《试卷3份集锦》福州市2019-2020年九年级上学期期末检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（ ）
A ．最小值―3
B ．最小值3
C ．最大值―3
D ．最大值3
【答案】A
【解析】把点（-1，-3）代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n=-4+m ，再代入mn+1进行配方即可.
【详解】∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（-1，-3），
∴-3=1-m+n ，
∴n=-4+m ，
代入mn+1，得mn+1=m 2-4m+1=(m-2)2-3.
∴代数式mn+1有最小值-3.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．
2．已知x ＝5是分式方程1a x -＝52x 的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2
B ．﹣4
C ．2
D ．4 【答案】C
【分析】现将x=5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可．
【详解】∵x ＝5是分式方程1a x -＝52x
的解， ∴
51a -＝525
⨯， ∴4a ＝12， 解得a ＝1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
【答案】C
【详解】解：连接AD,
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C ．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
4．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A ．正比例函数
B ．一次函数
C ．反比例函数
D ．二次函数 【答案】B
【解析】根据一次函数的定义，可得答案．
【详解】设等腰三角形的底角为y ，顶角为x ，由题意，得
x+2y=180，
所以，y=﹣
12
x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系， 故选B ．
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
5．若关于x 的一元二次方程220x x m --= 有实数根，则m 的值不可能是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2018 【答案】A
【分析】由题意直接根据一元二次方程根的判别式，进行分析计算即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△=24b ac -=4+4m ≥0，
∴m ≥-1, m 的值不可能是-2.
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式进行分析求解．
6．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A 、不是正方体展开图，符合题意；
B 、是正方体展开图，不符合题意；
C 、是正方体展开图，不符合题意；
D 、是正方体展开图，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
7．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c ＝0；
②b ＞2a ；
③ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；
④c ＝﹣3a ，
其中正确的命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①③④
【答案】D 【分析】①观察图象可得，当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0；
②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a
＝﹣1，b ＝2a ； ③抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，即可得ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1； ④当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，对称轴x ＝﹣1，即﹣
2b a ＝﹣1，b ＝2a ，即可得c ＝﹣3a ． 【详解】解：观察图象可知：
①当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，
∴①正确；
②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a ＝﹣1，b ＝2a ， ∴②错误；
③∵抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，
对称轴x ＝﹣1，即﹣
2b a
＝﹣1，b ＝2a ， ∴c ＝﹣3a ，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D ．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 8．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A ．60°
B ．75°
C ．87°
D ．120°
【答案】C 【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
9．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.
故应选A.
10．下列说法正确的是（）
A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过三个点一定可以作圆
C．圆的切线垂直于圆的半径D．每个三角形都有一个内切圆
【答案】D
【分析】
根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断．
【详解】
A．垂直于半径且经过切点的直线是圆的切线，注意要强调“经过切点”，故本选项错误；
B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误；
C．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误；
D．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调．
11．已知反比例函数y＝ab
x
的图象如图所示，则二次函数y =ax 2－2x和一次函数y＝bx+a 在同一平面
直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=ab x
的图象在第一、三象限， ∴ab ＞0，即a 、b 同号， 当a ＜0时，抛物线y=ax 2-2x 的对称轴x=
1a ＜0，对称轴在y 轴左边，故D 错误； 当a ＞0时，b ＞0，直线y=bx+a 经过第一、二、三象限，故B 错误；
C 正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
12．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）
A ．3
B ．±3
C ．9
D ．±9 【答案】B
【解析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案．
【详解】解：29x =，
两边直接开平方得：3x =±，
则13x =，23x =-．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．计算：cos 245°-tan30°sin60°=______．
【答案】0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【详解】2cos 45tan30sin60︒-︒︒=2110222
-=-= . 故答案为0.
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．随机摸出一只球记下颜色后放回，不断重复上述实验，统计数据如下：
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m
65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率n m
0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 共有白球___________只．
【答案】30
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为60%，然后根据概率公式计算n 的值．
【详解】白球的个数=5060%30⨯=只
故答案为：30
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率
15．如图，过O 上一点C 作O 的切线，与O 直径AB 的延长线交于点D ，若38D ∠=︒，则E ∠的度数为__________．
【答案】26°
【分析】连接OC ，利用切线的性质可求得∠COD 的度数，然后利用圆周角定理可得出答案．
【详解】解：连接OC ，
∵CD 与⊙O 相切于点D ，与直径AB 的延长线交于点D ，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=38°，
∴∠COD=52°，
∴∠E=12
∠COD =26°， 故答案为：26°．
【点睛】
此题考查切线的性质以及圆周角定理，关键是通过连接半径构造直角三角形求出∠COD的度数．16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且BC=3BE，AF平分∠DAE，交DC于点F，若AB=3，则点F到AE的距离为___________．
【答案】101
-
【分析】延长AE交DC延长线于M，关键相似求出CM的长，求出AM长，根据角平分线性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】延长AE交DC延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，BC=3BE，BC=3，
∴AD=DC=BC=AB=3，∠D=90°，BE=1，CE=2，AB∥DC，
∴△ABE∽△MCE，
∴
2
1 CM CE
AB BE
==，
∴CM=2AB=6，
即DM=3+6=9，
由勾股定理得：22310
AM AD DM
=+=
∵AF平分∠DAE，
∴AD DF AM FM =， ∴9310DF DF
=-， 解得：101DF =-，
∵AF 平分∠DAE，∠D=90°，
∴点F 到AE 的距离=101DF =-，
故答案为：101-．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
17．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．
【答案】1
【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】解：∵AD AB
＝AE AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226
+， 解得：AD ＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
18．抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．
【答案】（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5:4:1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg 、20元／kg 、27元／kg ．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
【答案】这样定价不合理,理由见解析
【分析】根据加权平均数的概念即可解题.
【详解】解：这样定价不合理．
54116202718.7101010
x =⨯+⨯+⨯=（元／kg ）． 答：该什锦糖果合理的单价为18.7元／kg ．
【点睛】
本题考查了加权平均数的实际计算,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键.
20．已知二次函数y=x 2+4x+k-1.
（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的值.
【答案】k ＜1；k=1．
【解析】试题分析：(1)、当抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k 的取值范围；(2)、顶点在x 轴上则说明顶点的纵坐标为0.
试题解析：(1)、∵抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴b 2-4ac ＞0，即16-4k+4＞0.解得k ＜1.
(2)、∵抛物线的顶点在x 轴上， ∴顶点纵坐标为0，即2
44ac b a
-=0.解得k=1. 考点：二次函数的顶点
21．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）
的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；
（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．
【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；
（3）E （2，73-） 【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到
32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；
（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.
【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入2
0y ax bx c a =++≠（）得， 03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩
解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，
∴此抛物线的表达式是：2
43y x x =-+-．
（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，
在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:(
):():3:222
ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==， 又∵DH//y 轴，
∴
2
5 CH DC DH OC AC
OA
===．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴
26
3
55
CH DH
==⨯=．
∴
64
2
55
BH BC CH
=-=-=．
∴tan∠DBC=
3
2
DH
BH
=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴
1
3
OB OA
OA OF
==．
∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得
09
3
k b
b
=+
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
1
3
3
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线AF的解析式为：
1
3
3
y x
=-，
将x=2代入直线AF的解析式得：
7
3
y=-，
∴E（2，
7
3
-）.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和
性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.
22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．（1）图中AC边上的高为个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：
①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
【答案】（1）32；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；
②利用矩形的判定方法即可画出．
【详解】解：（1）由图可知22
5552
AC=+=,设AC边上的高为x，
则由三角形面积公式可得：11
6552 22
x
⨯⨯=⨯
解得32
x=，即AC边上的高为32. （2）①如图所示：△DEC即为所求．
②如图所示：矩形ABMN即为所求．
【点睛】
本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）若AD＝1．
①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；
②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝4
5
；②CF＝1．
【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC ＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；
（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；
②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，△ACG的的底边AC 上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，
推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．
【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）①如图，设AC与GD交于点M，
∵AG AG
，
∴∠GCM＝∠ADM，
又∵∠GMC＝∠AMD，
∴△GMC∽△AMD，
∴GC
AD
＝
CM
DM
＝
2
6
＝
1
3
，
设CM＝x，则DM＝3x，
由（1）知，AC＝AD，
∴AC＝1，AM＝1﹣x，
在Rt△AMD中，
AM2+DM2＝AD2，
∴（1﹣x）2+（3x）2＝12，
解得，x1＝0（舍去），x2＝6
5
，
∴AM＝1﹣6
5
＝
24
5
，
∴sin∠ADG＝AM
AD
＝
24
5
6
＝
4
5
；
②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，
∵点G是AC上一动点，
∴当点G在AC的中点时，△ACG的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵∠GCD ＝∠F+∠FGC ，
由（1）知，∠FGC ＝∠ACD ，且∠GCD ＝∠ACD+∠GCA ，
∴∠F ＝∠GCA ，
∴∠F ＝∠GAC ，
∴FC ＝AC ＝1．
【点睛】
本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，P 、C 是圆周上的点，PA PC =，弦PC 交AB 于点D .
(1)求证：A C ∠=∠；
(2)若OD DC =，求A ∠的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
【分析】（1）连接OP ，由已知条件证明POA POC ∆≅∆，可推出A C ∠=∠；（2）设=A C x ∠=∠，因为OD=DC 推出DOC C ∠=∠，由OP=OC 推出=OPC C ∠∠，根据三角形内角和解关于x 的方程即可；
【详解】（1）证明：连接OP .
∵PA PC =，
∴PA=PC ，
在POA POC ∆∆与中，
PA PC OA OC OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴POA POC ∆≅∆（SSS ），
∴A C ∠=∠；
（2）解：设=A C x ∠=∠°，则22POB A x ∠=∠=°，
∵OD=DC ，
∴DOC C x ∠=∠=°，
∵OP=OC ，
∴=OPC C x ∠∠=°，
在POC ∆中，180OPC C POC ∠+∠+∠=°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴A ∠=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键. 25．如图,在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()2,2A ,()4,0B , ()4,4C -
.
（1）以点O 为位似中心,将ABC ∆缩小为原来的
12得到111A B C ∆,请在y 轴右侧画出111A B C ∆; （2） 111AC B ∠的正弦值为 .
【答案】（1）见解析；（210 【分析】（1）连接OA 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点即可画出△111A B C ，
（2）利用正弦函数的定义可知．由111sin sin AC B ACB ∠=∠AD AC =，即可解决问题． 【详解】解：（1）连接OA 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点1A 、1B 、1C ，顺次连接1A 、1B 、1C ，△111A B C 即为所求，如图所示，
（2）(2,2)A ，(4,4)C -，(4,0)B ，
∴22210AC CD AD =+=
90ADC ∠=︒，
10sin 210A AD ACB C ∴∠===． 111AC B ACB ∠=∠，
11110sin sin AC B ACB ∴∠=∠=． 【点睛】
本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
26．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BE 平分∠ABC ，连接CE ，已知DE ＝6，CE ＝8，AE ＝1．
（1）求AB 的长；
（2）求平行四边形ABCD 的面积；
（3）求cos ∠AEB ．
【答案】（1）1；（2）128；（325． 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB ＝AE ，进而再利用题中数据即可求解结论；
（2）易证CED 为直角三角形，则CE ⊥AD ，基础CE 为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可；
（3）易证∠BCE ＝90°，求cos ∠AEB 的值可转化为求cos ∠EBC 的值，利用勾股定理求出BE 的长即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEB ＝∠CBE ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ，
∴AB ＝AE ＝1，
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴CD ＝AB ＝1， 在CED 中，CD ＝1，DE ＝6，CE ＝8，
∴ED 2+CE 2＝CD 2，
∴∠CED ＝90°．
∴CE ⊥AD ，
∴平行四边形ABCD 的面积＝AD•CE ＝(1+6)×8＝128；
（3）∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴BC ∥AD ，BC ＝AD ，
∴∠BCE ＝∠CED ＝90°，AD ＝16，
∴Rt BCE 中，BE ＝22BC CE +＝85，
∴cos ∠AEB ＝cos ∠EBC ＝
BC BE ＝85
＝25． 【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、解直角三角形的有关知识及角平分线的性质等问题，应熟练掌握．
27．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。

（1）求证：AC＝BD
（2）若
12
sin,12
13
C BC
==，求AD的长。

【答案】（1）证明见解析；（2）1
【分析】（1）由于tanB＝cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
【详解】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝AD
BD
，cos∠DAC＝
AD
AC
，
又∵tanB＝cos∠DAC，
∴AD
BD
＝
AD
AC
，
∴AC＝BD；
（2）在Rt△ADC中，sinC＝12 13
，
故可设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD5k，∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝11k，
由已知BC＝12，
∴11k＝12，
∴k＝2
3
，
∴AD＝12k＝12×2
3
＝1．
【点睛】
此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,理解这两个概念是解答本题的关键.
2．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠BAD=70°，则∠ADC等于（）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=90°，即可求得∠ADB=20°，再由圆内接四边形的对角互补可得∠C=110°，因BC CD
=，即可得BC=DC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BDC=∠DBC=35°，由此即可得∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．
【详解】解：连接BD，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠BAD=70°，
∴∠C=110°，∠ADB=20°，
∵BC CD
=，
∴BC=DC ，
∴∠BDC=∠DBC=35°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
3．某楼盘准备以每平方米16000元的均价对外销售，由于受有关房地产的新政策影响，购房者持币观望．开发商为促进销售，对价格进行了连续两次下调，结果以每平方米14440元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率为（ ）
A ．5%
B ．8%
C ．10%
D ．11%
【答案】A
【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得出结果．
【详解】设平均每次下调的百分率为x ，
依题意，得：16000（1﹣x ）2＝14440，
解得：x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95（不合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为5%.
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出关于x 的方程，是解题的关键.
4．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）
A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1
B ．图像的对称轴在y 轴的右侧
C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为-3
【答案】D
【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 详解：∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，
当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，
当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，
故选D ．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
5．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 【答案】A
【分析】根据方差的意义即可得．
【详解】方差越小，表示成绩波动性越小、越稳定
观察表格可知，甲的方差最小，则派甲去参赛更合适
故选：A ．
【点睛】
本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键．
6．小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．线段
D ．梯形 【答案】D
【分析】根据平行投影的特点可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，据此逐一判断即可得答案.
【详解】A.将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意，
B.将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故该选项不符合题意，
C.将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，
D.∵由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，
∴得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意，
故选：D.
【点睛】
本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．灵活运用平行投影的性质是解题的关键．
7．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．77
π3
38
-B．
47
π3
38
+C．πD．
4
π3
3
+
【答案】C
【分析】连接BH，BH1，先证明△OBH≌△O1BH1，再根据勾股定理算出BH，再利用扇形面积公式求解即可.
【详解】
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得437
+=
所以利用扇形面积公式可得
()()
22
12012074
360360
BH BC
ππ
π
-⨯-
==．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、扇形面积的计算，利用全等对面积进行等量转换方便计算是关键.
8．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（）
A．22B．23C．4 D．6
【答案】C
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D＝∠P＝30°，∠ABD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠P＝30°，
∴∠D＝∠P＝30°．
∵AD是⊙O的直径，AD＝8，
∴∠ABD＝90°，
∴AB＝1
2
AD＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由于三角板的直角边不经过圆心，所以连接出直径的辅助线是解题的关键.
9．如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且
1
2
AE
EB
，若△AEF的面积为2，则四边
形EBCF的面积为（）
A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】C
【解析】解：∵12AE EB =， ∴13
AE AB =， ∵EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ，
∴2211()()39
S AEF AE S ABC AB ===， ∵△AEF 的面积为2，
∴S △ABC =18，
则S 四边形EBCF =S △ABC -S △AEF =18-2=1．
故选C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，难度不大．
10．如图，四边形ABCD 内接于⊙0，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【答案】C 【分析】由题意根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠AOC ，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理列式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC ，
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
由圆周角定理得，∠ADC=
12
∠AOC ， ∴∠ADC=60°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．二次函数y = x 2+2的对称轴为（ ）
A ．2x =
B ．0x =
C ．2x =-
D ．1x =
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y = x 2+2的对称轴为直线0x =．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a ，b ，c 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k 的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x=h ．
12．如图，点A ，B ，C 都在O 上，若34C ∠=︒，则AOB ∠为（ ）
A ．34︒
B ．56︒
C ．60︒
D ．68︒
【答案】D 【分析】直接根据圆周角定理求解．
【详解】∵∠C=34°，
∴∠AOB=2∠C=68°．
故选：D ．
【点睛】
此题考查圆周角定理，解题关键在于掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB 与BC 的比是黄金比，过点C 作CE ∥BD ，过点D 作DE ∥AC ，DE 、CE 交于点E ，连接AE ，则tan ∠DAE 的值为___________.（不取近似值）
【答案】516
【分析】根据AB 与BC 的比是黄金比得到AB ∶BC=)
512∶，连接OE 与CD 交于点G ，过E 点作EF ⊥AF
交AD延长线于F，证明四边形CEDO是菱形，得到
11
22 EF
CD AB
==，
11
22
DF OE BC
==，即可求出tan∠DAE的值；
【详解】解：∵AB与BC的比是黄金比，
∴AB∶BC=()
512
-∶
连接OE与CD交于点G，过E点作EF⊥AF交AD延长线于F，
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CEDO是平行四边形，
又∵ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形CEDO是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），
∴CD与OE垂直且平分，
∴
11
22
EF CD AB
==，
∴
11
22
DF OE BC
==，
tan∠DAE
1
151
2
332
2
51
6
AB
EF
AF BC
⎛⎫
===
⎪
⎪
⎝⎭
，
51
-
；
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、黄金分割比，掌握邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键；
14．某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表：
次品数0 1 2 3 4 5
箱数50 14 20 10 4 2
该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的产品箱.若在这100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率为_______。