第5讲---整体思想与换元法

2014春季9年级数学第5讲 整体思想与换元法
一、专题简介：
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等．
二、典例剖析
例1．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，
求多项式222
a b c ab bc ac ++---的值．
类题演练： 1．已知
114a b -=，则2227a ab b a b ab
---+的值等于 〔 〕 A.6 B.6- C.125 D.27
- 2．已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为
例2．例4． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩
，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11
x y a x y x y b x y +--=⎧⎨
++-=⎩的解为为
类题演练：
1．若⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=+19296781567896y x y x 的解，则b a += 2．解方程组⎩⎨
⎧=+=+6008
20022003600720032002y x y x 例3．解方程：24)4)(3)(2)(1(=++++x x x x
类题演练：
1.解方程组：〔1〕⎩⎨⎧=-++=--+15)(3)(43)(3)(2y x y x y x y x 〔2〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++1106
3106y x y x y x y x 2.解方程：()()()()111225-=-+--x x x x
例4．在四边形ABCD 内放入2013个点，将这2013个点与四边形的4个顶点连结，可以将四边形ABCD 分割成多少个互不重叠的小三角形。

类题演练：
1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与PB 切⊙O 于A 、B 点，PB=4cm ，EF 切⊙O 于C 点，交PA 、PB 于E 、F 点，则△EFP 的周长等于；
D
A
B C E
F
2．如图，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，讲△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 初，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，求FC 的长。

三、同步反馈
A 组 基础夯实
1．已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是〔 〕
A .﹣1
B .1
C .﹣5
D .5
2．已知24122
x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值X 围是 ．
3．已知实数b a ,满足2,1=+=b a ab ，则代数式22ab b a +的值为．
4．如图，在高2米，坡角为30o 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米．
5．已知：
5211=+y x ，求代数式y xy x y xy x 575323++++的值．
6．已知2295+=
x ，求代数式11122-+x x 的值．
B 组 能力提升
7．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a
---的值为〔 〕 15-+ 15-± C.﹣1 D.1 8．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx
++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，求代数式的值. 9．三个同学对问题“若二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,4,3y x 求方程组⎩⎨⎧=+=+2
22111523,523c y b x a c y b x a 的解．〞提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解〞；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试〞；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决〞．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．
10．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．
11．如图，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，求证：∠E=2
1〔∠A+∠C 〕 A B
C D E
12．若3234,732=-+=+-c b a c b a ，则代数式c b a 13125-+的值等于
C 组 创新提高
13．若8)1)(1(2222=-+++b a b a ，则=+22b a
14．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
15．已知：0152=++x x ，求441x x +
的值 16．已知51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，则=++ca
bc ab abc 17．已知219941+=
x ，求代数式()
20133199419974--x x 的值。

参考答案： 例1类题演练：1、A 2、 7
例2类题演练：1、2 2、 ⎩
⎨⎧==12y x 例3类题演练：1、(1)⎩⎨⎧==12y x ,(2)⎩⎨⎧-==713y x 2、2
533,2534,32,1±=±=x x 例4类题演练：1、8 2、7 同步反馈：
1、A
2、56
0<<k
3、2
4、322+
5、4516
6、12
7、D
8、1
9、⎩⎨⎧==105
y x
10、AF=BC+CF ，理由略
11、略
12、-15
13、3
14、1.05元
15、527
16、61
17、-1。