巧用隐圆 妙解最值-2024年中考数学重难热点(学生版)

巧用隐圆妙解最值
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模型背诵
隐圆一:定弦定角，隐圆正好。

AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。

这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。

隐圆一特殊:
若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。

(可以解决动点轨迹。

)
隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。

(可以利用四点共圆证相似,角相等)
若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。

在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.
隐圆二特殊.
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆三:对角互补，四点共圆.
若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。

隐圆三特殊:
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆四：定点定长，隐圆必现。

CA=CB=CP
隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。

若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。

(P 为“主动点”，点Q为“从动点。

)
典例分析
如图1-1，点P (3,4)，圆P 半径为2，A (2.8,0)，B (5.6,0)，点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．
【点睛】图1-2，M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．
图1-3：当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．
实战训练
一、单选题
1如图，
正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()
A.213-2
B.45-2
C.43-2
D.215-2
2如图，
⊙O 的半径是6，P 是⊙O 上一动点，A 是⊙O 内部一点，且AO =3，则下列说法正确的是()
①PA 的最小值为6-3；②PA 的最大值为6+3；③当∠OAP =90°时，△PAO 是等腰直角三角
形；④△PAO 面积最大为32
．
A.①③④
B.①②④
C.①②③
D.②③④
3如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5．连接
BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面积为( )．
A.6
B.62
C.9
D.92
4正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为
()
A.25-2
B.25+2
C.10-2
D.10+2
5如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=
∠PBC，则线段CP长的最小值为()
B.2
C.213-6
D.213-4
A.32
5
6已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，tan ∠ABC =32
，点N 是边AC 的中点，点M 是射线BC 上的一动点(不与B ，C 重合)，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ，连接BE ，CE ，当线段BE 的长取最大值时，sin ∠NCE 的值为()
A.35
B.55
C.235
D.255
7如图，
边长为1的小正方形网格中，点A ,B ,C ,E 在格点上，连接AE ,BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则tan ∠AED 的值是()
A.255
B.2
C.55
D.12
二、填空题
8如图，
正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．
9在Rt △ACB 中，
∠BAC =30°,CB =2，点E 是斜边AB 的中点，把Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转，得Rt △AFD ，点C ，点B 旋转后的对应点分别是点D ，点F ，连接CF ，EF ,CE ，在旋转的过程中，△CEF 面积的最大值是．
10如图，
在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D 是AC 上一点，且CD =3，E 是BC 边上一点，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF ，则BF 的最小值为．
11如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在射线BC 上，则PD PA 的最小值为．
12如图，
已知△ABC ，外心为O ，BC =18，∠BAC =60°，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是．
13如图，
正方形ABCD 的边长为4，点E 为边AD 上一个动点，点F 在边CD 上，且线段EF =4，点G 为线段EF 的中点，连接BG 、CG ，则BG +12
CG 的最小值为．
14如图，在锐角△ABC 中，AB =2，AC =6，∠ABC =60°．D 是平面内一动点，且∠ADB =30°，则CD 的最小值是
15如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则
△ABC的最大面积是．
16如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，AF的长为．
17如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为．
18如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC=6，CD=5，则线段AE的长为．
三、解答题
19在△ABC中，∠ACB=90°，CA=2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．
(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，若BC=2，求DE 的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：AB=CE+BE；
(3)如图3，在(2)的条件下，将△ACF沿AC翻折得到△ACF ，M为直线AD上一个动点．连接BM，将△BDM沿BM翻折得到△BMD ．当D F 最小时，直接写出F D
的值．
FF
20已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O 处．
(1)如图①，当∠OAM=30°时，求点O 的坐标；
(2)如图②，连接CO ，当CO ∥AM时．
①求点M的坐标；
②连接OB，求△AO M与△AOB重叠部分的面积；
(3)当点M在线段OC(不包括端点)上运动时，请直接写出线段O C的取值范围．
21如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，E为BC的中点，F为CE的中点，连接AF，DF，AD．
(1)若AB=4，求AD的长度；
(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF，AF⊥DF；
(3)如图③，在△BDE绕点B旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60°到△AC F ，连接BF ，若AB=4，请直接写出BF 的最大值．
22如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
23如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．
(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若BC=32，AF=65
5，tan∠BAF=2，求线段BF 的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：2AF=2BE+EF；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若AB=62，请直接写出线段AP的最大值．
24在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像过点C0,-4
，与x轴交于点
和点D2,-6
A、B(点A在点B的左边)，且点D与点G关于坐标原点对称．
(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N 恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足BE=OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为t,0
，0<t<4，△BEF 的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
25如图，抛物线y=ax2-2ax-3a(a为常数，a<0)与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK=2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
26如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
27如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE=90°
(1)证明：△ABF∽△FCE；
(2)当DE取何值时，∠AED最大．
28已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求CF
BG的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
29问题背景如图(1)，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C 两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小(取最小旋转角度)．
尝试应用如图(2)，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA=
∠AEC=60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图(3)在问题背景的条件下，若AB=2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
30如图，在等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，AE=CF，BE与AF交于点P，连接CP.
(1)设AB=a，直接写出等边ΔABC外接圆的半径长为，内切圆的半径长为．
(2)求∠APB的度数．
(3)若AB=6，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．
四、典例
1如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．。