江西省赣州市樟木中学高三数学文联考试卷含解析

江西省赣州市樟木中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：
①、都在函数的图像上；②、关于原点对称.
则称点对为函数的一对“友好点对”.
（注：点对与为同一“友好点对”）
已知函数，此函数的“友好点对”有
A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对
参考答案：
C
由题意，当时，将的图像关于原点对称后可知的图像与时存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C.
2. 已知集合则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
参考答案：
D
3. 正方形ABCD的边长为2，向正方形ABCD内投掷200个点，有30个落入图形M中，则图形M的面积估计为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】CF：几何概型．
【分析】设图形M的面积为S′，利用几何概型的概率计算公式求出S′的值．
【解答】解：设图形M的面积为S′，根据几何概型的概率计算公式，
P==，
∴S′=×22=．
故选：C．
4. 已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，x?R｝，则M?N＝（）
A．? B. {x|x31} C.｛x|x>1｝ D. {x| x31或x<0}
参考答案：
解析：M＝｛x|x>1或x￡0｝，N＝｛y|y31｝故选C
5. 定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f （x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，则实数a的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．
【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，
结合图象，
设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为
x1，x2，x3，x4，x5，
则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，
﹣log0.5（﹣x3+1）=a，
x3=1﹣2a，
故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，
∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，
∴a=．
故选B．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质应用，属于中档题．
6. 已知集合，，，则实数的不同取值个数为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日
参考答案：
A
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．
【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{a n}，其中a1=103，d=13；
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；
设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m
=103m++97m+=2×1125，
解得：m=9．
故选：A．
8. 已知正实数满足，且使取得最小值.若曲线过点的值为
A. B. C.2 D.3
参考答案：
B
9. （5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）
A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2
参考答案：
B
【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．
【专题】：概率与统计．
【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论
解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，
乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，
所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，
s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，
2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，
s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，
∴1=2，s1＜s2
故选：B
【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题
10. 公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且，则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，则的值是__________。

参考答案：
3
12. 设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数
.
参考答案：
-1
略
13. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn（n=1，2，3，…），若数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．
参考答案：
（﹣3，+∞）
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
解答：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn（n=1，2，3，…），
数列{a n}是递增数列，
∴a n+1﹣a n
=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）
=2n+1+λ＞0恒成立
∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ＞0
∴λ＞﹣3
即实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．
故答案为：（﹣3，+∞）．
点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用． 14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 9=45，则a 5= ．
参考答案：
5
【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的求和公式和性质可得S 9=9a 5=45，解方程可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得：
S 9===9a 5=45，
∴a 5=5
故答案为：5
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
15. 如图，在长方体中，
，
，则三棱锥的体
积为
▲
．
参考答案：
3
考点：三棱锥体积
【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.
16. 已知曲线C ：
，直线l ：x=6。

若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使
得，则m 的取值范围为 。

参考答案：
17. 已知函数
，若函数
有且仅有两个零点，
则实数的取值范围是 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
（其中
）．
（1）当a ＝－4时，求不等式的解集；
（2）若关于x 的不等式
恒成立，求a 的取值范围．
参考答案：
（1）当a=－4时，求不等式
，即为
，
所以|x －2|≥2，即x －2≤－2或x －2≥2， 原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}． 4分
（2）不等式
即为|2x+a|+|x －2|≥3a2－|2－x |，
即关于x 的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a2恒成立． 而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|， 所以|a ＋4|≥3a2，
解得a ＋4≥3a2或a ＋4≤－3a2，
解得
或
．
所以a 的取值范围是
． 10分
19. （本题满分12分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（1）求甲得分的数学期望；
（2）求甲、乙两人同时入选的概率．
参考答案：
20. 在中，分别为角的对边，且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
参考答案：
解：（Ⅰ）由正弦定理及已知，得
…………2分整理，得…………3分
有余弦定理，得…………5分
在中，，所以…………7分
（Ⅱ）由正弦定理及已知，得
…………9分即
结合及已知解得
即…………12分因此是一个等腰钝角三角形…………13分略
21. 已知函数．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
参考答案：
22. （本小题共13分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．
参考答案：
（Ⅰ）
．
所以
．…………………7分
（Ⅱ）当时，．
所以，当时，即时，函数取得最小值；
当时，即时，函数取得最大值．…………………13分。