第4讲不等式及线性规划

第4讲 不等式及线性规划
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1． 四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法
①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )
g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.
(3)简单指数不等式的解法
①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )；②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法
①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2． 五个重要不等式
(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )．(2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )．(3)a ＋b
2
≥ab (a >0，
b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2
)2
(a ，b ∈R )．(5)
a 2＋
b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab
a ＋b
(a >0，b >0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论
(1)ax 2
＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩
⎪⎨⎪⎧ a >0，
Δ<0.
(2)ax 2
＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，
Δ<0.
考点一 一元二次不等式的解法
例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等
式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
(1)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≠－1a ，则a 2＋b 2＋7
a －b
(其中a >b )的最小值为________．
(2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．
考点二 利用基本不等式求最值问题
例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．
(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
(1)已知关于x 的不等式2x ＋2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a
的最小值为________．
(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1
y －
2
z 的最大值为________．
考点三 简单的线性规划问题
例3 (2013·湖北改编)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两
种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元．
(1)(2013·山东改编)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0
所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．
(2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1>0，x ＋m <0，
y －m >0
表示的平面区域内存在点
P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是________．
1． 三个“二次”的关系
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3． 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：
记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
1． 若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋
1＋2y ＋
1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．
2． 已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，
2x －y －1≤0
所表示的平面区域内，则OP →在OA →
方
向上投影的取值范围是________．
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1． (2012·福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号)
①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)；②sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④
1
x 2
＋1
>1(x ∈R )． 2． 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：
①c a >c
b ；②a
c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是________．
3． 设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝
________.
4． 已知p ：x －1
x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．
5． 函数y ＝a 1－
x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，
则1m ＋1
n 的最小值为________．
6． 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2
x
的图象交于P ，Q 两
点，则线段PQ 长的最小值是________．
7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，
若z ＝2x ＋y 的最
小值为1，则a ＝________.
8． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，
y －1≤0，
若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取
到最大值，则实数a 的取值范围为________． 9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，y －x ＋1≤0，
y －2x ＋4≥0，
若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数
个，则a 的值为________．
10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.
若z 的最大值为12，则
实数k ＝________. 二、解答题
11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.
.
12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行
防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝
k
3x ＋5
(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f (x )的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．
13．已知函数f (x )＝1
3
ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，
且0<x 1<1<x 2<2. (1)证明：a >0；
(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．。