2022年中考专题圆的证明题

圆证明题专项
一．解答题(共12小题)
1．(•武汉)如图,AB是⊙O直径,AC是弦,∠BAC平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC延长线于点E,OE交AD 于点F．
(1)求证:DE是⊙O切线;
(2)若=,求值．
2．(•武汉模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E．
(1)求证:ED为⊙O切线;
(2)若⊙O半径为3,ED=4,EO延长线交⊙O于F,连DF、AF,求△ADF面积．
3．(•西藏)如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB延长线于点E．
(1)求证:直线EF是⊙O切线;
(2)求sin∠A值．
4．(•南充)如图,已知⊙O直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD．
(1)试问:CG是⊙O切线吗?阐明理由;
(2)请证明:E是OB中点;
(3)若AB=8,求CD长．
5．(•道外区二模)如图,在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径作⊙O交AB于点D,DF⊥AC,垂足为F,FD延长线交CB延长线于点E．求证:直线EF是⊙O切线．
6．(•济宁)如图,△ABC内接于⊙O,过点A直线交⊙O于点P,交BC延长线于点D,AB2=AP•AD．
(1)求证:AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°,⊙O半径为1,且P为中点,求AD长．
7．(•义乌市)已知:如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点切线与OC延长线交于点D,∠B=30°,OH=．祈求出:
(1)∠AOC度数;
(2)劣弧长(成果保存π);
(3)线段AD长(成果保存根号)．
8．(•肇庆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC中点,⊙O通过A、B、D三点,CB延长线交⊙O于点E．
(1)求证:AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O直径;
(3)若(n＞0),求sin∠CAB．
9．(•永州)如图,已知⊙O直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点(与点A、点B不重叠),PO延长线与⊙O相交于点C,过点C切线与直线m相交于点D．
(1)求证:△APC∽△COD;
(2)设AP=x,OD=y,试用含x代数式表达y;
(3)试摸索x为什么值时,△ACD是一种等边三角形．
10．(•枣庄)已知:如图,在半径为4⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB中点,CM延长线交⊙O于点E,且EM＞MC．连接DE,DE=．
(1)求EM长;
(2)求sin∠EOB值．
11．已知:如图,在⊙O中,弦AB和CD相交,连接AC、BD,且AC=BD．求证:AB=CD．
12．(•双流县)如图,AB是⊙O直径,P点在AB延长线上,弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC．
(1)求证:PC是⊙O切线;
(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD长．
专项——圆证明题。

参照答案与试题解析
一．解答题(共12小题)
1．(•武汉)如图,AB是⊙O直径,AC是弦,∠BAC平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC延长线于点E,OE交AD 于点F．
(1)求证:DE是⊙O切线;
(2)若=,求值．
考点: 切线鉴定．
专项: 几何综合题．
分析:(1)连接OD,只需证明OD⊥DE即可;
(2)连接BC,设AC=3k,AB=5k,BC=4k,可证OD垂直平分BC,运用勾股定理可得到OG,得到DG,于是AE=4k,
然后通过OD∥AE,运用相似比即可求出值．
解答:(1)证明:连接OD,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ADO,
∵∠EAD=∠BAD,
∴∠EAD=∠ADO,
∴OD∥AE,
∴∠AED+∠ODE=180°,
∵DE⊥AC,即∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O切线;
(2)解:连接BC,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
又∵OD∥AE,
∴∠OGB=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,
∴G为BC中点,即BG=CG,
又∵=,
∴设AC=3k,AB=5k,依照勾股定理得:BC==4k,
∴OB=AB=,BG=BC=2k,
∴OG==,
∴DG=OD﹣OG=﹣=k,
又∵四边形CEDG为矩形,
∴CE=DG=k,
∴AE=AC+CE=3k+k=4k,
而OD∥AE,
∴===．
点评:考查了切线鉴定定理,可以综合运用角平分线性质、全等三角形鉴定和性质以及平行线分线段成比例定理．
2．(•武汉模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E．
(1)求证:ED为⊙O切线;
(2)若⊙O半径为3,ED=4,EO延长线交⊙O于F,连DF、AF,求△ADF面积．
考点: 切线鉴定与性质;三角形面积;全等三角形鉴定与性质;勾股定理;垂径定理;锐角三角函数定义．
专项: 计算题;证明题;几何综合题．
分析:(1)连接OD,CD,求出∠BDC=90°,依照OE∥AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,依照SSS证△ECO≌△EDO,推出∠EDO=∠ACB=90°即可;
(2)过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB值,依照sin∠BAC===,
求出OM,依照cos∠BAC===,求出AM,依照垂径定理求出AD,代入三角形面积公式求出即可．
解答:(1)证明:连接OD,CD,
∵AC是⊙O直径,
∴∠CDA=90°=∠BDC,
∵OE∥AB,CO=AO,
∴BE=CE,
∴DE=CE,
∵在△ECO和△EDO中
,
∴△ECO≌△EDO,
∴∠EDO=∠ACB=90°,
即OD⊥DE,OD过圆心O,
∴ED为⊙O切线．
(2)解:过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,
则OM∥FN,∠OMN=90°,
∵OE∥AB,
∴四边形OMFN是矩形,
∴FN=OM,
∵DE=4,OC=3,由勾股定理得:OE=5,
∴AC=2OC=6,
∵OE∥AB,
∴△OEC∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴AB=10,
在Rt△BCA中,由勾股定理得:BC==8,
sin∠BAC===,
即=,
OM==FN,
∵cos∠BAC===,
∴AM=
由垂径定理得:AD=2AM=,
即△ADF面积是AD×FN=××=．
答:△ADF面积是．
点评:本题考查了切线性质和鉴定,勾股定理,三角形面积,垂径定理,直角三角形斜边上中线性质,全等三角形性质和鉴定等知识点运用,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题能力,本题综合性比较强,有一定难度．
3．(•西藏)如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB延长线于点E．
(1)求证:直线EF是⊙O切线;
(2)求sin∠A值．
考点: 切线鉴定;等腰三角形性质;解直角三角形．
专项: 压轴题．
分析:(1)连接CD,OD,得出CD⊥AB,推出AD=BD,得出OC∥AC,推出EF⊥OD,依照切线鉴定推出即可;
(2)求出AD,依照勾股定理求出CD,解直角三角形ACD即可．
解答:(1)证明:连接CD,OD,
∵BC是⊙O直径,
∴∠CDB=90°,即CD⊥AB,
∵AC=BC,
∴BD=AD,
∵BO=CO,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD,
∵OD为半径,
∴EF是⊙O切线;
(2)解:∵AB=12,AD=BD=6,AC=10,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:CD==8,
即sinA===．
点评:本题考查了等腰三角形性质,三角形中位线,平行线性质和鉴定,解直角三角形,勾股定理,切线鉴定等知识点应用,重要考查了学生推理和计算能力．
4．(•南充)如图,已知⊙O直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD．
(1)试问:CG是⊙O切线吗?阐明理由;
(2)请证明:E是OB中点;
(3)若AB=8,求CD长．
考点: 切线鉴定;垂径定理;圆周角定理．
专项: 几何综合题．
分析:(1)已知点C在圆上,依照平行线性质可得∠FCG=90°,即OC⊥CG;故CG是⊙O切线．
(2)办法比较多,应通过等边三角形性质或三角形全等思路来考虑;
(3)Rt△OCE中,有三角函数定义,可得CE=OE×cot30°,故代入OE=2可得CE长．
解答:(1)解:CG是⊙O切线．理由如下:
∵CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O切线;
(2)证明:
第一种办法:连接AC,如图,(2分)
∵CF⊥AD,AE⊥CD且CF,AE过圆心O, ∴,．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．(3分)
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．(4分)
在Rt△COE中,
∴OE=OB．
∴点E为OB中点．(5分)
第二种办法:连接BD,如图,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°,
∴∠ADB=∠AFO,∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．(3分)
．
∵AE⊥CD,且AE过圆心O,
∴CE=DE．(4分)
∴BE=OE．
∴点E为OB中点．(5分)
(3)解:∵AB=8,
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE,
∴OE=2．(6)
∴CE=OE×cot30°=．(7分)
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=．(8分)
点评:本题考查常用几何题型,涉及切线鉴定,线段等量关系证明及线段长度求法,规定学生掌握常用解题办法,并能结合图形选取简朴办法解题．
5．(•道外区二模)如图,在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径作⊙O交AB于点D,DF⊥AC,垂足为F,FD延长线交CB延长线于点E．求证:直线EF是⊙O切线．
考点: 切线鉴定;等腰三角形性质;圆周角定理．
专项: 证明题．
分析:先连接OD,由于AC=BC,易得∠A=∠ABC,而OD=OB,又能得到∠OBD=∠ODB,等量代换可得∠ODB=∠A,运用同位角相等两直线平行可知OD∥AC,而DF⊥AC,那么∠CFD=90°,运用平行线性质可得∠ODE=90°,可证EF是⊙O切线．
解答:证明:连接OD,如右图所示,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODB=∠A,
∴OD∥AC,
又∵DF⊥AC,
∴∠CFD=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF是⊙O切线．
点评:本题考查了切线鉴定、等腰三角形性质、平行线鉴定和性质．解题核心是连接OD,并证明OD∥AC．
6．(•济宁)如图,△ABC内接于⊙O,过点A直线交⊙O于点P,交BC延长线于点D,AB2=AP•AD．
(1)求证:AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°,⊙O半径为1,且P为中点,求AD长．
考点: 圆周角定理;相似三角形鉴定与性质．
专项: 综合题．
分析:(1)依照AB2=AP•AD,可以连接BP,构造相似三角形．依照相似三角形性质得到∠APB=∠ABD,再依照圆周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,再依照等角对等边证明结论;
(2)依照有一种角是60°等腰三角形是等边三角形,发现等边三角形ABC,再依照点P为弧中点,连接BP,发现30°
直角三角形,且BP是直径,从而求得AP长,AB长．再依照已知中条件求得AD长．
解答:(1)证明:连接BP,
∵AB2=AP•AD,∴,
又∵∠BAD=∠PAB,
∴△ABD∽△APB,
∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:由(1)知AB=AC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵P为中点,
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°,
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°,
∴BP为直径,
∴BP过圆心O,
∴BP=2,
∴AP=BP=1,
∴AB2=BP2﹣AP2=3,
∵AB2=AP•AD,
∴AD==3．
点评:掌握相似三角形性质和鉴定,可以结合已知条件发现等边三角形和30°直角三角形,依照它们性质分析求解,属中档难度．
7．(•义乌市)已知:如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点切线与OC延长线交于点D,∠B=30°,OH=．祈求出:
(1)∠AOC度数;
(2)劣弧长(成果保存π);
(3)线段AD长(成果保存根号)．
考点: 切线性质;圆周角定理;弧长计算;解直角三角形．
专项: 几何综合题．
分析:(1)由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=60°;
(2)由等腰三角形性质:底边上高与顶角平分线重叠知,∠AOH=30°,故可由余弦概念求得AO值,进而由弧长公
式求得弧AC长;
(3)在Rt△AOD中,可由正切概念求得AD长．
解答:解:(1)∠AOC=2∠B=60°．
(2)在△AOC中,
∵OH⊥AC,OA=OC,
∴OH是等腰三角形AOC底边AC上高,
∴∠AOH=∠AOC=30°,
∴,
∴长=,
∴长是．
(3)∵AD是切线,
∴AD⊥OA,
∵∠AOC=60°,
∵tan60°=,
∴AD=AO•tan60°=10．
∴线段AD长是．
点评:本题运用了圆周角定理,切线概念,直角三角形和等腰三角形性质,锐角三角函数概念,弧长公式求解．
8．(•肇庆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC中点,⊙O通过A、B、D三点,CB延长线交⊙O于点E．
(1)求证:AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O直径;
(3)若(n＞0),求sin∠CAB．
考点: 锐角三角函数定义;圆周角定理;切线性质;相似三角形鉴定与性质．
专项: 几何综合题;压轴题．
分析:(1)连接DE,依照∠ABC=90°可知:AE为⊙O直径,可得∠ADE=90°,依照CD⊥AC,AD=CD,可证AE=CE;
(2)依照△ADE∽△AEF,可将AE即⊙O直径求出;
(3)依照Rt△ADE∽Rt△EDF,=n,可将DE长表达出来,在Rt△CDE中,依照勾股定理可将CE长表达出来,
从而可将sin∠CAB值求出．
解答:(1)证明:连接DE,
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC中点
∴DE是AC垂直平分线
∴AE=CE;
(2)解:在△ADE和△EFA中,
∵∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE=2cm;
(3)解:∵AE是⊙O直径,EF是⊙O切线,
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵,AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=(1+n)CD
∴DE=CD
在Rt△CDE中,CE2=CD2+DE2=CD2+(CD)2=(n+2)CD2
∴CE=CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC===．
点评:本题重要考查圆周角定理,切线性质及相似三角形性质和应用．
9．(•永州)如图,已知⊙O直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点(与点A、点B不重叠),PO延长线与⊙O相交于点C,过点C切线与直线m相交于点D．
(1)求证:△APC∽△COD;
(2)设AP=x,OD=y,试用含x代数式表达y;
(3)试摸索x为什么值时,△ACD是一种等边三角形．
考点: 相似三角形鉴定与性质;依照实际问题列反比例函数关系式;等边三角形鉴定;切线性质．
专项: 几何综合题;压轴题．
分析:(1)由题可知,DA、DC是由D点向圆引两条切线,有切线性质可知,DO垂直平分AC,又∠PAC为直径所对圆周角为90°,因此PA和AC垂直,因而PA和OD平行,可得同位角相等即∠P=∠DOC,又∠PAC=∠DCO=90°,因此可得相似．
(2)由(1)知相似,可得相应线段成比例,运用此性质得,可求出y与x之间关系式．
(3)若△ACD是一种等边三角形,则∠ADC=60°,∠ODC=30°,于是OD=2OC,由(2)可得出x值为1．
解答:(1)证明:∵PC是⊙O直径,CD是⊙O切线,
∴∠PAC=∠OCD=90°,
∵DA,DC是⊙O切线,
∴∠ADO=∠CDO,AD=DC,
∴DO⊥AC,
∴PA∥OD,
∴∠P=∠DOC,
∴△APC∽△COD．
(2)解:由△APC∽△COD,得:
∴,
∴．
(3)解:若△ACD是一种等边三角形,则∠ADC=60°,∠ODC=30°,
∵OD=2OC,
∴y=2,
∴x=1．
当x=1时,△ACD是一种等边三角形．
点评:此题考查了相似三角形鉴定以及切线长定理,难易限度适中．
10．(•枣庄)已知:如图,在半径为4⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB中点,CM延长线交⊙O于点E,且EM＞MC．连接DE,DE=．
(1)求EM长;
(2)求sin∠EOB值．
考点: 圆周角定理;等腰三角形性质;勾股定理;锐角三角函数定义．
专项: 几何综合题;压轴题．
分析:(1)依照圆周角定理及勾股定理可求出CE长,再由相交弦定理求出EM长即可;
(2)由(1)中所求EM长判断出△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,依照等腰三角形性质及勾股定理可求出
OF,EF长,进而求出sin∠EOB值．
解答:解:如图,(1)∵DC为⊙O直径,
∴DE⊥EC(1分)
∵DC=8,DE=
∴EC=
==7(2分)
设EM=x,由于M为OB中点,
∴BM=2,AM=6,
由相交弦定理AM•MB=EM•CM,(3分)
即6×2=x(7﹣x),x2﹣7x+12=0
解这个方程,得x1=3,x2=4
∵EM＞MC
∴EM=4;(5分)
(2)∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=OM=1
∴EF===
∴sin∠EOB=．(8分)
点评:本题考查是圆周角定理及等腰三角形性质,属中学阶段基本内容．
11．已知:如图,在⊙O中,弦AB和CD相交,连接AC、BD,且AC=BD．求证:AB=CD．
考点: 圆心角、弧、弦关系．
专项: 证明题．
分析:
此题重要两条弦相等,可以转化为证明=就可以．已知AC=BD可以证明得到=,进而得到=．解答:证明:∵AC=BD,
∴．(2分)
∴．(4分)
∴AB=CD．(6分)
(阐明:用全等三角形等办法证明同样给分)
点评:本题重要考查了:在同圆或等圆中圆心角相等,弧相等,弦相等,弦心距相等,在这几组相等关系中,只要有一构成立,则此外几组一定成立．
12．(•双流县)如图,AB是⊙O直径,P点在AB延长线上,弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC．
(1)求证:PC是⊙O切线;
(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD长．
考点: 切线鉴定与性质;圆周角定理;相似三角形鉴定与性质．
专项: 压轴题．
分析:(1)连接OC,由∠PCE=2∠BDC推出∠PCE=∠COD,即可推出OC⊥PC,即可推出结论;
(2)由CD⊥AB,OC⊥CP可推出OC2=OP•OE,由由于AE:EB=2:1,PB=6,推出OE=1,OC=3,依照勾股定理即可推
出ED长度,即可推出CD长度．
解答:(1)证明:连接OC,
∵∠PCE=2∠BDC,
∴∠PCE=∠COB,
∵CD⊥AB,
∴∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE+∠DCP=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O切线．
(2)解:∵AE:EB=2:1,
∵CD⊥AB,OC⊥CP,
∴OC2=OP•OE,
设EB=x,则AE=2x,OE=,OC=,
∴()2=()
解方程得:x1=0(舍去),x2=2,
∴OE=1,OC=3,
∴CE==2,
∴CD=2CE=4．
点评:本题重要考查圆周角定理、切线鉴定和性质、相似三角形鉴定和性质,核心在于求出∠PCE=∠COD,OC2=OP•OE．。