线性系统理论(2011)

五、(20 分) 已知单输入单输出线性定常系统 1 A1 x1 b1u 2 A2 x2 b2u x x S1 : S2 : y1 c1 x1 y2 c2 x2 其中， x1 , x2 R n 。它们完全能控能观。将它们并联构成组合 系统 S，输入为 u，输出为 y = [y统 0 1 0 x x u , y 1 0 x 1 0 1 给定参考信号 y0(t)的结构特性为 s-1，扰动信号 w(t)的结构特 性为 s+2。试设计渐近跟踪控制率，并将闭环系统极点配置为 -1，-2，-3。
一、(20 分) 考虑如下机械系统
其中 k 为弹簧系数，c 为阻尼系数，m 为质量，u(t)为作用于 质量的外力，y(t)为质量相对于平衡位置的位移。选取 u(t)为 系统输入，y(t)为系统输出。建立图中所示机械系统的状态方 0 1， y 程与输出方程； 如 k=2， c=3， m=1， 且初始值为 y(0)=0， 写出零输入情况下系统的输出响应。
S 是否总是完全能控，是否总是完全能观？若是，证明之；若 不是，举反例验证之。
二、(20 分) 考虑线性时变系统 1 et 0 x x u , t 0, y 1 0 x 1 0 1 该系统是否 Lyapunov 意义下稳定？是否渐近稳定？为什么？
三、(20 分) 已知线性定常系统 1 1 0 0 0 1 0 x 1 u x 0 0 1 0 能否找到状态反馈，将闭环极点配置到（1）-1，-1，-1; （2） -2，-2，-2。若能，确定状态反馈 K。