《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业43 Word版含解析

课时作业43 立体几何中的向量方法(一)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直 D ．以上均不正确
答案：B
2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
解析：若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0.
答案：D
3．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22 C.223 D.233
解析：
如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2，2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨
⎧
n ·DA 1＝2x ＋2z ＝0，n ·
DB ＝2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，
∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.
答案：D
4．(2022·珠海模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )
A.337，－15
7，4 B.407，－157，4 C.40
7，－2,4
D ．4，40
7，－15
解析：∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，
∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC
→＝(3,1,4)， 则⎩⎨
⎧
(x －1)＋5y ＋6＝0，
3(x －1)＋y －12＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝407，
y ＝－15
7.
答案：B
5．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
A ．(1
2，－1，－1) B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)
D ．(－1,1,4)
解析：设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB
→，n ⊥AC →，n ⊥BC →，全部与AB →(或AC →、BC
→)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D. 答案：D
6．(2022·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )
A ．2 B. 3 C. 2
D ．1
解析：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，由于AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin45°＝1.
答案：D
7．已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )
A.2
3
B.33
C.63
D ．1
解析：∵AB
→＝AC →＋CD →＋DB →， ∴|AB
→|2＝|AC →|2＋|CD →|2＋|DB →|2， ∵AB ＝2，AC ＝BD ＝1， ∴|AB
→|2＝4，|AC →|2＝|BD →|2＝1， ∴|CD
→|2＝2.在Rt △BDC 中，BC ＝ 3. ∵直二面角α－l －β中，AC ⊥l ，
∴AC ⊥β，∴平面ABC ⊥平面BCD ，过D 作DH ⊥BC 于H ，则DH ⊥平面ABC ， ∴DH 的长即为D 到平面ABC 的距离， ∴DH ＝DB ·DC BC ＝1×23
＝6
3.故选C.。