2020-2021学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分叶非必要条件
【答案】A
【分析】首先根据21a >得到1a >或1a <-，从而得到答案. 【详解】由21a >，解得1a >或1a <-， 所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
2．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥
C ．
11a b ab
+> D ．
2b a
a b
+≥ 【答案】D 【解析】试题分析：，所以A 错；
，只能说明两实数同号，同为
正数，或同为负数，所以当
时，B 错；同时C 错；
或
都是正数，根据
基本不等式求最值，，故D 正确．
【考点】不等式的性质
3．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
【答案】B
【解析】试题分析：当
时，
，此时成立，当时，，当时，，即
，当
时，
，当
时，
恒成立，所以a 的取值范围为
，故选B.
【考点】集合的关系
4．已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正
确的是（ ）
A ．若5k =，则至少存在．．．．
一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k
，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．
以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】
本题可用排除法，由2222222
2
2
222
x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++，
对于A ，若5k =，可得222
xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()(
)2
2
2
75xy yz zx x y z
++>++成立，而以
,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===()()
22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.
【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.
二、填空题
5．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．
【答案】（﹣1，3）．
【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3． 解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2， ∴﹣1＜x ＜3，
故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3）， 故答案为（﹣1，3）．
【考点】绝对值不等式的解法．
6．集合{}|14,A x x x N =-≤<∈可用列举法表示为__________. 【答案】{0,1,2,3}
【分析】根据集合的表示确定集合中的元素后用列举法写出． 【详解】由题意{0,1,2,3}A =． 故答案为：{0,1,2,3}．
7．设{}{}(,)|25,(,)|12A x y x y B x y x y ==-=-=，则A B =_____.
【答案】{(1,3)}-
【分析】列出方程组25
12x y x y =-⎧⎨
-=⎩
，解之可得交集中的元素．
【详解】由题意得25
12x y x y =-⎧⎨-=⎩
，解得13x y =-⎧⎨=⎩，
∴{(1,3)}A
B =-．
8．方程136x +=的解为x =_____. 【答案】log 32
【分析】把指数式改写为对数式可得． 【详解】∵163x +=，∴32x =，3log 2x =． 故答案为：3log 2．
9．“0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的_________条件. 【答案】必要不充分
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判定，即可得出结果. 【详解】若0a =，0b =时，关于x 的方程ax b =有无数个解； 因此由“0a =”不能推出“关于x 的方程ax b =无解”；
若关于x 的方程ax b =无解，则0a =；
因此“0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.
【点睛】结论点睛：充分与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 10．满足{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆的集合A 有__________个. 【答案】15
【分析】由题意可知集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，从而可求得集合A 的个数
【详解】解：因为{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆， 所以集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集， 所以集合A 的个数为42115-=， 故答案为：15
11．已知3log 2a =，则2log 96=_____.（用a 的代数式表示） 【答案】15a
+
【分析】利用换底公式化简求解即可 【详解】解：因为3log 2a =， 所以33332333log 96log 32log 35log 21511
log 965log 2log 2log 2a a a
+++=====+，
故答案为：15a
+
12．已知lg lg 1a b +=，则2a b +的最小值为_________.
【答案】【分析】由对数的运算可得10ab =，然后由基本不等式得出结论． 【详解】∵lg lg lg()1a b ab +==，∴10ab =，0,0a b >>，
∴2a b +≥=，当且仅当2a b =
，即a b ==时等号成立．
故答案为：
13．已知120,,a x x >为方程220x x a ++=的两个实数根，则12
11
+x x 的取值范围为______.
【答案】(],2-∞-
【分析】由判别式不小于0得出a 的范围，由韦达定理得出1212,x x x x +，把12
11+x x 转化为a 的函数后可得结论主．
【详解】由题意440a ∆=-≥，1a ≤，又0a >， ∴01a <≤．
1
1a
≥， 122x x +=-，12x x a =，
∴121212112
2x x x x x x a
+-+==≤-． 故答案为：(,2]-∞-．
14．已知集合{
}{
}
2
2
|320,|0A x x x B x x ax a =-+==-+=，且A B A ⋃=，则实属a 的所有取值组成的集合为___________. 【答案】(]
0,4
【分析】首先求得集合A 中的元素，由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据子集的概念求参数a ，注意B =∅是允许的．
【详解】由题意{1,2}A =，∵A B A ⋃=，∴B A ⊆， 若240a a ∆=-<，即04a <<，则B =∅满足题意，
若0∆=，则0a =或4a =，0a =时，{0}B =不合题意，4a =时，{2}B =满足题意，
若2
40a a ∆=->又由1212a a +=⎧⎨⨯=⎩
知无解，
综上a 的取值范围是(0,4]． 故答案为：(0,4]．
15．设集合1
2M x y x -⎧⎫⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，
()()()11112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫
==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭
，若N M ⊆，则实数m 的
取值范围是_________. 【答案】()1,0-
【分析】求出集合M 、N ，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.
【详解】()1
20,M x y x x y -⎧⎫⎧⎫⎪⎪=====+∞⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭
，
对于函数()()()111121y x m x m ⎛⎫
=+-+--
⎪-⎝⎭
，
当1x =时，1y m =-；当2x =时，1111
m
y m m =
+=
--. 所以，min 1,
,max 1,11m m N m m m m ⎡⎤⎧
⎫⎧
⎫=--⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩
⎭⎩
⎭⎣
⎦， 由于N M ⊆，所以，1001m m m ⎧->⎪
⎨>⎪-⎩
，解得10m -<<.
因此，实数m 的取值范围是()1,0-. 故答案为：()1,0-.
【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论． 16．若对于两个实数集合,,X Y 集合的运算X Y ⊕定义为：
{}|,X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈，集合的运算X Y ⊗的定义为：
{}|,X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈.
已知实数集合{}
|,X x x a a Q b Q ==+∈∈
，
{}
|,Y x x a a Q b Q ==+∈∈，试写出一个实数m ，使得m X Y ∈⊗但
m X Y ∉⊕，则m =_______
【答案】(
11+
【分析】由题意，找准集合中的元素，根据题干对集合的定义对,a b 赋值即可得到一个答案．
【详解】集合{}
,X a a b Q =∈，{}
,Y a b Q =+∈， 由{}
,X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈，{}
,X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈
可知若要使m X Y ∈⊗，m X Y ∉⊕则()()
m a a =+⋅，
且(
)()
m a a ≠+++，不妨取1a =，1b =，
故答案为：(11+.
【点睛】思路点睛：
在处理集合新定义问题时，一般结合题中所给的新定义，直接求解即可，多数情况下，涉及集合的基本运算，这就要求学生对集合理解的要比较透彻，能灵活运用集合的基本运算，以及元素与集合之间的关系，即可求解.
三、解答题
17．现有,,,A B C D 四个长方形容器，,A B 的底面积都是2a ，高分别是,a b ；,C D 的底面积都是2b ，高分别是,()a b a b ≠，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由.
【答案】先取,A D 容器必胜.理由见解析.
【分析】计算出容器,,,A B C D 的容积,,,A B C D V V V V ，然后作差：()()A B C D V V V V +-+，()()A C B D V V V V +-+，()()A D B C V V V V +-+，观察哪个恒大于0即可得．
【详解】先取,A D 容器必胜.
证明：依次记容器,,,A B C D 的容积为,,,A B C D V V V V
则3223,,,A B C D V a V a b V ab V b ====
作差即可2
()()()()A B C D V V V V a b a b +-+=-+，
22()()()()A C B D V V V V a b a b +-+=-+， 2()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-，
只有2
()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-必大于0，即A D C D V V V V +>+．
所以，先取,A D 容器必胜．
18．已知集合603x A x x ⎧⎫
+=≥⎨⎬-⎩⎭
，集合{}
216B x x =≤，{}30C x x m =+<.
（1）求A
B ，A B ；
（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围.
【答案】（1）{}
43A B x x ⋂=-≤<，{
6A B x x ⋃=<-或}4x >；（2）(],9-∞-. 【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ，利用并集和补集的
定义可求得集合A
B ；
（2）由题意可得出A C ⊆，得出关于实数m 的不等式，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）解不等式
603x x +≥-，即6
03
x x +≤-，解得63x -≤<，则{}63A x x =-≤<， {}
{}21644B x x x x =≤=-≤≤，{}43A B x x ∴⋂=-≤<. {}64A B x x ⋃=-≤≤，因此，{6A B x x ⋃=<-或}4x >，
（2）
{}303m C x x m x x ⎧⎫
=+<=<-⎨⎬⎩
⎭，
由于x C ∈是x A ∈的必要条件，则A C ⊆，33
m
∴-≥，解得9m ≤-. 因此，实数m 的取值范围是(]
,9-∞-.
19．经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600
=
>++v
y v v v .
（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）
【答案】（1）应控制在[]25,64这个范围内；（2）40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时.
【分析】（1）依题意列出不等式，解不等式即可； （2）函数式变形后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）据题意有：
29201031600
v
v v ≥++，
化简得28916000v v -+≤，即()()25640v v --≤， 所以汽车的平均速度应控制在2564v ≤≤这个范围内.
（2）
2
9209201600316003
v y v v v v =
=+++
+92011.0883≤=≈， 当1600
v v
=
，即40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 答:（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在
[]25,64这个范围内；（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为40千米/小时，车流量最
大，最大值为11.08千辆/小时.
【点睛】此题为已知函数关系的应用题，考查如何用函数关系获得所要的数据，属于基础题.
20．记代数式(
)
2
log 214a M x a x a =-+-+-，()()13
2412N x x =--++. （1）当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合； （2）对任意x ∈R ，代数式M 有意义，求实数a 的取值范围； （3）若代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）311,
,22⎛
⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
；
（2）()3,+∞；（3）)
()1,1
1,+∞.
【分析】（1）分3x ≤、34x <<、4x ≥三种情况解不等式4340x x -+-->，由此可得出结果；
（2）由绝对值三角不等式可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围； （3）解出使得N 有意义时x 的取值范围是[]
2,1--，由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2
214x a x a -+-+>成立，通过去绝对值得出2210a a +->，再由0a >且
1a ≠可解得实数a 的取值范围.
【详解】（1）当2a =时，()
2log 434M x x =-+--，则4340x x -+-->. ①当3x ≤时，434434320x x x x x -+--=-+--=->，解得3
2
x <
，此时32
x <
； ②当34x <<时，43443430x x x x -+--=-+--=-<，原不等式无解； ③当4x ≥时，4344342110x x x x x -+--=-+--=->，解得11
2
x >
，此时
112
x >
. 综上所述，当2a =时，使代数式M 有意义的实数x 的集合为311,
,22⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；
（2）由题意可知，对任意的x ∈R ，2
2140x a x a -+-+->， 则
()()2
2
222214214214214230
x a x a a
a a a a a a a ---+-=-+--=-+-=-+-=-->，
0a >且1a ≠，解得3a >，
因此，实数a 的取值范围是()3,+∞；
（3）
()()1
324
12N x x =--++=，则10
20
x x --≥⎧⎨
+≥⎩，解得
21x -≤≤-，
由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2
214x a x a -+-+>成立，
0a >且1a ≠，则2211a a >->-，
所以2
2
2
21212124x a x a a x a x a a x -+-+=-+--=+-->， 所以，22214x a a -++->在[]2,1x ∈--时有解，2210a a ∴+->，
0a >且1a ≠，解得1a >-且1a ≠，
因此，实数a 的取值范围是
)
()1,1
1,+∞.
【点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有三种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(],a -∞、(),a b 、
[),b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等
式求解，然后取各个不等式解集的并集；
（2）几何法：利用()0x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，()()x a x b x a x b a b -+-≥---=-； （3）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 21．已知实数,,a b c 满足a b c >>；
（1）求证：
1110a b b c c a
++>---； （2）将上述不等式加以推广，把1c a
-的分子1改为另一个大于1的自然数p ，使得110p a b b c c a
++>---对任意的,,a b c 恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数,,m n p 满足什么条件时，不等式0m n p a b b c c a ++>---对任意,,a b c 恒成立，请加以证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）2或3，证明见解析；（3<析.
【分析】（1）不等式变形为证明[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+->
⎪--⎝⎭，由基本不等式易证；
（2）不等式变形为[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭
，由（1）可得[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭
最小值．即得p 的范围． （3）类似（1）得[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，由基本不等式求得[]()()m n a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭
的最小值，从而可得结论． 【详解】（1）因为a b c >>， 要证1110a b b c c a
++>---，即证1111()()a b b c a c a b b c +>=----+-， 只要证[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+->
⎪--⎝⎭，
而[]11()()224a b b c a b b c a b b c b c a b --⎛⎫+-+-=++≥+= ⎪----⎝⎭
，当且仅当
a b b c b c a b --=--．即a b b c -=-或2a c b +=时等号成立， 所以原不等式成立；
（2）由（1）[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭
恒成立，由（1）
[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭
最小值为4，所以4p <，14p <<，所以p =2或3； （3）类似（1）不等式0m n p a b b c c a
++>---恒成立，即[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭
，
而[]()()()()m n m b c n a b a b b c m n m n a b b c a b b c --⎛⎫+-+-=+++≥++ ⎪----⎝⎭
，
当且仅当()()m b c n a b a b b c
--=--))b c a b -=-时等号成立，
所以p m n <++
所以当自然数,,m n p <0m n p a b b c c a ++>---对任意,,a b c 恒成立．
【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查用基本不等式求和最小值．解题关键是凑出积的定值，三个小题层层递进，推理方法类似，是类比推理的简单体现．。