时域有限差分法中的不均匀性问题研究
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ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｄｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ，ａｒｅ
ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ
ｇｒｉｄｓ，ａｎｄ
ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ－ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ－
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｅｒｒｏｒ
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ＡＤＩ－ＦＤＴＤ ｆｏｒｍｕｌａｓ
ａｒｅ
ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ（ＡＤＩ—ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ，ｔｗｏ
ｃａｎ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｂｏｔｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ
ｄｅｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ
Ｋｅｙｗｏｒｄ：
ＦＤＴＤ
ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍ
ＡＤＩ．ＦＤＴＤ
ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ
ｇｒｉｄｓ
ＰＭＬ
ｍｅｄｉｕｍ
独创性（或创新性）声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｓｅｃｏｎｄ・－ｏｒｄｅＬ
Ｗｉｔｈ
ａｌｗａｙｓ，ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｔ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ，ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｒ Ｆｏｒ ｔｈｅ
ｔｈｅ
ｔｏ
ｇｌｏｂａｌ
ａｌｌ
ｅｒｒｏＬ
ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ ｉｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ＰＭＬ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ
ｅｒｒｏｒｓ
ｉｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｕｓｉｎｇ
ｚｅｒｏ—ａｎｇｌｅ—ｏｆ－ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ
“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ鲥ｄｓ
ａｒｅ
ａｌｍｏｓｔ
ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｕｓｉｎｇ ｓｔｒｉｃｔ ｓｔｒｉｃｔｌｙ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
Ｃａｌｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｏｎｅｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．ｉｔ
摘要
在均匀媒质中或当媒质电磁参数为充分光滑的连续函数时，时域有限差分法 （ＦＤＴＤ）具有二阶精度；但在媒质参数有突变的分区均匀媒质中，跨界面差分公 式只有一阶精度。是为本文第一类不均匀性问题。本文第二类不均匀性问题为 ＦＤＴＤ算法中的非均匀网格，即在电磁波随空间尺度变化较为剧烈的区域局部采用 较为细密的网格，以便减小该区域的离散误差。本文第三类不均匀性问题为理想 匹配层（ＰＭＬ）非物理媒质。当模拟开区域电磁场问题时，不仅物理媒质，ＰＭＬ 吸收媒质也是ＦＤＴＤ的目标媒质。 本文首先研究一维、二维直至三维情况的分区均匀媒质问题，假设分界面两侧 媒质具有不同的介电常数和不同的磁导率，采用非均匀网格，通过严格的数学推 导将跨界面差分公式的精度提高为二阶；并在此基础上提炼出“电均匀”概念， 即分界面两侧对波长归一化后的网格尺寸保持不变。 对无法确定波方向的一般问题，数值实验表明，采用零入射角非均匀网格，反 射系数误差与严格“电均匀”网格几乎相同。因此就一般的电磁仿真而言，没有 必要追求严格的“电均匀”，而可以在“电均匀”方法基础上灵活确定网格尺寸。 此所谓模糊“电均匀”方法。 将单方向跨界面“电均匀”扩展到跨方向“电均匀”，然后采用二者兼备的“完 全电均匀”网格，若时间步取稳定性条件允许的最大值，则不仅在均匀媒质中， 而且在分区均匀媒质中，可得精确时域有限差分法。此结论适用于一维、二维直
ａ
ｂｒｅａｋ ａｔ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｉｎ
ｐｅｒｍｉｔｔｉｖｉｔｙ
ｏｒ
ｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙ，ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｐｐｅａｒｓ．Ｔｈｅ
ｏｒ
ｓｅｃｏｎｄ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ
ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ ｇｒｉｄｓ ｉｎ ＦＤＴＤ
ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｍｅｄｉｕｍ
ｗｈｅｎ
ａｎ ｏｐｅｎ—ｒｅｇｉｏｎ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｓｉｍｕｌａｔｅｄ．
ｂｏｔｌｌ ｔｈｅ
Ｔｈｅ １・，２－，ａｎｄ ３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ—ｉｎ－ｓｕｂ—ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｄｉａ，ｗｈｅｒｅ
ｏｎ
ｐｅｒｍｉｔｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｆｆｅｒ
至三维。
跨媒质突变面差分公式的精度不论为一阶、二阶，全局精度保持二阶不变；媒 质分界面反射系数的精度等级与差分公式的精度等级不同，采用电均匀网格，可 得三阶精度反射系数甚至反射系数的精确解，而跨界面差分公式的精度保持二阶 不变：全局精度同为二阶，媒质突变面局部精度越高，全局误差越小。 针对将ＰＭＬ技术嫁接到交替方向隐式时域有限差分法（ＡＤＩ．ＦＤＴＤ）时遇到 的困难，提出两种不同的ＡＤＩ．ＦＤＴＤ公式，二者都可将反射误差减小３０ｄＢ左右。 由于反射误差较小，新方法可用于时间步较大（ＣＦＬＮ≤２０）的ＡＤＩ．ＦＤＴＤ电磁问 ｂｅ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ
ｔｈｒｏｕｇｈ
ｔｈｅ ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
ａｂｔａｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｋｅｅｐｉｎｇ ｔｈｅ
ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ，ｂａｓｅｄ
ｗｈｉｃｈ
ａｎ
ｉｄｅａ ｏｆ‘＇ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｉｓ
ｕｎｉｔａｒｙ・ｏｆ－ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈ鲥ｄ ｓｉｚｅｓ
ｓｍｏｏｔｈ ｅｎｏｕｇｈ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ・ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ・ｉｎ—ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ
ｍｅｄｉａ ｗｉｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ
ａｃｒｏｓｓ
ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ．
Ａｓ ｔｏ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｖｅｓ ｃｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ，ｉｔ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｔ１１ａｔ ｔｈｅ
ｂｙ
ａｂｏｕｔ ３０ｄＢ．Ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｓｍｉｌｅｒ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ，ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｓ
Ｃａｎ ｂｅ
ｕｓｅｄ ｆｏｒ
ｌａｒｇｅｒ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐｓ（ＣＦＬＮ≤２０）ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＡＤＩ—ＦＤＴＤ ｍｅｔｈｏｄ．
在解密后遵守此规定）
本人签名：兰兰！垒
日期！＝＝！至：！：２
日期
ａｏｏＳ．Ｉ．７ｆ．
导师签名：兰鳃邀
第一章绪论
第一章绪论
１．１时域有限差分法中的不均匀性问题
虽然差分法是经典的数值方法之一，其历史可以追溯到牛顿时代，但“时域 有限差分法（ＦＤｌＤ）”却是一个充满活力的现代电磁场数值分析领域。１９６６年， 基于Ｍａｘｗｅｌｌ旋度方程，Ｙｅｅ Ｋ．Ｓ．发现了一套构造独特的差分方程【ｌＪ，是为起点。 ４０年间这一方法得到了充分的发展１２罐ｌ，成为处理复杂媒质对象的有效方法之一。 Ｙｅｅ的时域有限差分公式以媒质参数连续变化为前提，场分量时、空导数的 差分近似均为二阶精度。事实上，就通常遇到的问题而言，根据媒质参数的变化 方式，主要有均匀媒质和分区均匀媒质两大类。分区均匀媒质的分界面可能是一 般曲面，也可能是简单的平面。 分区均匀媒质问题是以均匀媒质问题为基础的，但对于电磁场数值分析方法 而言，前者更为重要。这是因为均匀媒质问题可以用解析方法解决。工程实际中 经常遇到的是媒质参数有突变的不均匀性问题，这一类问题往往不能用解析方法 求解。因此反过来说，对于媒质参数有突变的不均匀性问题，数值方法比解析方 法更为重要。这是本文研究的第一类不均匀性问题［９之５１，仅限于平面分界面分区 均匀媒质问题。 第二类不均匀性问题是ＦＤＴＤ网格的不均匀性１２－４１。众所周知，Ｙｅｅ网格由一 个个相互嵌套的矩形网格组成，是一个矩形元胞（ｃｅｌｌ）的集合。如果计算区域所 有矩形元胞都相同，即均匀网格，在电磁场随空间尺度变化缓慢的区域，网格分 辨率（每波长网格数）可能不必要地过高，在变化剧烈的区域，网格分辨率则往 往不足。这不仅浪费计算资源，计算精度也可能较低。“非均匀网格”时域有限差 分法针对这一问题，仅在电磁场随空间尺度变化剧烈的区域，局部采用较密的网 格，企图在保证计算精度的前提下，节约计算资源。 网格的不均匀性还有一个重要的方面。如上所述，Ｙｅｅ网格是一个矩形元胞 的集合，如果矩形元胞为正方形，则三个方向上的网格尺寸一致：但一般而言， 三个方向上的网格尺寸不一致。本文研究表明，至少在两个方向上网格尺寸彼此 不等与单方向网格尺寸变化，这两者之间有本质的联系，因此把二者均归入网格
ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ
ｔｈｅ ＣＦＬ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｔｈｉｓ
ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｋｅｅｐｓ ｃｏｒｒｅｃｔ
ｆｏｒ ａｎｙ ｏｆ １－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，２－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ａｎｄ ３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃａｓｅｓ．
Ｗｈｅｔｈｅｒ
ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ．．ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｆｉｒｓｔ・・ｏｒｄｅｒ
ｃａｌｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ
ｏｒ ｅｖｅｎ
ｂｅ ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｔｅ
ｒｉｇｏｒｏｕｓｌｙ
ｅｘａｃＬ ｂｕｔ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ
ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｃｃｕｒａｃｙ ｂｅｉｎｇ ｓｅｃｏｎｄ・・ｏｒｄｅｒ
ｆｌｅｘｉｂｌｙ ｂａｓｅｄ
ｉｓ ｎｏｔ
ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｂｅ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｆｏｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｓｔｅａｄ，ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｓｉｚｅｓ
ｂｅ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈ
ｏｒ
ｓｅｃｏｎｄ－－ｏｒｄｅｒ，ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｃｃｕｒａｃｙ ｋｅｅｐｓ ｓｅｃｏｎｄ・・ｏｒｄｅｒ．Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｉＳ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｈｅｒｅ ｆｉｎｅｒ ｇｒｉｄｓ
ｖａｒｙ ｆａｓｔ
ａｒｅ
ｕｓｅｄ ｉｎ
ｓｕｂ－ｒｅｇｉｏｎｓ，ｉｎ
ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ
ｗｈｉｃｈ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅｓ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｈｅ ｔｌｌｉｒｄ
ｗｉｔｈ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．ｉｎ
ｏｒｄｅｒ ｔｏ
ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ口ＭＬ），ａ ｎｏｎ－ｐｈ）ｒｓｉｃａｌ ｍｅｄｉｕｍ．Ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ
ｍｅｄｉｕｍ
ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ
ＰＭＬ ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｍｅｄｉｕｍ
ｉｓ
ｉｓ
本人签名：
羔！垒芏
日期童堡！墨！！１ ２
关于论文使用授权的说明
本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。（保密的论文
ｍａｙ
ｂｅ
ｔｅｒｍｅｄ
ｆｕｚｚｙ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｍｅｔｈｏｄ．
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ
ａｃｒｏｓｓ
Ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ ｓｉｎｇｌｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ‘‘ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｉｎｔｅｒｆａｃｅ‘‘ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｔｏ
ｂｅｔｗｅｅｎ— ｂｏｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ”．ａｎｄ
关键词：ＦＤＴＤ非均匀媒质电均匀网格ＰＭＬ媒质ＡＤＩ－ＦＤＴＤ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅ
ｆｉｎｉｔｅ．．ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｉｍｅ．ｄｏｍａｉｎ（ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ
ａｒｅ
ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉａ ａｎｄ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｐｅｒｍｉａｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙ
ｔｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｒｉｄｓ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｃａｎ
ｕｎｉｆｏｒｍ’’ｉｎ
ａｓｐｅｃｔｓ，ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ ｍｅｔｈｏｄ
ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ—ｉｎ－ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ ｍｅｄｉｕｍ．ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｓｉｚｅ ｂｅｉｎｇ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｄｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ，ａｒｅ
ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ
ｇｒｉｄｓ，ａｎｄ
ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ－ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ－
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｅｒｒｏｒ
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ＡＤＩ－ＦＤＴＤ ｆｏｒｍｕｌａｓ
ａｒｅ
ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ（ＡＤＩ—ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ，ｔｗｏ
ｃａｎ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｂｏｔｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ
ｄｅｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ
Ｋｅｙｗｏｒｄ：
ＦＤＴＤ
ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍ
ＡＤＩ．ＦＤＴＤ
ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｕｎｉｆｏｒｍ
ｇｒｉｄｓ
ＰＭＬ
ｍｅｄｉｕｍ
独创性（或创新性）声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｓｅｃｏｎｄ・－ｏｒｄｅＬ
Ｗｉｔｈ
ａｌｗａｙｓ，ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｔ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ，ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｒ Ｆｏｒ ｔｈｅ
ｔｈｅ
ｔｏ
ｇｌｏｂａｌ
ａｌｌ
ｅｒｒｏＬ
ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ ｉｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ＰＭＬ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ
ｅｒｒｏｒｓ
ｉｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｕｓｉｎｇ
ｚｅｒｏ—ａｎｇｌｅ—ｏｆ－ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ
“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ鲥ｄｓ
ａｒｅ
ａｌｍｏｓｔ
ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｕｓｉｎｇ ｓｔｒｉｃｔ ｓｔｒｉｃｔｌｙ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
Ｃａｌｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｏｎｅｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．ｉｔ
摘要
在均匀媒质中或当媒质电磁参数为充分光滑的连续函数时，时域有限差分法 （ＦＤＴＤ）具有二阶精度；但在媒质参数有突变的分区均匀媒质中，跨界面差分公 式只有一阶精度。是为本文第一类不均匀性问题。本文第二类不均匀性问题为 ＦＤＴＤ算法中的非均匀网格，即在电磁波随空间尺度变化较为剧烈的区域局部采用 较为细密的网格，以便减小该区域的离散误差。本文第三类不均匀性问题为理想 匹配层（ＰＭＬ）非物理媒质。当模拟开区域电磁场问题时，不仅物理媒质，ＰＭＬ 吸收媒质也是ＦＤＴＤ的目标媒质。 本文首先研究一维、二维直至三维情况的分区均匀媒质问题，假设分界面两侧 媒质具有不同的介电常数和不同的磁导率，采用非均匀网格，通过严格的数学推 导将跨界面差分公式的精度提高为二阶；并在此基础上提炼出“电均匀”概念， 即分界面两侧对波长归一化后的网格尺寸保持不变。 对无法确定波方向的一般问题，数值实验表明，采用零入射角非均匀网格，反 射系数误差与严格“电均匀”网格几乎相同。因此就一般的电磁仿真而言，没有 必要追求严格的“电均匀”，而可以在“电均匀”方法基础上灵活确定网格尺寸。 此所谓模糊“电均匀”方法。 将单方向跨界面“电均匀”扩展到跨方向“电均匀”，然后采用二者兼备的“完 全电均匀”网格，若时间步取稳定性条件允许的最大值，则不仅在均匀媒质中， 而且在分区均匀媒质中，可得精确时域有限差分法。此结论适用于一维、二维直
ａ
ｂｒｅａｋ ａｔ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｉｎ
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ｏｒ
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ａｎ ｏｐｅｎ—ｒｅｇｉｏｎ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍ
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至三维。
跨媒质突变面差分公式的精度不论为一阶、二阶，全局精度保持二阶不变；媒 质分界面反射系数的精度等级与差分公式的精度等级不同，采用电均匀网格，可 得三阶精度反射系数甚至反射系数的精确解，而跨界面差分公式的精度保持二阶 不变：全局精度同为二阶，媒质突变面局部精度越高，全局误差越小。 针对将ＰＭＬ技术嫁接到交替方向隐式时域有限差分法（ＡＤＩ．ＦＤＴＤ）时遇到 的困难，提出两种不同的ＡＤＩ．ＦＤＴＤ公式，二者都可将反射误差减小３０ｄＢ左右。 由于反射误差较小，新方法可用于时间步较大（ＣＦＬＮ≤２０）的ＡＤＩ．ＦＤＴＤ电磁问 ｂｅ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ
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ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ，ｂａｓｅｄ
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ｉｄｅａ ｏｆ‘＇ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｉｓ
ｕｎｉｔａｒｙ・ｏｆ－ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈ鲥ｄ ｓｉｚｅｓ
ｓｍｏｏｔｈ ｅｎｏｕｇｈ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ・ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ・ｉｎ—ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ
ｍｅｄｉａ ｗｉｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ
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Ｃａｎ ｂｅ
ｕｓｅｄ ｆｏｒ
ｌａｒｇｅｒ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐｓ（ＣＦＬＮ≤２０）ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＡＤＩ—ＦＤＴＤ ｍｅｔｈｏｄ．
在解密后遵守此规定）
本人签名：兰兰！垒
日期！＝＝！至：！：２
日期
ａｏｏＳ．Ｉ．７ｆ．
导师签名：兰鳃邀
第一章绪论
第一章绪论
１．１时域有限差分法中的不均匀性问题
虽然差分法是经典的数值方法之一，其历史可以追溯到牛顿时代，但“时域 有限差分法（ＦＤｌＤ）”却是一个充满活力的现代电磁场数值分析领域。１９６６年， 基于Ｍａｘｗｅｌｌ旋度方程，Ｙｅｅ Ｋ．Ｓ．发现了一套构造独特的差分方程【ｌＪ，是为起点。 ４０年间这一方法得到了充分的发展１２罐ｌ，成为处理复杂媒质对象的有效方法之一。 Ｙｅｅ的时域有限差分公式以媒质参数连续变化为前提，场分量时、空导数的 差分近似均为二阶精度。事实上，就通常遇到的问题而言，根据媒质参数的变化 方式，主要有均匀媒质和分区均匀媒质两大类。分区均匀媒质的分界面可能是一 般曲面，也可能是简单的平面。 分区均匀媒质问题是以均匀媒质问题为基础的，但对于电磁场数值分析方法 而言，前者更为重要。这是因为均匀媒质问题可以用解析方法解决。工程实际中 经常遇到的是媒质参数有突变的不均匀性问题，这一类问题往往不能用解析方法 求解。因此反过来说，对于媒质参数有突变的不均匀性问题，数值方法比解析方 法更为重要。这是本文研究的第一类不均匀性问题［９之５１，仅限于平面分界面分区 均匀媒质问题。 第二类不均匀性问题是ＦＤＴＤ网格的不均匀性１２－４１。众所周知，Ｙｅｅ网格由一 个个相互嵌套的矩形网格组成，是一个矩形元胞（ｃｅｌｌ）的集合。如果计算区域所 有矩形元胞都相同，即均匀网格，在电磁场随空间尺度变化缓慢的区域，网格分 辨率（每波长网格数）可能不必要地过高，在变化剧烈的区域，网格分辨率则往 往不足。这不仅浪费计算资源，计算精度也可能较低。“非均匀网格”时域有限差 分法针对这一问题，仅在电磁场随空间尺度变化剧烈的区域，局部采用较密的网 格，企图在保证计算精度的前提下，节约计算资源。 网格的不均匀性还有一个重要的方面。如上所述，Ｙｅｅ网格是一个矩形元胞 的集合，如果矩形元胞为正方形，则三个方向上的网格尺寸一致：但一般而言， 三个方向上的网格尺寸不一致。本文研究表明，至少在两个方向上网格尺寸彼此 不等与单方向网格尺寸变化，这两者之间有本质的联系，因此把二者均归入网格
ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ
ｔｈｅ ＣＦＬ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｔｈｉｓ
ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｋｅｅｐｓ ｃｏｒｒｅｃｔ
ｆｏｒ ａｎｙ ｏｆ １－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，２－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ａｎｄ ３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃａｓｅｓ．
Ｗｈｅｔｈｅｒ
ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ．．ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｆｉｒｓｔ・・ｏｒｄｅｒ
ｃａｌｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ
ｏｒ ｅｖｅｎ
ｂｅ ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｔｅ
ｒｉｇｏｒｏｕｓｌｙ
ｅｘａｃＬ ｂｕｔ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ
ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｃｃｕｒａｃｙ ｂｅｉｎｇ ｓｅｃｏｎｄ・・ｏｒｄｅｒ
ｆｌｅｘｉｂｌｙ ｂａｓｅｄ
ｉｓ ｎｏｔ
ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｂｅ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｆｏｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｓｔｅａｄ，ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｓｉｚｅｓ
ｂｅ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ＇’ｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈ
ｏｒ
ｓｅｃｏｎｄ－－ｏｒｄｅｒ，ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｃｃｕｒａｃｙ ｋｅｅｐｓ ｓｅｃｏｎｄ・・ｏｒｄｅｒ．Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｉＳ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｒｏｓｓ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｈｅｒｅ ｆｉｎｅｒ ｇｒｉｄｓ
ｖａｒｙ ｆａｓｔ
ａｒｅ
ｕｓｅｄ ｉｎ
ｓｕｂ－ｒｅｇｉｏｎｓ，ｉｎ
ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ
ｗｈｉｃｈ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅｓ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｈｅ ｔｌｌｉｒｄ
ｗｉｔｈ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．ｉｎ
ｏｒｄｅｒ ｔｏ
ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ口ＭＬ），ａ ｎｏｎ－ｐｈ）ｒｓｉｃａｌ ｍｅｄｉｕｍ．Ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ
ｍｅｄｉｕｍ
ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ
ＰＭＬ ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｍｅｄｉｕｍ
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本人签名：
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ｍａｙ
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ｔｅｒｍｅｄ
ｆｕｚｚｙ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｍｅｔｈｏｄ．
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ
ａｃｒｏｓｓ
Ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ ｓｉｎｇｌｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ‘‘ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｉｎｔｅｒｆａｃｅ‘‘ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｕｎｉｆｏｒｍ”ｔｏ
ｂｅｔｗｅｅｎ— ｂｏｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ”．ａｎｄ
关键词：ＦＤＴＤ非均匀媒质电均匀网格ＰＭＬ媒质ＡＤＩ－ＦＤＴＤ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅ
ｆｉｎｉｔｅ．．ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｉｍｅ．ｄｏｍａｉｎ（ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ
ａｒｅ
ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉａ ａｎｄ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｐｅｒｍｉａｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙ
ｔｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｒｉｄｓ“ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ
ｃａｎ
ｕｎｉｆｏｒｍ’’ｉｎ
ａｓｐｅｃｔｓ，ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ ｍｅｔｈｏｄ
ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｉｎ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ—ｉｎ－ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ ｍｅｄｉｕｍ．ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｓｉｚｅ ｂｅｉｎｇ