高考数学压轴专题专题备战高考《矩阵与变换》易错题汇编附解析

数学《矩阵与变换》复习知识点
一、15
1．用行列式解关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a
+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】
由题意，关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，
所以22111
1,(1),
12x a a D a D a a a a a a
a
+=
=-=
=-=-
2121(21)(1)1
2y a a D a a a a a
+=
=--=+-，
（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1
211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；
（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解；
（3）当1a =时，0x y
D D D ===，方程组有无穷多解，,()2x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
. 【点睛】
本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.
2．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.
【答案】02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案. 【详解】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；
同理得到矩阵： 02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.
3．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260
x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα
απααα
-=⎧≤≤⎨
+=⎩.
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】
由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，
()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-.
0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.
①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22
π
α≠且322π
α≠
时，即当4πα≠且34
πα≠时，
11sin cos x y D x D
D y D αα⎧
==⎪⎪⎨
⎪==-⎪+⎩
； ②当4πα=
时，方程组为22
x =
⎪
=⎪⎩
，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；
③当34πα=
时，方程组为2
2
2
2
x x =-⎪
⎪⎨
⎪-=
⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
5．不等式2
1101
x x
b
a x
a
->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】1
2
a =-，1
b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x
b a x a -=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
6．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441
m D m m
=
=-，()242x m D m m m
m
+=
=-，
()()222211
y m m D m m m m m
+=
=--=-+.
①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，
原方程组有唯一解()()()22242
21142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩
；
②当240D m =-=时，2m =±.
（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；
（ii ）当2m =时，0x y
D D D ===，原方程为24422
x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
7．已知线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．
()2由1703450105210521021
21258102540202001
012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-----
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知,,x y z 是关于的方程组0
00ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
的解.
（1）求证：()111a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b
c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b
c c
a b b
c
a
=0，即1
11
a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c
a b a b c c
a b c a a b c b c a b c
a b c
++=++=++（a +b +c ）•111a b c
a b c ． （2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b
c
c
a b b
c a =0，由（1）可知（a +b +c ）•1
11
a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，
∴1
11
a b c
a b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，
∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形．
（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0， ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c a =（a +b +c ）•1
11
a b c a b c =0． ∴a +b +c ＝0或111
a b c
a b c =0．
由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
9．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4
424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解.
【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】
计算对应行列式为()11
1
110121
a
D b
b a b ==-≠，计算得到答案.
【详解】
4
424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】
本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.
10．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】
【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式
2
01x a x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得1
2
tan α=-.
【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr ． 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤
==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨
-≥-⎩或270
721x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩
, 解得6x ≥或8
3
x ≤
,
故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21
()1
x g x a
x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
13．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. 求AB;
若曲线C 1;22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.
【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）22
8x y += 【解析】
试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．
试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以22
00188x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=.
因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：
2
2
8x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．
14．
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.
【答案】_1
112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 试题分析：
应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩
，据此求解逆矩阵可得：_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 试题解析：
设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵110
2
A -=
对应的变化下得到
122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上，
所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得0
1b a =⎧⎨=-⎩，故
1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
, 求得逆矩阵_1
112102A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
15．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5
A α．
【答案】5
307275A α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据()0f λ=，得2λ=或3λ=，得到特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，故
()55551212A A A A ααααα=+=+，计算得到答案.
【详解】 因为21
2
()561
4
f λλλλλ--=
=-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．
当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
当3λ=时，对应的一个特征向量为211
α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
．
设321211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以()5555
1212A A A A ααααα=+=+ 5521307121311275⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值
的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
17．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向
量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得12
14
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪
⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
；
当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
.
【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
18．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】
【解析】 【分析】 【详解】 设
则
即
此直线即为
则.
.
19．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵1
11202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】
（1）依题意，利用矩阵变换求得11
112124()2
21010222B B --⎡⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．
（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】
（1）解：1
11202B -⎡
⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
Q ，11112124
()221010
222B B --⎡
⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，
1202AB ⎡⎤
∴=⎢⎥
-⎣⎦
151********⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦
． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，
可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则1
1122112
2P -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥-⎢⎥⎣⎦
，1
3001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
， 10
11
1590490590491295252952422015904911
129524295252
2M P P -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵
的乘方的计算的知识.
20．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
π
αα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.
（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.
【答案】（1）42,233k k ππππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
x k π
π=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】
解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
Q
()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令223
k x k π
πππ-≤+
≤，k Z ∈，求得42233
k x k ππ
ππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移到'F
'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，
解得23
x k π
π=±
，k Z ∈.
所以()'f x 的零点为23
x k π
π=±，k Z ∈.
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．。