精讲练09 因式分解-2019-2020学年八年级上学期数学寒假集训精讲练(人教版)(原卷版)

精讲练09 因式分解
必考点1 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
提公因式法：利用提公因式分解因式的方法称为分解因式法.
a .多项式中各个多项式都含有的因式称为多项式的公因式;
b .公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂.
【典例1】（2020·江苏南通第一初中初二期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．a (b - 5)= ab - 5a B ．a 2- 4a + 4 = a (a - 4)+ 4
C ．x 2- 81y 2= (x + 9 y )(x - 9 y )
D ．(3x - 2)(2x +1)= 6x 2- x - 2
【答案】C
【解析】A. a (b - 5)= ab - 5a ，不是因式分解；
B. a 2- 4a + 4 =()22a -，故不是因式分解；
C. x 2- 81y 2= (x + 9 y )(x - 9 y )，是因式分解；
D. (3x - 2)(2x +1)= 6x 2- x - 2，不是因式分解.
故选C.
【举一反三】
1．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）下列各多项式中可以用提取公因式进行因式分解的是（
） A ．m 2-9 B ．22
152x xy y -+
C ．a 3+a 2+a
D ．2()2()1m n m n +-++
【答案】C
【解析】A. m 2-9，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解； B. 22
152x xy y -+，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解；
C. a 3+a 2+a ，公因式是a ，可以用提取公因式法进行因式分解；
D. 2()2()1m n m n +-++，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解；
故选：C ．
2．（2019·山东初二期中）多项式8x 2m y n ﹣1﹣12x m y n 中各项的公因式为_____．
【答案】4x m y n ﹣1
【解析】
系数的最大公约数是4，各项相同字母的最低指数次幂是x m y n ﹣1，
所以公因式是4x m y n ﹣1，
故答案为：4x m y n ﹣1．
3．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）如果x +y =0，xy =-7，则x 2y +xy 2=_____．
【答案】0
【解析】∵x +y =0，xy =-7，∴x 2y +xy 2=xy (x +y )=0，故答案为：0.
必考点2 公式法：运用乘法公式分解因式的方法称为分解因式法.
①平方差公式：两个数的平方差等于等于这两个数的和乘以两个数的差.
()()22a b a b a b -=+-
②完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.()2
222a ab b a b ±+=±
十字相乘法：采用画交叉十字分解系数，把多项式分解成两个因式的乘积形式. ()()()2x p q x pq x p x q +++=++
【典例2】
（2019·湖北初二月考）分解因式：44mx my -=______. 【答案】()()()22m x y
x y x y ++- 【解析】4444()mx my m x y -=-
=2222()()m x y x y +-
=22()()()m x y x y x y ++-；
故答案为：()()()22m x y
x y x y ++-.
【举一反三】
4．（2019·吉林初三期中）因式分解：224a b -=_________.
【答案】()()22a b a b +-
【解析】224a b -=()()22a b a b +-.
故答案为：()()22a b a b +-.
5．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）简便计算：7.292﹣2.712=_________.
【答案】45.8
【解析】7.292﹣2.712=(7.29+2.71)(7.29-2.71)=10×
4.58=4
5.8. 6．（2019·上海市）分解因式：
（1）322524x x y xy +-
（2）32
248x x y x y +--
【答案】（1）x （x +8y ）（x -3y ）；（2）（x +2）（x -2）（x +2y ）
【解析】（1）原式=x （x 2+5xy -24y 2）=x （x +8y ）（x -3y ）；
（2）原式=x 2（x +2y ）-4（x +2y ）=（x 2-4）（x +2y ）=（x +2）（x -2）（x +2y ）．
1. （2020·天津初二期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A ．211()a a a a +=+
B ．( x + 1) ( x - 1) = 2x - 1
C ．2a + a - 5 = (a - 2 ) (a + 3 ) + 1
D ．2x y + x 2y = xy ( x + y )
2. （2019·山东初二期中）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，判断△ABC 的形状（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 3. （2019·四川初二期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A ．224a b --
B ．224a b +
C ．2216a b -+
D ．22a b -
4. （2019·甘肃初二月考）已知a 、b 、c 为一个三角形的三条边长，则代数式（a ﹣b ）2﹣c 2的值（ ） A ．一定为负数 B ．一定是正数 C ．可能是正数，可能为负数 D ．可能为零
5．（2019·哈尔滨市萧红中学初二月考）若a ﹣b ＝3，ab ＝1，则a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3的值为（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．12
6. （2020·上海复旦二附中初一月考）因式分解：24x xy +=_______；
7. （2019·上海领科教育国际高中初一月考）分解因式：23-369mn n m nm +-=__________. 8. （2019·山东初二期中）计算20082﹣2007×
2008＝_____.
9．（2019·广东深圳实验学校初三期中）分解因式：= .
9. （2019·山东初二期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61和63 B ．63和65 C ．65和67 D ．64和67
10．（2019·江苏初二月考）已知()()()()
24816321212121M =++++，则M 的个位数字为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 11. （2019·上海市闵行区七宝第二中学初一月考）分解因式：22441m n n ---
12. （2019·山东初二期中）（x －1）(x +1)=x 2－1,
(x －1)(x 2+x +1)=x 3－1,
（x －1）(x 3+x 2+x +1)=x 4－1,
……
（1）分解因式：51x -= ;
（2）根据规律可得(x －1)(x n －1+……+x +1)= （其中n 为正整数）;
（3）计算：5049482(31)(333331)-+++
+++; （4）计算：1999199819973(2)
(2)(2)(2)(2)1-+-+-+
+-+-+.
13. （2019·河南初二期中）（定义）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平
方式或几个完全平
方式的和，这种方法称之为配方法，例如：可将多项式223x x ++通过横档变形化为
222232113(1)2x x x x x ++=++-+=++的形式，这个变形过程中应用了配方法.
（1）（理解）对于多项式245x x -+，当x =____________时，它的最小值为______________. （2）（应用）若2222440a ab b b ++++=，求a b 的值.
（3）（拓展）,,a b c 是ABC 的三边，且有2241029a b a b +=+-.
①若c 为整数，求c 的值.
②直接写出这个三角形的周长.
14. （2019·辽宁初二月考）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：2
()2()1x y x y ++++
解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式2221(1)A A A =++=+ 将 “A ”还原，得原式2(1)x y =++
上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下问题： （1）因式分解：212()()x y x y +-+-= ；
（2）因式分解：()(4)4a b a b ++-+.。