解直角三角形及其应用复习

P
30°
A
200米
45°
O
B
L Uห้องสมุดไป่ตู้D
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
45°
30°
O
B
400米
A
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解直角三角形（复习）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
引例： 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42米,请根据这些条件求出南峰塔的高度?
(供选用数据:sin64°=0.9, cos64°=0.4, tan64°=2, cot64°=0.5) A
C E
D B
能力提高：
如图，灯塔A周围1000米处水域内有礁石，一船艇由西向东 航行，在O处测得灯在北偏东740方向线上，这时O、A相距 4200米，如果不改变航行方向，此艇是否有触礁的危险？ （供选用的数据：cos740=0.2756，sin740=0.9613， cot740=0.2867，tan740=3.487。精确到个位数） 北 A
P
45° 30°
200米 D
O
B
P
归纳与提高
α β
450
P
450
45°
30°
30°
45°
O
B
C
30°
60°
A
B
O
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
A
B
D
40
C
例题精析
例1 如图,在地面上离旗杆BC底部8米的A处,用测角仪 测得旗杆顶端C的仰角为52°,已知测角仪AD的高为1.6 米，求旗杆BC的高(tan52°≈1.280，sin52°≈0.788 精确到0.1米). 解 从测角仪的D处作DE∥AB,交BC于点E.
例 3 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见 岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x海里
∵ ∠M BA= 60˚， ∠ NCA= 30˚， ∴ ∠DAB=60˚， ∠DAC= 30˚， 在Rt△ADC中， CD=AD•tan∠DAC= x•tan30˚,
在Rt△ADB中， BD=AD•tan∠DAB= x•tan60˚,
∵ BD-CD=BC, BC=24海里 A
N
M
∴ x•tan60˚- x•tan30˚=24 ∴ x=
24
tan60˚- tan30˚
=12 √3
30˚
≈12×1.732 =20.784 > 20
60˚
答：货轮继续向西航行， 没有触礁危险。
O
B
东
1
如图19.4.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（sin22°≈0.375，cos22° ≈0.927， tan22°≈0.404。精确到0.1米） 解 在Rt△BDE中， BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17， 所以 AB＝BE＋AE ＝BE＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米）． 答： 电线杆的高度约为10.4米．
图 19.4.4
例
2
方法提炼：
已知在RtΔABC中 ∠ABC=90º，∠ACB=α ， ∠ADB=β ，AB=h，CD=a。 则： 在RtΔABC中，BC=AB•cotα 在RtΔADB中，DB=AB•cotβ CB - DB=AB(cotα- cotβ) 所以：
a h cot cot
D
C
B
课堂练习
1、如图：某直升飞机于空中A处观测到地平面控制点C的俯 角为30°，若飞机的航向不变，继续向前飞行1 000m至B处 时，观测地平面控制点C的俯角为45°，问飞机再向前飞行 多少米时与地面控制点C的距离最近？(结果保留根号)
2、一船向东航行，上午9:00到达灯塔C的西南60 n mile的点A处，上午10:00到达灯塔C的正南的点B处． (1)画出示意图； (2)求这船的航行速度．(结果保留根号)
BE , AE CE , AE
BE=AE· tan∠BAE =40· tan32°≈25.0(米).
在Rt△ACE中,tan∠CAE = CE=AE· tan∠CAE=40· tan25°≈18.7(米). ∴BC=BE+CE≈25.0+18.7=43.7≈44(米). 答:乙楼的高度约为44米.
例
C
30°
P
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
45°
O
B
C
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水 A 平距离.
根据题意，可知
DE=AB=8(米),BE=AD=1.6(米), ∠CDE=52°.
在Rt△DCE中,tan∠CDE=
CE , 得 DE
CE=DE · tan∠CDE=8· tan52°≈10.2(米).
∴BC=BE+CE≈1.6+10.2≈11.8(米).
答:旗杆BC的高约为11.8米.
例2 如图,甲乙两幢楼之间的距离CD等于40米,现在要测乙
楼的高BC(BC⊥CD),所选观察点A在甲楼一窗口处,AD∥BC.从 A处测得乙楼顶端B的仰角为32°,底部C的俯角为25°.求乙楼 的高度(sin32°≈0.530，tan32°≈0.625， sin25°≈0.423， tan25°≈0.466 精确到1米). 解： 从观察点A处作AE∥CD,交BC于点E. 根据题意,可知AE=CD=40(米), ∠BAE=32°, ∠CAE=25° 在Rt△ABE中,tan∠BAE =
Ａ
a
b
Ｃ
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线
俯角 视线
例1:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?