2025届云南省昆明黄冈实验学校高三压轴卷数学试卷含解析

2025届云南省昆明黄冈实验学校高三压轴卷数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()1ln 1x
f x x
-=+的大致图像为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，
BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）
A 2
B 3
C ．2
D ．223．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上
的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）
A ．55
B ．500
C ．505
D ．5050
4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4
x k k Z π
π=-∈
B ．+,4
x k k Z π
π=∈
C ．1
,2x k k Z π=
∈ D ．1+,24
x k k Z π
π=
∈ 5．已知随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若
212
11
p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<
D ．()()12
E E ξξ>，()()12D D ξξ>
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
7．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156
B ．124
C ．136
D ．180
8．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )
A ．3
B ．2-
C ．3或3-
D ．3或2-
9．集合}{
2
20A x x x =--≤，{}
10B x x =-<，则A
B =( )
A ．}{
1x x < B ．}{
11x x -≤< C ．{}2x x ≤
D ．{}
21x x -≤<
10．已知α是第二象限的角，3
tan()4
πα+=-
，则sin 2α=( ) A ．
1225
B ．1225
-
C ．
2425
D ．2425
-
11．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
12．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-
B ．6-
C ．4
D ．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3
a
f x x =+，则()f a 的值为___________________．
14．在ABC ∆中，已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则cos C 的最小值是________． 15．已知△ABC 得三边长成公比为
的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=及点(3,0)A ，设点P 是圆C 上的动点，在ACP △中，
若ACP ∠的角平分线与AP 相交于点(,)Q m n ，则22m n +的取值范围是_______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：. 组别
[)30,40
[)40,50
[)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[)90,100
频数
2
12
20
25
24
13
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(单位：元)
20 50
概率
3
4 14
现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式：19814≈，若(
)2
,X N μσ
-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，
()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=
18．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“2η≥”的概率.
19．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<
35X ≤≤
5X >
频数（年）
2
4
4
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X
13X <<
35X ≤≤
5X >
A 型游船最多使用量
1
2
3
若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投
入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？
20．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5
cos 5
ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.
求证：（1）直线SA
平面EFG ；
（2）直线AC ⊥平面SDB .
21．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米．．．的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时．．．的损耗为m 元（0m >），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为1y （元）、
2y （元）、3y （元）.
（1）请分别写出1y 、2y 、3y 的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.
22．（10分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ，2PA AD AB CD ====，4BC =，
PA 丄底面ABCD .
（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；
（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角A PE B --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln
1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12
x =时，1
()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 2、C 【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值. 【详解】
以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到
011
sin 6022
l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长，
可得到内切圆的半径为1;
可得到点的坐标为：(
))
()()(),,0,3,0,0,cos ,1sin B C
A D M θθ+
(
)
cos sin ,BM θθ=+()()3,3
,3,0BD BA =
=
故得到 (
))cos sin ,3
BM x θθ
=+=
故得到cos 3
1x θθ==-
1sin 3sin 2
33x y θθ
+⎧=⎪⎪
⇒⎨⎪=-+⎪⎩
，()sin 4242sin 2.3333x y θθϕ+=
++=++≤ 故最大值为：2. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 3、C 【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），
因此，2123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，
于是12399100
(10)50510
f +++⋅⋅⋅++==．
故选：C 【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
4、C 【解析】
()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1
,2
x k k Z π=∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题. 5、B 【解析】
根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据
212
11
p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】
因为随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.
所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i
i i i i E p D p p ξξ==-，
因为
212
11
p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，
由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 6、D 【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】 依题意，()()
183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 7、A 【解析】
因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】
711911212a a a a +==+，
∴712a =， ∴()
113137131313121562
a a S a +=
==⨯=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8、D 【解析】
根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项. 【详解】
因为2y =,所以当()1
2+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值； 当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值， 所以输入的x 的值为2- 或3， 故选：D. 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题. 9、C 【解析】
先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】
解得集合()(){}{
}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}
1B x x =< 所以{}
2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 10、D 【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】
因为3tan()4
πα+=-
, 由诱导公式可得,sin 3
tan cos 4
ααα==-, 即3
sin cos 4
αα=-
, 因为22sin cos 1αα+=,
所以2
16cos 25
α=
, 由二倍角的正弦公式可得,
23
sin 22sin cos cos 2
αααα==-,
所以31624
sin 222525
α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 11、C 【解析】
根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】
已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=
345675520a a a a a a ++++==
故答案选C 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 12、B 【解析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC 则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0 【解析】
由题意可得：(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可.
【详解】 解：
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
.
由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133
a a
+
=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.
故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 14、
2
3
【解析】
分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：cos 2cos 3cos bc A ac B ab C +=，然后再结合余弦定理整理为
22223a b c +=，再由cosC 的余弦定理得到a ，b 的关系式，最后利用基本不等式求解即可.
详解：已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，可得cos 2cos 3cos bc A ac B ab C +=，将角A,B,C 的余弦定理代入得
22223a b c +=，由222
2
2
2123c 23
s 32o a b a b c ab C ab ++-==≥，当a=b 时取到等号，故cosC 的最小值为2
3. 点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅是解题关键.属于中档题. 15、
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，
所对的角为最大角，设为，则根据
余弦定理得
，故答案为
.
考点：余弦定理及等比数列的定义.
16、7272-+⎣⎦
【解析】
由角平分线成比例定理推理可得2AQ PQ =，进而设点表示向量构建方程组表示点P 坐标，代入圆C 方程即可表示动
点Q 的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径. 【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ 是ACP ∠的角平分线，由角平分线成比例定理可知
2
21
AC AQ AQ PQ AP PQ ==⇒=,所以2AQ PQ =. 设点(),Q m n ，点(),P x y ，即()
()3,,,AQ m n PQ x m y n =-=--， 则()
()3,2,m n x m y n -=--，
所以()()33322232m x m x m n y n n y ⎧-=⎪⎧-=-⎪⎪⇒⎨
⎨=-⎪⎪⎩
=⎪⎩
. 又因为点P 是圆22:(1)1C x y +-=上的动点，
则22
2
224(1)1(3333)32239m n m n +-=⇒+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎭-⎝⎭=⎪⎝， 故点Q 的运功轨迹是以3332,M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
为圆心2
3为半径的圆， 又22m n +即为该圆上的点与原点间的距离， 因为2
2332733MO
d ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝=⎭=，所以22
72723333m n -≤+≤+
故答案为：⎣⎦
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0.8185（2）详见解析 【解析】
()1
由题意，根据平均数公式求得66.2μ=，再根据14σ=≈，参照数据求解.
()2由题意得()()1
2
P Z P Z μμ<=≥=
，获赠话费X 的可能取值为20,40,50,70,100，求得相应的概率，列出分布列求期望. 【详解】
()1由题意得
352451255206525752485139514
66.2100
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
66.2μ∴=
19814σ=≈
()()66.21466.21452.280.20.6826P Z P Z ∴-<≤+=<≤=
()()()1
66.221452.238.294.252.280.20.13592P Z P Z P Z -⨯<≤=
<≤-<≤=⎡⎤⎣
⎦ 综上，()()()38.280.238.252.252.280.20.13590.68260.8185P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤=+=
()2由题意得()()1
2
P Z P Z μμ<=≥=
，获赠话费X 的可能取值为20,40,50,70,100 ()133
20248P X ==
⨯=，()133********
P X ==⨯⨯= ()11150248P X ==⨯=，()1311133
7024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=
()1111
10024432
P X ==⨯⨯=
X 的分布列为：
39131165
2040507010083281632
4
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
【点睛】
本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18、（1）
29
;（2）从而ξ的分布列为 433()01249494949
E ξ=⨯
+⨯+⨯=;（3）12.
【解析】
（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：
（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则
()222
525202
502049
C C C P A C ++==，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为()29
149P A -=. （2）由题，知ξ的可能取值分别为0，1，2
()222
525202
5020
049C C C P C ξ++=
==， ()1111
52520252
5025
149C C C C P C ξ+===， ()11
5202504
249
C C P C ξ===，
从而ξ的分布列为
()01249494949
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. （3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为251502P =
=，所以1~3,2B η⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以事件“2η≥”的概率为 ()()2
3
233311112312222
P P C C ηη⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+==-+= ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭. 19、（1）()4
35
3P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】
（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=. （2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】
（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.
可得()31464
1034
35
C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，
若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105
P Y P X ⎛
⎫=
=<<== ⎪⎝⎭； 若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()4
63555
P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：
此时() 2.56 5.355
E Y =⨯
+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，
若13X <<，则312Y =-=，此时()()21213105
P Y P X ==<<==； 若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()2
5.5355
P Y P X ==≤≤=；
若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2
955
P Y P X ==>=；
此时Y 的分布列如下表：
Y 2 5.5 9
P
15
2
5 25
此时()122
2 5.59 6.2555
E Y =⨯
+⨯+⨯=（万元）. 由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大. 【点睛】
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 20、（1）见解析（2）见解析 【解析】
(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】
（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC 的中点,由E 、F 为DC 、BC 的中点,再由题意可得1
4
CG CH CS CA ==,所以在三角形CAS 中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA 平面EFG .
（2）在ASD 中,1SD =,2AD =,5
cos 5
ASD ∠=
,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即2225
21215
SA SA =+-⨯⨯
,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =,
所以AC ⊥平面SDB .
【点睛】
本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题. 21、（1）12060ms y S =+
，210120mS y S =+，350600
mS
y S =+
. （2）当6000m <时，此时选择火车运输费最省； 当6000m >时，此时选择飞机运输费用最省； 当6000m =时，此时选择火车或飞机运输费用最省. 【解析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式. （2）作差比较2y 、3y 的大小关系得出结论. 【详解】 （1）12060
ms y S =+
， 210120mS y S =+
，350600
mS
y S =+
. （2）
0,0m S >>，
故2010,
60120
mS mS
S S >>， 12y y ∴>恒成立，故只需比较2y 与3y 的大小关系即可，
令()324040150150mS m f S y y S S ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
， 故当400150
m
-
>，即6000m <时， ()0f S >，即23y y <，此时选择火车运输费最省，
当400150
m
-
<，即6000m >时， ()0f S <，即23y y >，此时选择飞机运输费用最省.
当400150
m
-
=，即6000m =时， ()0f S =，23y y =，
此时选择火车或飞机运输费用最省. 【点睛】
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
22、（1）见证明；（2）4
7
【解析】
（1）先证明等腰梯形ABCD 中AC AB ⊥，然后证明PA AC ⊥，即可得到AC 丄平面PAB ，从而可证明平面PAC 丄平面PAB ；（2）由P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--=，可得到ABE AECD S S ∆=梯形，列出式子可求出BE ，然后建立如图的空间坐标系，求出平面PAE 的法向量为1n ，平面PBE 的法向量为2n ，由121212
cos ,n n n n n n ⋅=可得到答案．
【详解】
（1）证明：在等腰梯形ABCD ，2AD BC AD AB CD ===，
， 易得60ABC ∠=︒
在ABC ∆中，222 2cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=， 则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥， 又
PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，
即
AC AB AC AC PA ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
平面PAB ，故平面PAC 丄平面PAB . （2）在梯形ABCD 中，设BE a =，
P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--∴=，ABE AECD S S 梯形∆∴=，
()
1
sin 22
CE
AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=
，而
h ==即
()421222
a a -+⨯⨯=，3a ∴=. 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为
y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图的空间坐标系，则
()0,0,0A ，()()10,0,22,0,02P B E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
设平面PAE 的法向量为()()1133,,,,00,0,222n x y z AE AP ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝
⎭
，，
， 由11n AE n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得10220x y z ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
，
取1x =，得309y z =-=，，131,,09n ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 同理可求得平面PBE 的法向量为231,,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
设二面角A PE B --的平面角为θ，
则12
121233101934cos cos ,7
111011273n n n n n n θ-⨯+⨯⋅====++⋅++， 所以二面角A PE B --的余弦值为47
.
【点睛】
本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．。