【创新设计】高三数学一轮复习 第4单元 4

答案：B
4．(2009·江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝ ，则向量a 和向量b的数量积a·b＝________. 解析：a·b＝|a||b|cos θ＝2 cos 30°＝3. 答案：3
向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的 运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运 算结果都非常类似，例如a2－b2＝(a－b)·(a＋b)等，同时要注意：①数形结合思 想方法的运用；②向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，而向量数量积的运 算结果是实数．
4．性质：两个非零向量a，b
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反|＝
.
(3)|a·b|≤|a||b|.
5．运算律：a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析： 答案：D
1．两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角,记作θ ，<a，b>．注意：当θ＝0时a 与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；
2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos θ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝|a||b|·cos θ.
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：①a·b＝0，正确，②a＋b与a－b方向不同，错误．③|a＋b|2＝|a|2＋|b|2 ＋2a·b＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2，∴|a＋b|＝|a－b|.正 确．④(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2.正确．⑤当|a|≠|b|时(a＋b)·(a－b)＝ 0不成立错误，故选B项．
【分析点评】
1. 本题灵活全面地考查向量的运算如解法二． 2．可通过建立坐标系，利用向量的坐标运算将问题转化为求三角函数的最小值.
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2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45°
B．60° C．120° D．135°
解析：
答案：D
3．两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：
①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④|a|2＋|b|2＝(a＋b)2；⑤(a＋ b)·(a－b)＝0.其中正确的式子有( )
2．向量的线性运算、平面向量的数量积，向量的平行与垂直，都有它的几何表示 和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵 活选择．
3．向量的坐标表示使向量运算完全数量化，致使一些证明题的过程表现在计算上， 这是坐标法的独到之处．
4．用坐标表示向量解决几何问题的大致过程为： (1)适当建立直角坐标系，写出相关点坐标； (2)用点的坐标表示所需向量坐标； (3)利用向量的坐标表示进行计算或证明.
又0°≤〈2a＋b,3a－2b〉≤180°，∴〈2a＋b,3a－2b〉＝60°.
1. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
2．由于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ满足 0°≤θ≤180°，所以用
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
|m＋n|＝ ，求cos
的值．
变式3.已知向量OA＝a＝(cos α，sin α)，OB＝b＝(2cos β，2sin β)，OC＝c＝(0， d)(d>0)，其中O为坐标原点，且0<α< <β<π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若
＝ ，求△OAB的面积S.
解答：(1)由a⊥(b－a)⇒a·(b－a)＝0⇒a·b－a2＝0，
变式2.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量 a＋b＋c与向量a的夹角． 解答：由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－ ， |a＋b＋c|＝ ＝ 设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cosθ 即θ＝150°， 故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.
又|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝|α－β|，
∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝ .
(2)∵|OA|＝1，|OB|＝2，记〈OB，OC〉＝θ1，〈OA，OC〉＝θ2， ∵OC＝(0，d)，d>0，
【方法规律】
1．有了向量的几何表示和代数表示，就为研究和解决几何问题提供两种新的方 法—向量法和坐标法．
(2009·全国Ⅰ)(本题满分5分)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的 最小值为( )
【答题模板】
解析：解法一：由a·b＝0如图建立直角坐标系xOy，则a＝(1,0)，b＝(0,1)设c＝ (cos θ，sin θ)(a－c)·(b－c)＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝ cos2θ－cos θ＋sin2θ－sin θ＝1－sin θ－cos θ＝ 解法二：(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝ 答案：D
3.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l如图所示，作OA=a,过点O，A分别作轴l的 垂线，垂足分别为O1,A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的 正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l 上的数量或在轴l的方向上的数量OA=a在轴l上正射影的坐 标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定 义有al=|a|cos θ.
【例1】(1)证明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (2)设a、b是夹角为60°的单位向量，求①|2a＋b|、|3a－2b|； ②〈2a＋b,3a－2b〉． 解答：(1)证明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b＝a2－b·a－(a·b－ b2)＝a2－2a·b＋b2. (2)①∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|·cos60°＋1＝7， ∴|2a＋b|＝ . 同理可求|3a－2b|＝ . ②cos〈2a＋b,3a－2b〉
【例2】已知a、b满足|a＋b|＝|a－b|，|a|＝|b|＝1，求|3a－2b|. 解答：由|a＋b|＝ |a－b|得，|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2， ∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，∴8a·b＝2a2＋2b2＝2|a|2＋2|b|2＝4，即a·b ＝， ∴|3a－2b|＝
向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要 求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决 平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问 题．
【例3】已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝( －sinθ，cosθ)，θ∈(π,2π)，且
4.3 平面向量的数量积及 平面向量应用
(理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系 /掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向 量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题)