2011年天津市高考数学试卷(文科)

2011年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x﹣y的最大值为（）A．﹣4B．0C．D．43．（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5B．1C．2D．44．（5分）（2011•天津）设集合A＝{x∈R|x﹣2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5．（5分）（2011•天津）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 6．（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．47．（5分）（2011•天津）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f （x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．11．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10值为．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为．13．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF：FB：BE＝4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC ＝1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．16．（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）cos（2A+）的值．17．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．18．（13分）（2011•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．19．（14分）（2011•天津）已知函数f（x）＝4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1＝（﹣2）n+1，b n＝，n∈N*，且a1＝2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n＝a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数＝故选：A．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x﹣y的最大值为（）A．﹣4B．0C．D．4【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y＝3x﹣z，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为6﹣2＝4故选：D．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．3．（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5B．1C．2D．4【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x＜3时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x＝﹣4时，|x|＞3，执行循环，x＝|﹣4﹣3|＝7|x|＝7＞3，执行循环，x＝|7﹣3|＝4，|x|＝4＞3，执行循环，x＝|4﹣3|＝1，退出循环，输出的结果为y＝21＝2．故选：C．【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（5分）（2011•天津）设集合A＝{x∈R|x﹣2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【分析】化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．【解答】解：A＝{x∈R|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}A∪B＝{x|x＞2或x＜0}C＝{x∈R|x（x﹣2）＞0}＝{x|x＞2或x＜0}∴A∪B＝C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选：C．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．5．（5分）（2011•天津）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【分析】利用换底公式可得a＝log23.6＝log43.62，然后根据对数函数y＝log4x在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．【解答】解：∵a＝log23.6＝log43.62∵y＝log4x在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选：B．【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．6．（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p＝4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2；故选：B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．7．（5分）（2011•天津）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数【分析】由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω＝，且当x＝时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）＝2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ＝可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω＝，∴f（x）＝2sin（φ），∵当x＝时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）＝2，φ＝+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ＝，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y＝A sin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f （x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y＝f（x），y＝c 图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1）＝，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3．【分析】先根据绝对值不等式求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩Z，最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可．【解答】解：A＝{x∈R||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，而Z为整数集，集合A∩Z＝{0，1，2}，故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2＝3，故答案为3．【点评】本题属于以绝对值不等式为依托，求集合的交集的基础题，同时考查了集合中元素的和．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为4m3．【分析】由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1＝4m3，故答案为：4【点评】本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．11．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10值为110．﹣S km}是以m2d为公差的数【分析】本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S（k+1）m列，本题中令m＝5，每五项的和也组成一个等差数列，再由数列中项知识求出前五项的和，由此建立方程求出公差，进而可求出S10的值【解答】解：由题意a3＝16，故S5＝5×a3＝80，由数列的性质S10﹣S5＝80+25d，S15﹣S10＝80+50d，S20﹣S15＝80+75d，故S20＝20＝320+150d，解之得d＝﹣2又S10＝S5+S10﹣S5＝80+80+25d＝160﹣50＝110故答案为：110【点评】本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．【分析】先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．【解答】解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b＝3a+32b≥2＝2，因为a+2b≥2＝2≥2＝4，所以3a+9b≥2＝18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．【点评】本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．13．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF：FB：BE＝4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【分析】设出AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF•FC＝AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF•FC＝AF•BF，得2＝8k2，即k＝，∴AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝，由切割定理得CE2＝BE•EA＝＝，∴CE＝．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC ＝1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为5．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b），∴＝（5，3a﹣4b）∴＝≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P＝＝【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．16．（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）cos（2A+）的值．【分析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．【解答】解：（I）由B＝C，可得所以cos A＝＝（II）因为所以＝【点评】本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．17．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【分析】（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证（II）由∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可【解答】解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM所以PB∥平面ACM（II）证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO＝O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN ⊥平面ABCD所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，，所以，∴，在Rt△ANM中，＝＝即直线AM与平面ABCD所成的正切值为【点评】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．18．（13分）（2011•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用|PF2|＝|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．由题得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，整理得2+﹣1＝0，得＝﹣1（舍），或＝，所以e＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2+4y2＝12c2，直线方程PF2为y ＝（x﹣c）．A，B的坐标满足方程组，消y并整理得5x2﹣8xc＝0，解得x＝0，x＝，得方程组的解为，，不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．所以|AB|＝＝c，于是|MN|＝|AB|＝2c．圆心（﹣1，）到直线PF2的距离d＝，因为d2+＝42，所以（2+c）2+c2＝16，整理得c＝﹣（舍）或c＝2．所以椭圆方程为+＝1．【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（14分）（2011•天津）已知函数f（x）＝4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【分析】（I）当t＝1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x＝0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）根据f'（0）＝0，解得x＝﹣t或x＝，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当≥1与当0＜＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．【解答】解：（I）当t＝1时，f（x）＝4x3+3x2﹣6x，f（0）＝0f'（x）＝12x2+6x﹣6，f'（0）＝﹣6，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣6x．（II）解：f'（x）＝12x2+6tx﹣6t2，f'（0）＝0，解得x＝﹣t或x＝∵t≠0，以下分两种情况讨论：（1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t）（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，）（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．f（0）＝t﹣1＞0，f（1）＝﹣6t2+4t+3≤﹣13＜0所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．（2）当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增若t∈（0，1]，f（）＝+t﹣1≤＜0，f（1）＝﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3＞0所以f（x）在（，1）内存在零点．若t∈（1，2），f（）＝+t﹣1＜+1＜0，f（0）＝t﹣1＞0∴f（x）在（0，）内存在零点．所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1＝（﹣2）n+1，b n＝，n∈N*，且a1＝2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n＝a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）【分析】（Ⅰ）推出b n的表达式，分别当n＝1时，求出a2＝﹣；当n＝2时，解出a3＝8；（Ⅱ）设c n＝a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{c n}是等比数列；（Ⅲ）求出S2n，a2n，S2n﹣1，a2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．【解答】（Ⅰ）解：由b n＝，（n∈N*）可得b n＝又b n+1a n+b n a n+1＝（﹣2）n+1，当n＝1时，a1+2a2＝﹣1，可得由a1＝2，a2＝﹣；当n＝2时，2a2+a3＝5可得a3＝8；+2a2n＝﹣22n﹣1+1…①（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，a2n﹣12a2n+a2n+1＝22n+1…②②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1＝3×22n﹣1，即：c n＝3×22n﹣1，于是所以{c n}是等比数列．（Ⅲ）证明：a1＝2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，a2k﹣1＝a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）＝2+3（2+23+25+…+22k﹣3）＝2+3×＝22k﹣1，＝22k﹣1．故对任意的k∈N*，a2k﹣1由①得22k﹣1+2a2k＝﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，因此，于是，．故＝＝所以，对任意的n∈N*，++…++＝（+）+…+（+）＝＝＝n﹣≤n﹣﹣＝n ﹣（n∈N*）【点评】本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．第21页（共21页）。