宁夏2022-2022届高三第二次模拟考试 数学(文)试卷(含答案)

绝密★启普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知{}
{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B 的元素个数为
A ．0
B ．2
C ．3
D ．5
2．复数i
i z 2
)2(-=(i 为虚数单位)，则=||z
A ．5
B ．5
C ． 25
D ．41 3．函数1cos 22sin )(2
+-=x x x f 的最小正周期为 A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
4. 已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，）（4,x =，若c b a ⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线方程为x y 2=
,则其离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是
A ．1
B ．3
2 C ．2 D ．
3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
8．已知x ＝ln π，y ＝log 52，1
2=e z -，则
A ．x ＜y ＜z
B ．z ＜x ＜y
C ．z ＜y ＜x
D ．y ＜z ＜x
9．在数学解题中，常会碰到形如“
xy
y
x -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．
如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5
sin
5cos 5cos
5sin π
=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝
A ．4
B ．15
C ．2
D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，
日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是
A ．i i ,i
S S ,i 21
20=-=< B ． i i ,i
S S ,i 21
20=-
=≤
C ．1220+==
<i i ,S S ,i D ．12
20+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第
一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是
A ．
101 B ．103
C ．5
3 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2
>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其
准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．1
2 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________.
14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(
f (f ,x l
g )x (f x 100
1
0则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，
AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .
16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是153
2. 其中正确结论的序号是 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)
已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)
如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，
CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段
AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)
某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)
32
23
18
24
28
（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b
y ˆˆ+=；
（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨
⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C
，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.
参考公式： x b y a
x
n x y
x n y
x x x y y x x
b
n
i i n
i i
i n
i i n
i i i
ˆˆ,)()
)((ˆ1
2
2
1
1
2
1
-=--=
---=∑
∑∑
∑====. 参考数据：5
1
1343i i i x y ==∑，521
558i
i x ==∑，5
2
1
3237i i y ==∑.
20．(12分)
已知椭圆14
522
=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与
x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于
A ，
B 两点，M 为线段EF 的中点．
(1)若直线1l 的倾斜角为π
4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)
已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;
（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2
x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，2C 的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；
（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，
求OB
OA 3
-
的取值范围.
23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明
；91
11≥++c
b a （2）,ab
c ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明c
b a
c b a 111++≤++.
数学(文科)试题答案
一.选择题：
二.填空题：
13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③
17解：设{a n }的公差为d ，则1111
(2)(6)16,
350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩
1
2121
81216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或
（1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.
（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：
(1)证明: 由已知得AP ＝2
3
AB ＝2.
如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，
由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝1
2
DC ＝2.
又AB ∥DC ，故TQ |
|=
AP ，
,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴
从而证得PQ//平面SAD ;
(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，
所以Q 到平面ABCD 的距离为1
2
SA .
如图，取DC 的中点E ，连接AE .
由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.
故S △BCP ＝1
2
×4×5＝2 5.
S 球＝4πR 2＝36π.
所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝45
3.
19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.
【解析】 (1)由所给数据可得：13981012
10.45
x ++++=
=，
3223182428
255
y ++++=
=，························2分
5
152
2
21
51343510.425
2.5558510.45i i
i i i x y
x y
b x x
==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，
则y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,N N
t t t C t t t -<<∈⎧=⎨
≥∈⎩， 所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，
当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．
(1)∵直线l 1的倾斜角为π
4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.
代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－5
3. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝2×3
5
4)910(2⨯+＝165
9.
(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2
)x 2
－10k 2
x ＋5k 2
－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 2
4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20
4＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1
x 1－3.
而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)
x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3
＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－20
4＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .
21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=
1
1121+-=+-
=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '
011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈
()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f
（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当
.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g
易知.x x
x x ]x k [x x kx )x (g )(g '01
01112111200≥+≥+-+=++
-==，所以，因为）（， ）上单调递减，
，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g
)(21
10(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g k
x k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；
时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++
-∈g x g k
x k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(2
1
'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.
综上，.2
1≥
k 22.解：（1）曲线1C 的方程为1)1(2
2=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=
2C 的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θ
θρsin cos 3
+=
（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=20πααθ，，
联立1C 与3C 的极坐标方程⎩
⎨⎧==αθθ
ρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA
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联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩
⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-
4223cos sin cos cos OB OA 又⎪⎭
⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈- 23. 证明： （1）因为
=++++++++=++c c b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c
b c a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=
c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()
a b c c b a ++≥++∴111 当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。