高三数学8月联考试题理替试题

高三8月联考数学理试题
考前须知：
1．本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．满分是150分，时间是120分钟．
2．在答题之前，请所有考生必须将答题卷左侧密封线内的工程填写上清楚．请考生按规定用笔将所有试题之答案涂、写在答题卷上，在试题卷上答题无效.
第一卷〔选择题 一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}
lg 1B x y x ==-，那么A B =〔 〕
A.〔1，2〕
B.[1，2]
C.[ 1，2〕
D.〔1，2 ]
2. i 是虚数单位，a R ∈，那么“1a =〞是“2
()2a i i +=〞的〔 〕 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，那么实数=a 〔 〕 A. 2
B.
2
6
C.
2
5
D. 1
4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
第4题图
5. 直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，假设12l l ⊥,那么a 的值是 A ．0
B ．2-
C ．2-或者0
D ．0或者2
6. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式2
30x ax a +-<总成立．那么实数a 的取值范围是( )
A ．0a >
B ．12
a >
C ．14
a >
D ．012a a ><-或
7. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，那么 〔 〕 A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ． c b a >>
8. 直线:0l Ax By C ++=〔2
2
0A B +≠不全为0〕，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设
1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，那么直线
l ( )
A ．与直线12P P 不相交
B ．与线段21P P 的延长线相交
C ．与线段12P P 的延长线相交
D ．与线段12P P 相交
9. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么该几何体的体积是〔 〕
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm
D ．84cm 3
10. 在面积为6的Rt△ABC 中，90C ︒
∠=,AB 在AC 上的投影为3，
P 为线段AB 上的动点，且满足 ,||
||
CA CB CP x y CA CB =⋅
+⋅
那么xy 的最大值为〔 〕 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷〔非选择题 一共100分〕
第9题图
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11. 假设将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，那么ϕ的最小正值是
的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨
⎧≤<≤≤-=2
1,sin 1
0),1(x x x x x x f π，
那么_______641429=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛f f 13.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，假设51020,,a a a 三项成等比数列，那么此等比数列的公
比为 .
14. 变量x ，y 满足约束条件230
33010x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，假设目的函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点
(3,0)
处获得最大值，那么a 的取值范围为_____．
15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱1DD ，AB 上的点．以下说法正确的选项是__________.〔填上所有正确命题的序号〕 ①1A C ⊥平面1B EF ；
②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；
③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，那么2
3
AP =
． 三、解答题：本大题一一共6小题，计75分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或者
第15题图
x
y
A B
C
O
演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.
16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，
将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3
π
到OB .
〔Ⅰ〕假设点A 的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，求点B 的横坐标；
〔Ⅱ〕求BC 的取值范围.
17.〔本小题12分〕某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制〞折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组
[95,100]，如图为频率分布直方图的一局部，
其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列. 〔Ⅰ〕请在图中补全频率分布直方图；
〔Ⅱ〕假设B 大学决定在成绩高的第4，5组中用 分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进展面试，求95分〔包括95分〕以上的同学被分在同一个小组的概率.
18.〔本小题12分〕如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点
A 、
B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2. 〔Ⅰ〕求证：EA E
C ⊥
〔Ⅱ〕设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积.
19.〔本小题12分〕数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， 〔Ⅰ〕求证：数列{}1n n a a +-为等比数列； 〔Ⅱ〕求使不等式12
3
n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．
20. 〔本小题13分〕如图，圆2
2
:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点〔除去圆O 与坐标轴的交点〕.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x 轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率分别为m 、n ， 〔Ⅰ〕试求点M 、N 坐标〔可用m 、n 表示〕 〔Ⅱ〕求证：2m n -为定值.
21. 〔本小题14分〕设关于x 的方程2
10x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数
22()1
x m
f x x -=
+. 〔Ⅰ〕求证：不管m 取何值，总有()1f αα=； 〔Ⅱ〕判断()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； 〔Ⅲ〕假设,λμ均为正实数，证明：|(
)()|||f f λαμβμαλβ
αβλμλμ
++-<-++.
江淮十校教育研究会2021年高二联考
数学〔理科〕答案
第一卷〔选择题 一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.
1. D
2.A
3. D
4. B
5. C
6. B
7. A
8. B
9. B 10. C.
第II 卷〔非选择题 一共100分〕
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分
11.
4π 12. 516 13. 2 14. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
15. ②③④⑤
三、解答题:本大题一一共6小题，计75分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或者
演算步骤
16. 〔I 〕由三角函数定义知， 34
cos ,sin .55
αα== ………………………〔2分〕
,3
COB π
α∠=+
cos()cos cos sin sin 333πππααα∴+=-=
………〔5分〕
所以点B 的横坐标
310
-. ………………………〔6分〕 〔II 〕2
22cos()3
BC
π
α=-+
，
………………………〔9分)
02
π
α<<
，
53
3
6
π
π
π
α∴
<+
<
，
1cos()()3
2
π
α∴+
∈，
2
(1,2BC ∴∈+，
621,2BC ⎛⎫
+∴∈ ⎪⎝⎭
. …………………〔12
分〕
17.〔本小题12分〕
〔Ⅰ〕由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人.
那么绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6分 〔Ⅱ〕第四组中抽取人数：
6
60490
⨯=人，第五组中抽取人数：6
30290
⨯=1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；
134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，一共有4种可能结果，情况二：
12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；
114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，一共有6种可能结果，两种情况总一共10种可能结果，所以
两人被分在一组的概率为
42
105
=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为14336322
2
5C P C C A ==.〔此法亦可相应给分〕
18.〔本小题12分〕 (Ⅰ)证明：矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD
且CB ⊥AB
∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①
又
在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠= 即AE ⊥BE ②
由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ) AB//CD, ∴ AB//面DCE.
又
面DCE
面ABE=EF,∴AB//EF
在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=，………………….…9分
∴13sin12024
S EF AF =
⨯⨯
⨯=，
11133412
E ADF
D AEF AEF AD V
V S --∆==⨯⨯=⨯=
. …………………12分 19.〔本小题12分〕
解：〔Ⅰ〕由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥， 那么1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以1
2
为公比的等比数列 .... ……… .........4分 〔
Ⅱ
〕
由
〔
Ⅰ
〕
知
：
2
11
()2
n n n a a ---=，累加可得
21
4()2
n n a -=-.........................8分
那么123
n n a m a m +-<-即为：2
114()2213
4()2
n n m m ----<--，
显
然
4
m ≥时无解，那么易求得
123
,,11 2.
m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分
注：假设由
12
3
n n a m a m +-<-得到()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即
3
142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭
，从而得出结果*
43
12,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩
，或可酌情给分.
20. 〔本小题13分〕
解：〔I 〕 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 2
2
:1O x y += 联
立
得
222
12(,)11m m
M m m
-++………………………………………………………………….3分 由
222
12(0,1),(,),(,0)
11m m
C M N x m m -++三点一共线，得出
1(,0)1m N m
+-……………......…6分 〔Ⅱ〕.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠± 联
立
得
12(,)11m m P m m
-++…………………………………………………………………...8分 故有2220
2(1)1
111(1)(1)211PN m
m m m m n k m m m m m m
---+====
-+--+-
+-………………………….11分
即：21m n -=………………………………………………………………………….13分 21. 〔本小题14分〕
解: (Ⅰ)∵,αβ是方程2
10x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，
∴2222()1
()1()m f αααβαβααααβααβα
--+-=
===+-- ，
∴()1f αα=……………………………………………………… 〔4分〕
〔Ⅱ〕∵22222
2(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．〔此处用定义证明亦可〕…
〔8分〕
〔Ⅲ〕∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ
+<<+ ∴由〔Ⅱ〕可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ
+<<+， ∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ
++-<-++， ……………………………〔12分〕 由〔Ⅰ〕可知，1
()f αα
=，1()f ββ=，1αβ=-， ∴1
1|()()|||||||f f βααβαβαβαβ
--=-==-， ∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ
++-<-++．……………………………………〔14分〕 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中
励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。