基于Z变换的离散系统分析

数字信号处理课程设计
题目：基于Z变换的离散系统分析
学院：信息工程学院
专业：通信工程
班级：
学号：
姓名：
指导教师：
目录
摘要 (1)
第一章背景 (3)
1.1 背景知识 (3)
1.2 软件介绍 (3)
1.3 MATLAB软件功能简介 (4)
第二章设计目的及要求 (6)
2.1 设计目的 (6)
2.2 设计要求 (6)
第三章设计原理 (7)
3.1 Z变换的定义 (7)
3.2 Z变换的定义....................................... 错误!未定义书签。

3.3 几种不同特性的序列的介绍 (8)
3.4 频率响应函数与系统函数的定义 (10)
3.5 系统函数的零极点分析 (10)
3.6 离散时间LTI系统的频率特性分析 (11)
3.7 系统函数的极点分布与系统因果性、稳定性的关系 (12)
第四章设计过程与结果分析 (14)
收获与体会 (20)
参考文献 (21)
摘要
离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统,它有多种类型,其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统.
Z变换是离散信号与系统分析的重要方法和工具，是对离散序列进行的一种数学变换。

它在离散时间系统中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的地位。

离散时间信号的变换已成为分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。

在数字信号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。

Matlab语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，Matlab功能强大、简单易学、编程效率高。

将Matlab引入到线性时不变离散时间系统的Z域分析，通过运用Matlab的LST对象和符号运算功能分析离散系统的有关问题，给出相应的计算程序和运算结果，在运用图形分析功能，将结果用图形表示出来，从而是离散系统的分析得到直观可视化效果。

关键词:离散时间系统；Z变换；Matlab
Abstract
Discrete time system is a sequence of transform into another sequence of system, it has a variety of types, in which the linear time-invariant discrete-time system is the most basic, most important system.
Z transform is a discrete signal and system analysis is an important method and tool, is a discrete sequence of a mathematical transformation. It is in discrete time system in the position, as Laplasse transform in continuous time system status. Discrete time signal transformation has become the analysis of linear time invariant discrete time systems are important tools. In digital signal processing, computer control systems are widely used in the field of.
The Matlab language is widely used in engineering calculation and the numerical analysis in the field of advanced language, Matlab powerful, easy programming, high efficiency. The Matlab is introduced to linear time-invariant discrete time system Z domain analysis, through the use of Matlab LST objects and symbolic computation of discrete system function analysis of related issues, the corresponding calculation program and results of operations, in the use of graphical analysis function, the results using the graph expresses, from but discrete system analysis is intuitive visual effects.
Keywords: Discrete time system; Z transform; Matlab
第一章背景
1.1背景知识
数字信号处理（Digital Signal Processing,简称DSP）是一门设计许多学科而又广泛应用于许多领域的新兴学科。

DSP有两种含义：Digital Signal Processing（数字信号处理）、Digital Signal Processor（数字信号处理器）。

我们常说的
DSP指的是数字信号处理器。

数字信号处理器是一种适合完成数字信号处理运算的处理器。

20世纪60年代以来，随着计算机和信息技术的飞速发展，数字信号处理技术应运而生并得到迅速的发展。

在过去的二十多年的时间里，数字信号处理已经在通信等领域得到极为广泛的应用。

数字信号处理是利用计算机专用处理设备，以数字形式对信号进行采集、变换、滤波、估值增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。

它是以众多学科为理论基础的，它所涉及的范围极其广泛。

例如，在数学领域，微积分、概率统计、随即过程、数值分析等都是数字信号处理的基本工具，与网络理论、信号与系统、控制论、通信理论、故障诊断等也密切相关，近来新兴的一些学科，如人工智能、模式识别、神经网络等，都与数字信号处理密不可分。

可以说，数字信号处理是把许多经典的理论体系作为自己的理论基础，同时又使自己成为一系列新兴学科的理论基础。

1.2软件介绍
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数字数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。

它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。

MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、
实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、经融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解答问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷的多，并且mathworks也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。

在新的版本中也加入了对C,FORTRAN，C++，JAVA的支持。

可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

1.3 MATLAB软件功能简介
MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,1984年由美国Mathworks公司推向市场。

它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。

MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置系数，从而被广泛的应用于科学计算、控制系统和信息处理等领域的分析、仿真和设计过程。

MATLAB软件包括五大通用功能（Nemeric）、符号运算功能（Symbolic）、数据可视化（Graphic）、数字图形文字统一处理功能（Notebook）和建模仿真可视化功能（Simulink）。

其中，符号运算功能的实现是通过请求MAPLE内核计算并将结果返回到MATLAB命令窗口。

该软件有三大特点，一是功能强大；二是界面友善、语言自然；三是开放性强。

目前，Mathworks公司已推出30多个应用工具箱。

MATLAB在线性代数、矩阵分析、数值及优化、数值统计和随机信号分析、电路与系统、系统动力学、图像处理、控制理论分析和系统设计、过程控制、建模和仿真、通信系统以及财政金融等众多领域的理论研究和工程设计中得到了广泛应用。

MATLAB在信号与系统中的应用主要包括符号运算和数值计算仿真分析。

由于信号与系统课程的许多内容都是基于公式演算，而MATLAB借助符号数学工具箱提供的符号运算功能，能基本满足信号与系统课程的需求。

例如解微分方程、
傅立叶正反变换、拉普拉斯正反变换和z正反变换等。

MATLAB在信号与系统中的另一主要应用是数值计算与仿真分析，主要包括函数波形绘制、函数运算、冲级响应与阶跃响应仿真分析、信号的时域分析、信号的频谱分析、系统的S域分析和零极点图绘制等内容。

数值计算仿真分析可以帮助学生更深入地理解理论知识，并为将来使用MATLAB进行信号处理领域的各种分析和实际应用打下基础。

第二章设计目的及要求
2.1设计目的
1.理解并掌握序列的Z变换以及序列特性与收敛域之间的关系，
2.学会利用Z变换求解离散时间系统的系统函数的零、极点，
3.学会分析离散时间系统的系统函数的零、极点分布，
4.学会利用系统的零极点分布分析系统的频率响应特性，
5.学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零、极点分布，
6.学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析，
7.学会运用MATLAB分析离散系统的系统函数零极点分布与系统稳定性，
因果性的关系。

2.2设计要求
1.巩固所学的专业技术知识；
2.提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力；
3.进一步提高程序设计及调试能力；
4.更好地将理论与实践相结合；
5.学习和掌握科学研究资料检索的方法，学习对已有资料进行消化总
结的方法
6.学习撰写科学报告的基本方法；
7.本设计要求分组合作完成；
8.熟悉使用课程设计实验平台，掌握其基本的操作方法；
9.了解课程设计实验平台的源代码，掌握其程序结构及在此平台上添
加处理程序的方法；
10.设计过程中详细记录产生的图形、参数、数据等，用于编写课程设
计报告。

第三章 设计原理
3.1 Z 变换的定义
一个离散序列x (n )的Z 变换定义为
[]∑∞
∞=-=
=-)()()(n n z n x n x Z z X （3.1-1）
式子中Z 是一个复变量，它所在的平面称为Z 平面。

注意在定义中，对n 求和是在负无穷，正无穷之间求和。

可以称为双边Z 变换。

还有一种称为单边Z 变换的定义，如下式：
[]∑∞
=-==0
)()()(n n z n x n x Z z X （3.1-2）
这种单边Z 变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z 变换定义计算的结果是一样的。

注意：Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
∞<∑∞
-∞=-n n z n x )(（3.1-3）
Z 的变量取值的域称为收敛域，收敛域一般取环状域，即
||Rx z Rx -+<<
常用的Z 变换是一个有理函数：
)()()(z Q z P z X =
X(z )的零点：P(z )的根， X(z )的极点：Q(z )的根。

收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。

3.2 几种不同特性的序列的介绍
Z 平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系：
(1) 有限长序列
12
()()0x n n n n h n n ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
即序列x n （）从1n 到2n 的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。

其Z 变换为
21
()()n n
n n X z x n z -==∑ 其收敛情况：
1212120,00||0,00||0,00||n n z n n z n n z <≤≤<∞<><<∞≥><≤∞
时
时
时
(2) 右边序列 右边序列是指x n （
）只在1n n ≥时有值。

右序列的Z 变换表示为1110
()()()()n n n
n n n n n X z x n z x n z x n z ∞-∞
---=====+∑∑∑ 右边序列Z 变换的收敛域为Rx z -<<∞
因果序列
()()||n
x n X z x n z R z ∞
--==<≤∞∑
其Z 变换收敛域包括z =∞是因果序列的特征。

(3) 左边序列
左边序列是指在2n n ≤时x n （）有值
2
2
1
()()()()n n n n n
n n n X z x n z x n z x n z ---=-∞
=-∞
==
=+∑
∑∑
左边序列Z 变换的收敛域为
0||x z R +<<
如果20n ≤，收敛域应包括0z =，即z Rx +< (4) 双边序列
一个双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和，其Z 变换表示为
1
()()()()n n n
n n n X z x n z x n z x n z ∞∞----=-∞
==-∞
=
=+∑∑∑
第一部分收敛域为z Rx ->；第二部分收敛域为收敛域为z Rx +< 如果Rx Rx -+<，则存在公共收敛区域：Rx z Rx -+<<；如果Rx Rx -+>，两个收敛域没有交集，则X(z )没有收敛域，那么X(z )不存在。

3.3 频率响应函数与系统函数的定义
在时域中，一个线性时不变系统完全由它的单位脉冲响应h (n )来表示。

其
Z 变换
()[()]()n n H z Z h n h n z ∞
-=-∞
==
∑
定义为线性时不变系统的系统函数。

()()()Y z H z X z =
系统函数：()
()()
Y z H z X z =
频响函数：()[()]()j j n
n H e
F h n h n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
在单位圆上(j z e ω=)的系统函数就是系统的频率响应j (e )H ω。

3.4 系统函数的零极点分析
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的Z 变换与激励的Z 变换之比，即
)
()
()(z X z Y z H =
如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为
1
1
211
121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H
那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2z p 得到，tf2z p 的语句格式为
[Z ,P,K]=tf2z p(B,A)
其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

它的作用是将)(z H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即
)
())(()
())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k z H ------=
若要获得系统函数)(z H 的零极点分布图，可直接应用z plane 函数，其语句格式为
z plane(B,A)
其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量。

它的作用是在Z 平面上画出单位圆、零点与极点。

3.5 离散时间LTI 系统的频率特性分析
对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列
)()sin()(n u n A n x ω=，则系统的稳态响应为)()](sin[|)(|)(n u n e H A n y j ss ωϕωω+=。

其中，()j H e ω通常是复数。

离散时间系统的频率响应定义为
)(|)(|)(ωϕωωj j j e e H e H =
其中，|)(|ωj e H 称为离散时间系统的幅频特性；)(ωϕ称为离散时间系统的相频特性；)(ωj e H 是以s ω（T
s π
ω2=
，若零1=T ，πω2=s ）为周期的周期函数。

因此，只要分析)(ωj e H 在πω≤||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

MATLAB 提供了求离散时间系统频响特性的函数freq z ，调用freq z 的格式主要有两种。

一种形式为
[H,w]=freq z (B,A,N)
其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量；N 为正整数，默认值为512；返回值w 包含],0[π范围内的N 个频率等分点；返回值H 则是离散时间系统频率响应)(ωj e H 在π~0范围内N 个频率处的值。

另一种形式为
[H,w]=freq z (B,A,N,’whole ’)
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由],0[π扩展到]2,0[π。

3.6 系统函数的极点分布与系统因果性、稳定性的关系
单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果系统的系统函数H(z )具有包括z =∞点的收敛域，即
||x R z -<≤∞
一个线性时不变系统稳定的充分必要条件
|()|n h n ∞
=-∞
<∞∑
而Z 变换的收敛域由满足
|()|n
n h n z ∞
-=-∞
<∞∑
稳定系统的系统函数H (z )必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z |=1，H(e j ω)存在。

因果稳定系统
它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。

具体系统的因果性和稳定性可由系统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。

第四章 设计过程与结果分析
1. 自行设计以下几种序列：有限长序列、右序列、左序列和双边序列，分
别求其Z 变换和收敛域，分析Z 变换收敛域的规律。

(1) 对序列x(n)=R N (n)的Z 变换及其收敛域: 解 因为
10
12(1)
()()1N n n
N n n N X z R n z z z z z ∞
---=-∞
=----=
==+++
+∑∑
所以
1
10
1()()1N N n n N n n z
X z R n z z z -∞
----=-∞=-===-∑∑
这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为∞≤<||0z (2) 对序列()()n x
n a u n =, 求其Z 变换及收敛域。

解 这是一个因果序列，其Z 变换为
1100
1
()()()1n
n
n n
n
n n n X z a u n z a z az az ∞∞∞
----=-∞======-∑∑∑ 收敛域：z a >
由于X(z )只在z =a 处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆外。

结果分析：右边序列的Z 变换如果有N 个有限极点｛z 1,z 2,…,z N ｝， 那么收敛域一定在模最大的极点所在的圆外
(3) 对序列()()1n
x n a u n =---, 求其Z 变换及收敛域。

解 这是一个左边序列。

其Z 变换为
1
1
()(1)n
n
n n
n n
n n n X z a u n z a z a z ∞
-∞
---=-∞
=-∞
==
---=
-=-∑∑∑
此等比级数在11a z -<，即z a <收敛。

111
1
()||||11a z z X z z a a z z a az ----===
<---
由于函数1
1
1z z a az
-=--只在z =a 处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆内。

结果分析：对于左边序列，如果序列Z 变换有N 个有限极点｛z 1, z 2, …, z N ｝，那么收敛域一定在模最小的极点所在的圆内
结论：一个左边序列与一个右边序列的Ｚ变换表达式是完全一样的。

所以，只给出Z 变换的闭合表达式不能正确得到原序列，需要已知收敛域。

(4) 对序列x(n)=a |n|, a 为实数，求其Z 变换及收敛域。

解 这是一个双边序列，其Z 变换为
1
()()n
n n n n
n n n X z x n z a z a z ∞
∞
-----=-∞
==-∞
=
=+∑∑∑
110
1
21()||||
1()||1/||
1n n n n n
n X z a z z a az az X z a z z a az
∞
--=---=-∞
==
>-=
=
<-∑∑
若1a <，则存在公共收敛域
若1a ≥，则无公共收敛域,序列两端都发散
2. 已知某离散系统的系统函数)
)(()
)(()(H 3221d z d z c z c z z ----=
，要求：
（1）参数1c 、2c 、2d 、3d 由运行时输入； （2）画出系统的零、极点分布图； （3）判断系统的稳定性； （4）判断系统的因果性； （5）绘出系统的幅频响应曲线；
（6）分析零、极点分布对系统频率响应特性的影响。

解 将系统函数H(z )变换得21212
21212
-()()()z c c z c c H z z d d z d d ++=-++，运用MATLAB 计算
零极点，绘制频率响应曲线以及判断系统稳定性，程序如下：
c1=1;c2=3;d1=4;d2=2;%定义系统初始变量
x1=c1+c2;x2=d1+d2;y1=c1*c2;y2=d1*d2; %定义系统初始变量 B=[1 x1 y1];A=[1 x2 y2];%设置系统函数系数向量B 和A subplot(2,2,1);z plane(B,A);%绘制零极点图
title('零极点分布图')
[H,w]=freq z(B,A);%计算频率响应
subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H));%绘制幅频响应曲线
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)\|');
title('系统函数幅频特性')
subplot(2,2,3);plot(w/pi,angle(H)); %绘制相频响应曲线
xlabel('\omega/\pi');ylabel('phi(\omega)');
title('系统函数相频特性')
disp('系统零点为:')
Z=roots(B) %求H(z)的零点，并显示
disp('系统极点为:')
P=roots(A) %求H(z)的极点，并显示
disp('系统极点模的最大值为:')
M=max(abs(P)) %求所有极点模的最大值，并显示
if M<1 disp('系统稳定'),else disp('系统不稳定'),end %通过判断极点模的最大值M,如果M<1,则显示“系统稳定”，否则显示“系统不稳定”
程序运行结果如下：
图1系统函数的零极点分布及幅频、相频特性系统零点为:
Z =
-3
-1
系统极点为:
P =
-4
-2
系统极点模的最大值为:
M =
4
系统不稳定
由于H(z)的极点为Z=4，Z=2;
1）当收敛域为4z <≤∞;对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

单位脉冲响应n 31()4+2()22n h n u n ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭
,这是一个因果序列，但不收敛。

2）当收敛域为02z ≤<；对应的系统是非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。

单位脉冲响应n 31()42()22n h n u n ⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭
,这是一个非因果且不收敛序列。

3）当收敛域为24z ≤<；对应的系统是非因果系统，但由于收敛域不包含
单位圆，因此是不稳定系统。

单位脉冲响应n 31()4+222
n h n =⨯⨯,这是一个收敛的双边序列。

收获与体会
通过这次课程设计，更加深刻的理解了Z变换求解离散时间系统的系统函数的零、极点以及如何通过离散系统的系统函数零极点分布分析系统稳定性、因果性的关系的问题，同时也对Z变换与离散系统分析有了更深刻的认识。

我也认识到了学习数字信号处理这门课，在听老师讲课的基础上，还要注重动手实践，要学会举一反三，通过实践来更好的理解课堂上讲的理论知识，更好的理解反过来也帮助我们提高了自己的实践能力。

能够提高我独立思考，解决学习问题的能力，并且重新温习了Z变换求解离散时间系统的系统函数的零、极点以及通过离散系统的系统函数零极点分布分析系统稳定性、因果性的关系。

对以前学过的知识掌握得更加牢固，同时也增加了MATLAB编程的信心。

同时，也感谢贾老师和金老师连续两个星期的指导，才使我们这次的课程设计顺利完成
参考文献
[1]唐向宏,岳恒立,郑雪峰.MATLAB及在电子信息类课程中的应用(第2版)[M].北京:电子工业出版社, 2009.6
[2]高西全,丁玉美.数字信号处理(第三版)[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.10
[3]薛山，MATLAB基础教程[M].北京：清华大学出版社，2008.5
[4]郑阿奇，曹戈，赵阳.MATLAB实用教程[M].北京：电子工业出版社，2007.7
[5]程卫国，冯峰，姚东，徐听.MATLAB5.3应用指南[M].北京：人民邮电出版社，2003.5
[6]陈杨.MATLAB 6.X图像编程与图像处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2004.4。