2019年高考数学复习精选课件 第3节 圆的方程

|
= 4 = 4 5 55
.
∴S△PAB的最大值为 12 × 5

×

4
5 5
1

= 1 (4+ 5
2
),
S△PAB的最小值为 12 × 5
×

4
5 5
1

= 1 (4- 5
2
).
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,最小值
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(2)原方程可化为(x-2)2+y2=3.
∵ y = y 0 , x 1 x (1)
又已知圆心在直线y=-x+1上,故联立 xy
y x
0, 1,

解得

x y

1 2 1 2
,
故圆心坐标是
.


1 2
,
1 2

.
所以半径r=
1
1 2
2

1
1 2
2

= 2
2

或r

1 1 2 22
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4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧ D2+E2-4F>0 ,其中圆心为
⑨


D 2
,

E 2

,半径r=⑩
D2 E2 4F
2
.
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
2
PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|= (11)2 (3 2)2 =5,于是圆P的方程为(x1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 6 ,则|MN|=|(-2+2 6 )-(-2-2 6 )|=4 6 . (2)解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆 心在直线y-1=x-1,即x-y=0上.
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1-1 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切, 则该圆的标准方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案 A 由于圆C的半径为1,圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心
M,N两点,则|MN|= ( )
A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
(2)圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程为
.
答案
(1)C
(2)

x

1 2
2
+
y

1 2
2
= 1
2
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解析 (1)设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= 3 7 =-2.再由|
A.x2+y2=2 B.x2+y2= 2
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
答案 D AB的中点坐标为(0,0).由题意知,AB的中点为圆心,|AB|=
[1 (1)]2 (
3
3)2
=4,∴圆的方程为x2+y2=
4 2
2
=4.
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5.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是
解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
2a b 3 0,
则(5 a)2 (2 b)2 r2, (3 a)2 (2 b)2 r2 ,
a 2,
解得b 1,
r 10,
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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第三节 圆的方程
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1.圆的定义 在平面内,到① 定点 的距离等于② 定长 的点的③ 集合 叫做 圆. 2.确定一个圆最基本的要素是④ 圆心 和⑤ 半径 . 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥ (a,b) 为圆心,⑦ r 为半径.
.
答案


2,
2 3

解析
方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0可化为

x

a 2
2

+(y+a)2=- 3 a2-a+1,
4
因为该方程表示圆,所以- 3 a2-a+1>0,
4
即3a2+4a-4<0,所以-2<a< 2 .
3
考点突破
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考点一 求圆的方程
典例1 (1)(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于


2

.

2
2

故所求圆的方程为

x

1 2
2

+
y

1 2
2

= 1 .
2
解法二(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
b a 1,


(a 1)2 (b 1)2

|
a

b 2
2
|
,
解得a
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3.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是 ( )
A.-1<a<1 B.0<a<1
C.-1<a< 1 D.- 1 <a<1
5
5
答案 D 由(2a)2+(a-2)2<5得- 1 <a<1.
5
4.已知点A(-1, 3 ),B(1,- 3 ),则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )
b

1, 2 1. 2
所以r=1Βιβλιοθήκη 1 22

1

1 2
2

=
2 2

或r
1 1 2 22


2

.

2
2
故 所求圆的方程为
x

1 2
2

+
y

1 2
2

= 1 .
2
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方法指导 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方 程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据 已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.
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2.与圆上点(x,y)有关的最值
(1)形如 y b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
xa
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可 用三角代换求解; (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方 的最值问题.
为(a,1)(a>0),又由圆与直线4x-3y=0相切可得 | 4a 3 | =1,解得a=2(舍负),
5
故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
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1-2 求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析 解法一:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点, ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
∴ y 表示点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的连线的斜率.如图.
x 1
由图知 y 的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜
x 1
率.易知|PB|=|PA|= | PC |2 | AC |2 = 6 ,
∴kPA=
| |
CA PA
| |
=
3 6
易知线段AB的垂直平分线的方程为y=- 1 (x-4).
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有
2a b 3 0,
b


1 2
(a

4),
解得 ba
2, 1,
∴C(2,1),r=|CA|= (5 2)2 (2 1)2 = 10 ,
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+
(y-y1)(y-y2)=0. (√) (2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+
= 22 ,
| CB
kPB=-| PB
| |
=-
3 6
=- 22 ,
∴ y
x 1
的最大值为 22 ,最小值为- 22 .
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方法技巧 1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO| +r; (2)过圆内一点的弦最长的为圆的直径,最短的为以该点为中点的弦; (3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距 离为d+r,最小距离为d-r; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.
所以y-x的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6 .
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变式2-2 在本例(2)的条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,过 原点和圆心的直线与圆有两个交点,在两个交点处取得最大值和最小 值. 又圆心到原点的距离为 (2 0)2 (0 0)2 =2. 所以x2+y2的最大值是(2+ 3 )2=7+4 3 , x2+y2的最小值是(2- 3 )2=7-4 3 .
E2-4AF>0. (√)
(3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆. (×)
(4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆. (×)
(5)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是1,
1 2

.
(×)
(6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 x02 + y02 +Dx0+Ey0+F<0. (×)
2
2
(2)若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则 y 的最大值为
x 1
为
.
答案 (1)B (2) 2 ;- 2 22
解析 (1)由题意知|AB|= (1)2 (2)2 = 5 ,
lAB:2x-y+2=0, 由题易知圆心坐标为(1,0),
∴圆心到直线lAB的距离d= | 2 4012
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6.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)) (1)点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外: (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ; (3)点在圆内: (x0-a)2+(y0-b)2<r2 .
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1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 由题意得圆的半径为 2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故 选D. 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 答案 D 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).
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变式2-1 在本例(2)的条件下,求y-x的最大值和最小值. 解析 y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,此时 | 2 0 b | = 3 ,解得b=-2± 6 . 2
解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

则 9254435DD2 2EEFF0,0,
2



D 2


E 2

3

0,
解得D=-4,E=-2,F=-5,
∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.
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考点二 与圆有关的最值问题
典例2 (1)已知点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则
△PAB面积的最大值与最小值分别是 ( )
A.2, 1 (4- 5 )
2
C. 5 ,4- 5
B. 1 (4+ 5 ), 1 (4- 5 )
2
2
D. 1 ( 5 +2), 1 ( 5 -2)