2019学年高二数学6月月考试题 理新 版新人教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
2019学年度6月份考试（学科竞赛）
高二学年数学理科试题
一．选择题：（共12道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1、设集合{}
32M x x =-<<,{}
13N x x =≤≤,则M
N = ( )
A.[)1,2
B. []1,2
C. (]2,3
D. []2,3
2.复数 1z i =-， 则
1
z z
+= （ ） A ．3122i - B. 1322i - C. 3322i - D. 1322
i +
3．已知函数()2
ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为（ ）
A ．30x y -+=
B ．30x y +-=
C ．30x y --=
D ．30x y ++=
4.在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程2
2
0x ax b ++=的两根均为实数的概率为( )
A ．
18 B ．14 C ．12 D ．34
5.如右图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16
6. 二项式5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含3
x 项的系数是（ ）
A ．80
B ．48
C ．40-
D ．80-
7.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A ．甲、乙
B ．乙、丙
C ．甲、丁
D ．丙、丁
8. 在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是（ ） A. B. C. D.
9. 某程序框图如图所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26， 则判断框内的n ＝( )
A ．6
B ．3
C ．4
D ．5 10. 命题7:12p a -
<< 命题 ()1
:2x q f x a x
=-+ 在()1,2上有零点 ，则p 是q 的（ ） A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足m α⊂，n 与α所成角为60︒；
③存在平面,αβ，满足,m n αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒. 其中正确命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1 C. 2 D ．3 12. 已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()1
12e
f =
（其中e 为自然对数的底数），对任意实数x ，都有()()0f x f x '->，则不等式()2
2e x f x -<的解集为（ ）
A ．()1,+∞
B ．
(),e -∞ C ．()1,e
D ．()e,+∞
二.填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为
14. 在直角坐标平面内，由曲线1xy =，y x =，3x =和x 轴所围成的封闭图形的面积为
15. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.则圆C 的普通方程为
16. 直线()0x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于A 、B 两点，则|AB|最小值为
三.解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17.（10分）为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，
结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？
为什么？
18.（12分）生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.
（Ⅰ）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
5,25间的生蚝的（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)
个数为X，求X的分布列及数学期望.
19．(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝－20，a＝y－b x；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，
为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 20. （12分）如图，在PBE ∆中，PE AB ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5=
AC ，22
1
==
=AE AP AB ，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角E AB P --是直二面角.
（1）求证：//CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值.
21.（12分） 在直角坐标系中，曲线1C ：2
2
1x y +=经过伸缩变换'2'x x
y y
=⎧⎨
=⎩后得到曲线2C .
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为
2sin ρθ=-.
（Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；
（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值.
22. （ 12分）已知函数()()2
1
ln 2
f x a x x a a =-+
∈R ， （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在定义域内恒有()0f x ≤，求实数a 的取值范围．
参考答案．
一. 选择题：
1-5 ：AACBD 6-10: DDBCA ： 11-12:DA 二. 填空题：
13. 2 14. 1
ln 32
+ 15. ()2
239x y +-= 16.4
三.17. (1)由已知可列2×2列联表：
(2)k ＝
－
2
220×320×80×460
≈9．638．∵9．638＞6．635，
因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关． 18.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为
1
(6101020123040
⨯+⨯+⨯840450)28.5g +⨯+⨯=， ∴购进500kg ，生蚝的数量约有50000028.517544÷≈（只）. （Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在[)5,25间的概率25
P =
， X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()4
38105625P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭， ()3
1423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2
2
2423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()3
34
2396355625P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4
21645625
P X ⎛
⎫
=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为 ∴()3346256256255E X =⨯+⨯+⨯=或()455
E X =⨯=.
19．(1)x ＝16(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，y ＝1
6(90＋84＋83＋80＋75＋68)
＝80，
从而a ^＝y ＋20x ＝80＋20×8．5＝250, 故y ^
＝－20x ＋250． (2)由题意知， 工厂获得利润
z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －334
2＋361．25，所以当x ＝334
＝8．25时，z max
＝361．25(元)．
即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润． 20解：解：(Ⅰ)因为
22
1
=AE ，所以4=AE 又2=AB ，PE AB ⊥， 所以52422222=+=+=AE AB BE
又因为BE AC 2
1
5=
=
所以AC 是ABE Rt ∆的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中线， 所以C 是BE 的中点，
又因为CD 是ABE ∆的中位线， 所以AB CD //
又因为⊄CD 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB .
（Ⅱ）据题设分析知，AP AE AB ,,两两互相垂直，以A 为原点，AP AE AB ,,分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为22
1
==
=AE AP AB ，且D C ,分别是AE BE ,的中点， 所以2,4==AD AE ，
所以有点)0,2,0(),2,0,0(),0,2,1(),0,4,0(D P C E ，
所以)0,0,1(),2,2,1(),2,4,0(-=-=-=CD PC PE ， 设平面PCD 的一个法向量为)',','(z y x n =，则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n CD n 即⎩
⎨⎧=-+=-0'2'2'0
'z y x x ，所以⎩⎨
⎧==''0'y z x 令1'=y ，则)1,1,0(=n
设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10
10
|
||||
sin =
⋅=n PE n PE θ. 又]2
,
0[π
θ∈，所以10
10
3sin 1cos 2=
-=θθ， 所以3
1
cos sin tan ==
θθθ. 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为
3
1 21.解：（Ⅰ）曲线1C ：2
2
1x y +=经过伸缩变换'2'x x y y
=⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2
214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数）；
曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即2
2sin ρρθ=-，
∴曲线3C 的直角坐标方程为2
2
2x y y +=-，即()2
2
11x y ++=，
∴其参数方程为cos 1sin x y β
β=⎧⎨=-+⎩
（β为参数）.
（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离
d
==
=
∵[]sin 1,1α∈-，∴当1
sin 3
α=
时，max d =.
∴max max PQ d r =
+1=
+=.
22. （1）()2
22a a x f x x x x
-'=-=，
当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞上递减；
当0a >时，令()0f x '=，得x =
；
当()0f x '>得，0x <<
()0f x '<，得x >
∴⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上递减．·······5分 （2）当0a =时，()2
0f x x =-<，符合题意；
当0a >时，()max ln 022a a f x f a a ==+=≤，
0a >，0∴≤，∴01<≤，02a ∴<≤， 当0a <时，()2
1
ln 2
f x a x x a =-+在()0,+∞上递减， 且ln y a x =与2
1
2
y x a =-
的图象在()0,+∞上只有一个交点，设此交点为()00,x y ， 则当()0 0,x x ∈时，()0f x >，故当0a <时，不满足()0f x ≤， 综上，a 的取值范围[]
0,2．······12分。