局部，则应采用 Euler 模型 3 中可能： αq = 0：单元中没有第q相流体。 αq = 1：单元中充满第q相流体。 0 < αq < 1：单元中有第q相流体与其它一相或多相流体间的界面。 根据局部αq值，计算域内每一控制容积被赋予适当的物性和变量值。 VOF 模型一般用于瞬态问题。只有在求解不依赖于初始条件，且对每一相有独立的
将通用输运方程5382应用二阶时间格式离散为??????????111111342nnpppppppppnnnnnbnbpuppvolvolvoltassn????????????????????5383将上式重写为ppnbnbaas??????5384其中??11132nppnnpnbpvolaast????????????1142nnppppppnuvolvolsst?????????该格式是无条件稳定的但如果时间步长太大三层时层方法的n1时层的负系数会产生解的振荡
Fluent有三种Euler - Euler型多相流模型：VOF（Volume of Fluid）模型、混合（mixture） 模型和Euler模型。Fluent有一种Euler - Lagrange型多相流模型，即分散相（DPM）模型， DPM模型见5.5节。
(1) VOF 模型
VOF 模型是应用于固定的 Euler 网格上的两种或多种互不溶流体的界面追踪技术。 在 VOF 模型中，各相流体共享一个方程组，每一相的体积分数在整个计算域内被追踪。 适用 VOF 模型的多相流应用包括分层流、有自由表面流动、液体灌注、容器内液体振 荡、液体中大气泡运动、堰流、喷注破碎的预测和气 - 液界面的稳态与瞬态追踪等。
的区域。 只能有一相为可压缩理想气体。对于使用 UDF 所定义的可压缩液体没有限制。 使用 VOF 模型时，不能模拟顺流向周期性流动。 使用 VOF 模型时，不能使用二阶隐式时间步进格式。 使用 DPM 模型进行并行颗粒追踪时，不能采用共享内存（Shared Memory）选项，
可采用消息传递（Message Passing）选项。
3αp ρppVol n1 4 αp ρppVol n αp ρppVol n1
2t
Anb nb p
S S n1
n1
n1 n1
U
pp
(5.383)
将上式重写为 其中，
App Anbnb S
(5.384)
Ap
An1 nb
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2t
n1
S
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