最新初中数学图形的相似全集汇编附答案

最新初中数学图形的相似全集汇编附答案
一、选择题
1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5B．4
5
3
C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=1
2
OA=2．
由勾股定理得：5
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴BF OF CM AM
DE OE DE AE
==
，
x2x
22
55
-
，，解得：
()52x 5BF ?
x CM 2
-==，． ∴BF+CM=5．
故选A ．
2．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )
A ．2∶3
B ．4∶9
C ．2∶3
D ．3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39
ABC DEF S S ==V V ． 【详解】
因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
所以S △ABC ：S △DEF =（
23）2=49
，故选B ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=3：1，
∴DE ：DC=3：4，
∴DE ：AB=3：4，
∴S △DFE ：S △BFA =9：16．
故选B ．
4．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x
=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a
-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=
22为定值，即可解决问题． 【详解】
解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，
则△BEO ∽△OFA ，
∴BE OE OF AF
=， 设点B 为（a ，1a -
），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即22
2a b =， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+2222
4OF AF b b +=+
∴tan∠OAB=
2 2
22
22
22
12
2
44
b
a
OB a b
OA
b b
b b
++
==
++
=
2
2
2
2
14
()
2
4
b
b
b
b
+
+
=
2
2
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
5．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=
在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+
又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），
∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB
=
即
2
2
2342
,
23
42
y x x
x x
--+
=
-+
故可得：2
3343
.
y x x
=-++即呈二次函数关系，且开口朝下．
故选C．
【点睛】
考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
7．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，BE EC
=，将DCE
∆沿DE对折至DFE
∆，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：
①DAG DFG
∆≅∆；②2
BG AG
=；③EBF DEG
∆∆
:；④
2
3
BFC BEF
S S
∆∆
=．其中所有正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定
Rt△ADG≌Rt△FDG，可判断①的正误；设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝
a−x，根据勾股定理得到x＝
1
3
a，得到BG＝2AG，故②正确；根据已知条件得到△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，于是得到△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，根据三角形的面积公式得到S△BFC＝2S△BEF．故④错误．
【详解】
解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
AD DF
DG DG
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，∵BE＝EC，
∴EF＝CE＝BE＝1 2 a
∴GE=1
2
a+x
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：(1
2
a+x)2=(
1
2
a)2+(a-x)2解得：x＝
1
3
∴BG＝2AG，
故②正确；
∵BE＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，
故③错误；
连接CF，
∵BE＝CE，
∴BE＝1
2 BC，
∴S△BFC＝2S△BEF．
故④错误，
综上可知正确的结论的是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）
A ．AD DE D
B B
C = B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE =
D ．EF BF AB BC = 【答案】C
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.
【详解】
解：如图所示：
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴
DE AD AD BC AB DB
=≠， ∴答案A 错舍去；
∵EF ∥AB ，
∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C
=≠ ∴答案B 舍去
∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，
∴∠ADE ＝∠CFE ，
又∵∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ～△EFC ，
∴
AE DE EC FC
=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，
∴△CEF ∽△CAB ，
∴EF CE FC BF AB AC BC BC
==≠，
∴答案D错舍去；
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）
A．2
3
5
B．
2
3
3
C．
3
3
4
D．
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF ∽△BAF ， ∴DF DE BF AB ＝， 在Rt △ABD 中，∠ABD=30°，BD=23，
∴AB=3， ∴
23DF BF ＝， ∴25
DF BD ＝， ∴DF=
224323555BD =⨯=， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．
10．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )
A 3
B 3
C 33
D ．23【答案】A
【解析】
【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．
【详解】
Q 等边ABC V 的边长为4，
2ABC 3S 4434
∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，
DE ∴是ABC V
的中位线， DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=，
即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12
， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4，
即ADE ABC 11S S 43344=
=⨯=V V ， 故选A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
11．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）
A ．∠AED ＝∠B
B ．∠BDE +∠
C ＝180° C ．A
D •BC ＝AC •DE
D ．AD •AB ＝A
E •AC
【答案】C
【解析】
【分析】 A 、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B ：根据题意可得到∠ADE=∠
C ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；
B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠
C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；
C 、由AD•BC=AC•
D
E ，得
不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似.
D 、由AD•AB=AE•AC 得
，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．
12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）
A 171365
B 61365
C 71525
D ．617
【答案】A
【解析】
【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明
AEH EMG V :V ，则有13
EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求
,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF
∠=
即可求解． 【详解】
过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则
90AHG MGE ∠=∠=︒，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，
∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．
由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，
90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，
AEH EMG ∴∠=∠，
AEH EMG ∴V :V ，
13
EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+
在Rt AEH V 中，
222AH EH AE +=Q ，
222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45
x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65
CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=
． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，
17cos 1365
FN EFC EF ∴∠==．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( ) A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13 B ．横向缩小为原来的14
，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍
D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的
112 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13；△DEF 的面积为△ABC 面积的
169
， 故选A.
14．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C 相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）
A ．3．5
B ．4
C ．5
D ．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56
MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．
【详解】
连接EB 、EC ，如图，
∵点E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，
∴∠1=∠2，
∵MN ∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME ，
同理可得NC=NE ，
∵MN ∥BC ，
∴△AMN∽△ABC，
∴MN AM BC AB
=
，即
7
67
MN BM
-
=，则BM=7-
7
6
MN①，
同理可得CN=5-
5
6
MN②，
①+②得MN=12-2MN，
∴MN=4．
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
16．如图，点A，B是双曲线
18
y
x
=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线
k
y
x
=在第二象限的分支上一点，当ABC
V满足AC BC
=且:13:24
AC AB=时，k的值为（）．
A．
25
16
-B．
25
8
-C．
25
4
-D．25
-
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=＝
25
144
，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝
25
16
，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A 、B 关于原点对称，
∴OA ＝OB ，
∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，
∴OC ⊥AB ，
∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，
∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，
∴∠COF ＝∠OAE ，
∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA
∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，
∴CA ：OA ＝13：12，
∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144
， ∵S △AOE ＝9，
∴S △COF ＝
2516， ∴||25216
k =， ∵k ＜0， ∴258
k =- 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
17．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=，
∴
4
3
y x =；
当P在OD上时，有
6
43 DP EF y x DO AC
-
==
即，
∴y=
4
8 3
x
-+．
故选C．
19．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点
N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3
；
③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是
CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到
1
=
4
KP PI
KB BE
=，得到
BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出
∠3
②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD2，故④正
确．【详解】
解：作PI ∥CE 交DE 于I ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，
在△ADP 和△ECP 中，
DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ， 则
PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形， 设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，
则
根据三角形面积公式，
BM=
7， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13
BM=21， MG=23MP=27，
tan∠OMN=
3
=
3
OG
MG
，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PM•PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=3PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
20．如图，点A在双曲线y═k
x
（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点
O和点A为圆心，大于1
2
OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴
于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）
A．2 B．32
25
C
43
D
252
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出
AB、OB即可解决问题；
详解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，22=5
OF OC
+
∴
25
5
，
∴OA=45
5
，
由△FOC∽△OBA，可得OF OC CF
OB AB OA
==，
∴
215
45 OB AB
==
，
∴OB=8
5
，AB=
4
5
，
∴A（8
5
，
4
5
），
∴k=32 25
．
故选B．
点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。