高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》专项训练及答案

【最新】数学《平面向量》复习资料
一、选择题
1．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ）
A ．125
B ．125-
C ．32
D ．32
- 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．
【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，
由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得854
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555
m y x =-=
-=-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
2．在平行四边形OABC 中，2OA =，3OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则43λμ+的最大值为（ ）
A ．2+
B ．3+
C ．5+
D ．7+ 【答案】D
【解析】
【分析】 先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r 的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6AOC π
∠=，
由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o ,
∴圆B 与AC 相切于点A ，
又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ； 如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π
∠=,
所以3,2AD DB OB ===∴==, 所以7
cos
BOA ∠==,
所以27
OB OA ⋅==u u u r u u u r ，
因为BP OA ⋅u u u r u u u r 2cos0⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是7+.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，22
20OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y =-⎧⎨
=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .
由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，
故选：C.
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
4．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r , P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．0 D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得1526
EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v ，求得,λμ的值，即可得到答案. 【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
()1214111232326
EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=- ()
1111522626
AD AB AB AD AB =+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=， 所以511623
λμ+=-
+=-，故选B. 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λ＋μ的值为（ ）
A ．65
B ．85
C ．2
D ．83
【答案】B
【解析】
【分析】 建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,
2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-
=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6
52
5
λμ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则8
5λμ+=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
6．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r （ ）
A ．3144A
B A
C -u u u r u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144AB AC +u u u r u u u r
【答案】A
【解析】
【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r ，化简得到答案.
【详解】
()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r r u
u u r
.
故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
7．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r
（ ）
A ．2133BA AC +u u u r u u u r
B ．2133BA A
C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r
D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论.
【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
8．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( )
A ．165-
B ．165
C ．1613-
D ．1613
【答案】C
【解析】
【分析】 先计算出16a b r r ⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r r 可得 【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r ，
则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b ⋅-=r r r ， 故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r
9．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r ，P 是线段BN 上的一点，若15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）
A ．35
B ．25
C ．1415
D ．910
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论.
【详解】 由题意，设()
NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，()
()113
AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 所以，
1135λ-=，且m λ=，解得25
m λ==. 故选：B.
【点睛】 本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
10．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12- 【答案】C 【解析】
【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322
AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362
BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622
=-⨯⨯⨯=. 故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
11．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．45-
B ．1516-
C ．14-
D ．5
8
- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】 ()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B. 【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π
===，点P 为ABC V 所在平面内一
点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ）
A ．252-
B ．8-
C ．172-
D ．1758
- 【答案】A
【解析】
【分析】
根据,2C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2
x y ，时,取得最小值. 【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r ，
则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭. 故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
13．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C ．2
D ．98
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入225+=8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】 由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
- 因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-. 所以,,b u c u c λλ+=-=
解之得,.22b c c b u c c λ+-=
=
因为225+=
8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A
【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v 求出,u λ.
14．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC =
=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．23- B ．43- C ．83- D ．2-
【答案】D
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r ， 则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223
AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
15．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
16．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r
，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）
A ．23
B ．15
C ．72
D ．152
【答案】D
【解析】
【分析】 计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】
∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r
， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()
253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r
；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①
中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
19．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．13 B
．3- C
．3- D ．1
3
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
//a b ∴r r 1cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
20．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是 【答案】B
【解析】
【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．。