安徽省六安市新安中学2021-2022学年高三上学期第五次月考数学(理)试题(Word版含答案)

新安中学2021-2022学年度第一学期高三第五次月考
数学试卷（理科普通）
(时间：120分钟 满分：150分)
第I 卷（选择题）
一、单选题（每题5分，合计60分）
1.设平面向量()()1,2,2,y ==-a b ，若//a b 则
3+=a b ( )
B.
D.2.为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A.向左平移1个单位长度 B.向左平移12
个单位长度
C.向右平移1个单位长度
D.向右平移12
个单位长度
3.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{}|12B x R x =∈-<，则A B ⋂=( ) A.()0,3
B.()1,3-
C.()0,4
D. (),3-∞
4.某三棱锥的三视图如图，是三个边长为2的正方形，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A.3
B.13π3
C.
D.6π
5.已知321
()(4)(0,0)3
f x x ax b x a b =++->>在1x =取得极值,则21a
b
+的最小值为（ ）
B. 3+
C.3
D. 6.已知x ，y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b
的最大值是
( )
A.-1
B.5
C.52
- D.7
7. 若“()0,,sin2sin 0x x k x π∃∈-<”为假命题，则k 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞-
B ．(],2-∞
C ．(),2-∞-
D ．(),2-∞
8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，210n S =，4130n S -=，则n =( ) A.12
B.14
C.16
D.18
9. 设a ，b 均为单位向量，则“66a b a b -=+”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D E ，分别是边,AB BC 的中点，连结
DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）
A.18
-
B.18
C.1
D.8-
11. 已知7log 5a =，9log 7b =，0.11.11c =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
12.《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为( ) A.1055里
B.1146里
C.1510里
D.1692里
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，合计20分）
13.已知函数22()log (68)f x x x =-+的单调递增区间为__________.
14.已知2π
2
sin 43
α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______________.
15. 设有下列四个命题：
① 若点A ∈直线a ，点A ∈平面α，则直线a ⊂平面α； ② 过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
则上述命题中正确的序号是__________．
16. 已知函数()e x f x =，若关于x 的不等式2[()]2()0f x f x a --≥在[0,1]上有解，则实数a 的取值范围为____________.
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，若2a cos A =c cos B +b cos C ． （1）求A ；
（2）若a =ABC 的面积S =b +c 的值．
18. 如图，在多边形ABPCD 中（图1）．四边形ABCD 为长方形，BPC △为正三角形，
3AB =，BC =，现以BC 为折痕将BPC △折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好是AD 的中点（图2）．
（1）证明：AB ⊥平面PAD ：
（2）若点E 在线段PB 上，且13
PE PB =，求二面角E DC B --的余弦值．
19.设0a >，0b >，且23a b +=. （1）求ab 的最大值； （2）求26a b
+的最小值.
20.已知命题:p 关于x 的不等式2
231x x a --≥（0a >且1a ≠）的解集为{1|x x ≤-或
3}x ≥；命题:q 函数22()lg(22)f x a x x =-+的定义城为R .
（1）若命题q ⌝为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.
21. 已知数列{}n a 是前n 项和为122n n S +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
22. 已知函数()ln f x ax x =-（a 是常数）. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值； （2）若0,()0x f x ∀>>，求a 的取值范围；
新安中学2021-2022学年度（上）高三第五次月考
数学试卷答案（理科普通）
1~6 . ABACCB 7~12. ABCBBB 13. (4,)+∞ 14. 1
3
15. ④ 16. (2,e 2e ⎤-∞-⎦ 17. （1）
3
A π=
；（2）（1）在ABC 中，因2a cos A =c cos B +b cos C ，由正弦定理得：2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，
则2sin A cos A =sin(B +C )=sin A ，由于sin A ≠0，于是得2cos A =1，即1cos 2
A =，而
03
A π
<<
，解得3
A π=
，
所以3
A π=.
（2）依题意，11sin 22ABC
S
bc A bc =
==bc =4， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22()2(1cos )a b c bc A =+-+，
则22
1()2(1cos )1224(1)242
b c a bc A +=++=+⨯⨯+=，
所以b c +=
18. 答案：（1）见解析（2
解析：（1）作AD 的中点O ，连接PO ，由题知PO ⊥平面ABCD ．
因为AB ABCD ⊂，所以PO AB ⊥，
又因为AB AD ⊥，PO AB O ⋂= 所以AB ⊥平面PAD ．
（2）取BC 的中点F ，连接OF ，则PO OA ⊥，PO OF ⊥，OA OF ⊥，以O 为坐标原点，以OA ，OF ，OP 分别为,,x y z 、轴的正方向建立空间直角坐标系．
则1
2
OA OD BC ===OP =，
E ⎝，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ (
1,ED =--，()0,3,0DC =
设平面EDC 的一个法向量为(),,n x y z =
则有030y y ⎧--=⎪
⎨
=⎪⎩
，令1x =，所以() 1,0,2n =-
易知平面DCB 的一个法向量为()0,0,1m =
所以cos ,5m n m n m n
⋅=
==，
所以二面角E DC B --．
19.答案：（1）98
（2解析：（1）0a >，0b >，且23a b +=，
32a b ∴=+≥98ab ≤，当且仅当2a b =，即32a =，3
4b =时等号成立.
ab ∴的最大值为9
8
.
（2）23a b +=，2133
a b
∴+
=，
2626214421414333333a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当且仅当
423b a
a b
=
，即b 时等号成立.
26
a b
∴+
20.答案：（1）实数a 的取值范围为2(,(,)-∞+∞；（2）实数a 的取值范
围为()1,+∞.
解析： （1）若命题q ⌝为假命题，则命题q 为真命题. 当0a =时，()()lg 22f x x =-+，定义域为(,1)-∞，不符合题意； 当0a ≠时，若()f x 的定义城为R ，则22220a x x -+>的解集为R ，
∴2480a ∆=-<，解得a <或a >，
综上，实数a 的取值范围为2(,(,)-∞+∞；
（2）当命题p 为真命题时，
∴2230x x --≥的解集为{1|x x ≤-或3}x ≥，∴1a > ∴p q ∧为真命题，∴p q ，都为真命题.
由（1）知，命题q 为真命题时，a <或a >.
∴实数a 的取值范围为()1,+∞. 21.答案：（1）2n
n a = （2）21
2
22
n n n
+++-
（1）∵1
22n n S +=-
当2n ≥时，1122(22)n n
n n n a S S +-=-=---2n =
当1n =时，12a =满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（2）由（1）得，()22log 22n n n
n b n =+=+，
则23
(21)(22)(23)(2)n n T n =++++++
++
23(2222)(123)n n =++++++++
+
2(12)(1)122n n n -+=+- 21
2
2
2n n n ++=+-.
22.答案：（1）在1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，极小值是1ln2+，
无极大值 （2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
（1）解：当2a =时，()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞，
121()2x f x x x
-'=-
=， 令()0f x '>，解得12
x >，令()0f x '<，解得1
02
x <<，
所以函数()f x 在1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
所以()f x 的极小值是1
1ln 22f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，无极大值.
（2）解：因为0,()0x f x ∀>>，即max
ln x a x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭. 设ln ()x g x x =
，可得21ln ()x
g x x
-'=， 当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，
所以()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，
所以max 1()()g x g e e
==，所以1a e
>，即1,a e
⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
.。