苏科版九年级数学上册初三《一元二次方程》复习卷.docx

初中数学试卷
桑水出品
初三数学《一元二次方程》复习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1
2．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
3．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，则b的值是（）
A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣6
4．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实数根，则k的取值范围为（）
A．k ≥﹣B．k ＞﹣C．k ≥﹣且k≠0 D．k ＜﹣
5．设M=2a2﹣5a+1，N=3a2﹣7，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）
A．M＞N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
6．若a，b，c为三角形ABC的三边，且a，b，c满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC为（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或等边三角形
7．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根，则a的取值范围为（）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0
8．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．0
9．若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，则m=______．
12．已知x=6﹣y，z2=9﹣xy，z≠3﹣y，则x+2y﹣z=______．
13．一个长方形，若将其一边增长5厘米，另一边长扩大1倍，其面积就等于原长方形面积的3倍；若将其一边减少10厘米，就成为一个正方形，此长方形的面积为______厘米2．
14．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为______．15．当k取值为______时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．16．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是______．
17．关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有实数根，则m的取值范围是______．
18．若实数a，b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则=______．
19．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=______．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D 方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=______秒时，S1=2S2．
三．解答题（共10小题）
21．已知实数a、b（a≠b）分别满足a2+2a=2，b2+2b=2．求的值．
22．某电热器经过两次降价后，利润由20元降到5元，已知降价前该产品的利润率是25%，解答下列问题：
（1）求这种电热器的进价；
（2）求经过两次降价后的售价；
（3）求每次降价的平均降价率？（精确到1%）
23．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
25．善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组
①求x2+9y2的值；
②求x+3y的值．[参考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．
26．今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是240千瓦时．
（1）若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的1.5倍，设今年7月份用电量增长率为x，
补全下列表格内容（用含x代数式表示）
月份6月份7月份
月增长率x
用电量
（单位：千瓦时）
（2）在（1）的条件下，预计今年7月份的用电量将达到480千瓦时，求今年7月份用电量增长率x的值．（精确到1%）
（3）若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的n倍，6月份用电量为360千瓦时，预计今年7月份的用电量将不低于500千瓦时．则n的最大值为______．（直接写出答案）
27．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．
28．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
29．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
30．已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4（1﹣k）＞0，且1﹣k≠0，
解得k＜2，且k≠1，
则k的最大整数值是0．
故选C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【分析】根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，
∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，
∴①当α=1+，β=1﹣时，
a3+8β+6，
=（1+）3+8（1﹣）+6，
=16+8+8﹣8+6，
=30；
②当α=1﹣，β=1+时，
a3+8β+6，
=（1﹣）3+8（1+）+6，
=16﹣8+8+8+6，
=30．
故选D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．
3．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，则b的值是（）
A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣6
【分析】两式相减先消去a，得到关于b的方程，再解方程，最后检验解．
【解答】解：∵a2+b2﹣11=0，①
a2﹣5b﹣5=0，②
∴①﹣②得b2+5b﹣6=0，
（b+6）（b﹣1）=0，
∴b1=﹣6，b2=1．
当b=﹣6时，
a2=﹣25，方程无实数根，不合题意，舍去．
∴b=1．
故选A．
【点评】此题考查了运用消元法解方程组和运用因式分解法解一元二次方程的思路，注意根据题意取舍字母的取值．
4．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实数根，则k的取值范围为（）
A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k=0时，x﹣1=0，解得：x=1；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实根，
∴△=（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0，
解得k≥﹣，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣．
故选A．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
5．设M=2a2﹣5a+1，N=3a2﹣7，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）
A．M＞N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：M﹣N=2a2﹣5a+1﹣（3a2﹣7）=﹣a2﹣5a+8=﹣（a+）2+．
∵a的取值范围不确定，
∴无法判定M﹣N的符号，即无法判定M与N的大小．
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．若a，b，c为三角形ABC的三边，且a，b，c满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC为（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或等边三角形
【分析】由已知可得a﹣b=0或a﹣c=0，从而有a=b或a=c．根据边长判断三角形形状．
【解答】解：∵（a﹣b）（a﹣c）=0，
∴a﹣b=0或a﹣c=0，
∴a=b或a=c．
∵a，b，c为△ABC的三边，
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形．
故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定方法，注意a=b或a=c包含三种情况：a=b；a=c；a=b=c．
7．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根，则a的取值范围为（）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0
【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；
当a≠0时，方程是一元二次方程，只有正实数根，则应满足：△≥0，x1+x2＞0，x1•x2＞0，建立关于a 的不等式，求得a的取值范围即可．
【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1=0，解得x=，是正根；
当a≠0时，方程是一元二次方程．
∵a=a，b=4，c=﹣1，
∴△=16+4a≥0，
x1+x2=﹣＞0，
x1•x2=﹣＞0
解得：﹣4≤a＜0．
总之：﹣4≤a≤0．
故选：A
【点评】注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若只有正实数根的条件，则应有△≥0，两根之积大于0，两根之和大于0求解．
8．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．0
【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．
【解答】解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；
α2+β2=p③，α2β2=q④．
由②④可得α2β2﹣αβ=0，
解之得αβ=1或0
由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，
即p2﹣p﹣2q=0，
当q=0时，p2﹣p=0，
解之得，p=0或p=1，
即，，
把它们代入原方程的△中可知符合题意．
当q=1时，p2﹣p﹣2=0，
解之得，p=﹣1或2，
即，，
把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，
所以数对（p，q）的个数是3对．
故本题选B．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．
9．若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件“若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0”知，、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；然后根据韦达定理求得x1•x2=2，即•b=2，∴a=；再将其代入所求的代数式
求值即可．
【解答】解：∵2a2+5a+1=0，
∴+5×+2=0；
又∵b2+5b+2=0，
∴、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；
∴由韦达定理，得
x1•x2=2，即•b=2，
∴a=；
∴2+=2+=．
故选A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，不要忽视了条件a•b≠1．若在方程2a2+5a+1=0的两边同时乘以2时，那么2a、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根，则a•b=1．
10．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N
的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，则m=2．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到，解得m=2．
【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．
12．已知x=6﹣y，z2=9﹣xy，z≠3﹣y，则x+2y﹣z=9．
【分析】先将x=6﹣y代入z2=9﹣xy=（y﹣3）2，解得：z=y﹣3或z=3﹣y，再根据z≠3﹣y，得到z=y﹣3，代入原式x+2y﹣z=6﹣y+2y﹣y+3=9．
【解答】解：∵x=6﹣y
∴z2=9﹣xy
=9﹣（6﹣y）y
=9﹣（6y﹣y2）
=y2﹣6y+9
=（y﹣3）2∴z=y﹣3或z=3﹣y
∵z≠3﹣y
∴z=y﹣3
∴x+2y﹣z=6﹣y+2y﹣y+3=9
故答案为9．
【点评】本题考查了配方法的解法，解题的关键是代入后正确的变形为完全平方的形式．
13．一个长方形，若将其一边增长5厘米，另一边长扩大1倍，其面积就等于原长方形面积的3倍；若将其一边减少10厘米，就成为一个正方形，此长方形的面积为200厘米2．
【分析】等量关系为：新长方形的面积=原长方形面积×3，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设原长方形的宽为x厘米，则长为（x+10）厘米；
①宽加5
（x+5）×2（x+10）=3×x（x+10），
解得x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=10，
∴原长方形的面积为10×20=200；
②长加5
2x×（x+10+5）=3×x（x+10），
解得x1=0（不合题意，舍去）
故答案为200．
【点评】考查一元二次方程的应用；分情况探讨是长增加5cm或宽增加5cm是解决本题的易错点．
14．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．
【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．
【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，
∴mn﹣（m+n）+1=﹣6
即a﹣3+1=﹣6
解得a=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
15．当k取值为0时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．
【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．
【解答】解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0 相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k ﹣1
若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意所以k不等于1．
所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0．
故答案为：0．
【点评】考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题．
16．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是＜m≤1．
【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m的取值范围，最后综合所有情况得出结论．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，
∴有△=4﹣4m≥0，
解得：m≤1，
由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m，
若a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，
则必有a+b＞1与|a﹣b|＜1同时成立，
故只需（a﹣b）2＜1即可，
化简得：（a+b）2﹣4ab＜1，
把a+b=2，a•b=m代入得：4﹣4m＜1，
解得：m＞，
∴＜m≤1，
故本题答案为：＜m≤1．
【点评】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系．
17．关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有实数根，则m的取值范围是．
【分析】由关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有实数根，分两种情况：①m=0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，可得[﹣2（3m﹣1）]2﹣4×m×（9m ﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案．
【解答】解：分两种情况：
①m=0时，原方程即为2x﹣1=0，为一元一次方程，必有实数根；
②m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵a=m，b=﹣2（3m﹣1），c=9m﹣1，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（3m﹣1）]2﹣4×m×（9m﹣1）=﹣20m+4，
∵关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有实数根，
∴△=﹣20m+4≥0，
解得：m≤，
即m≤且m≠0．
综上可知m≤．
故答案为：m≤．
【点评】此题考查了一元一次方程与一元二次方程根的判别式的知识．此题难度中等，注意分情况讨论．
18．若实数a，b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则=2或﹣3．
【分析】由于a，b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，因此可以把a、b看作方程x2+x﹣1=0的两个根，然后利用根与系数的关系可以得到a+b=﹣1，ab=﹣1，再把所求代数式通分即可求解．
【解答】解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，
∴a、b看作方程x2+x﹣1=0的两个根，
∴a+b=﹣1，ab=﹣1，
则====﹣3．
若a=b，则原式=2．
故答案为：2或﹣3
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，首先把已知等式转化为一元二次方程的问题，然后利用根与系数的关系即可解决问题．
19．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．
【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：
（42﹣32）☆x=13，
7☆x=13，
49﹣x2=13，
x2=36，
∴x=±6．
【点评】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D 方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=6秒时，S1=2S2．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=8cm，
又∵AP=t，
则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE=AP=t，
∴S2=PD•PE=（8﹣t）•t，
∵S1=2S2，
∴8t=2（8﹣t）•t，
解得：t=6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
三．解答题（共10小题）
21．已知实数a、b（a≠b）分别满足a2+2a=2，b2+2b=2．求的值．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b=﹣2，ab=﹣2，再把变成，然后把前面的关系式代入即
可求出代数式的值．
【解答】解：∵实数a、b（a≠b）分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，
∴实数a、b是方程x2+2x﹣2=0的两根．
由根与系数的关系可知a+b=﹣2，ab=﹣2．
∴==1．
【点评】本题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．
22．某电热器经过两次降价后，利润由20元降到5元，已知降价前该产品的利润率是25%，解答下列问题：
（1）求这种电热器的进价；
（2）求经过两次降价后的售价；
（3）求每次降价的平均降价率？（精确到1%）
【分析】（1）进价=利润÷利润率，把相关数值代入计算即可；
（2）售价=进价+利润，把相关数值代入计算即可；
（3）关系式为：原售价×（1﹣降低的百分比）2=后来的售价，把相关数值代入求得合适的解即可．【解答】解：（1）进价为：20÷25%=80元；
（2）经过两次降价后的售价为80+5=85元；
（3）设平均降价率为x．
100×（1﹣x）2=85，
∵1﹣x＞0，
∴1﹣x=，
解得x≈8%．
答：降价的百分比为8%．
【点评】考查一元二次方程的应用；掌握进价，利润，利润率之间的关系式是解决本题的突破点；注意求降低率时应根据售价来求．
23．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k 的取值范围．
（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，
所以把x=2代入方程，可得k=，
所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，
解得：x1=2，x2=，
所以BC的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
【分析】根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60﹣x+2）m，再根据矩
形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x=300，
x2﹣62x+600=0，
解这个方程得：x1=12，x2=50，
∵28＜50，
∴x2=50（不合题意，舍去），
∴x=12．
（60﹣x+2）x=480，
x2﹣62x+960=0，
解这个方程得：x1=32，x2=30，
∵28＜30＜32，
∴x1=32，x2=30（不合题意，舍去），
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．
25．善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组
①求x2+9y2的值；
②求x+3y的值．[参考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．
【分析】分析：（1）把②变形为6x﹣3y+y=6，整体代入，先求出y；
【解答】解：（1）
由②得：6x﹣3y+y=6，
3（2x﹣y）+y=6③，
把①代入③得：3×1+y=6，
解得：y=3，
把y=3代入①得：2x﹣3=1，
解得：x=2，
所以原方程组的解为；
（2）①
①×2+②，得7x2+63y2=126，
等式的两边都除以7，得x2+9y2=18．
②．①×3﹣②×2，得﹣7xy=﹣21，
∴xy=3，6xy=18
∵x2+9y2=18，
∴x2+6xy+9y2=18+18，
∴（x+3y）2=36，
∴x+3y=±6．
【点评】点评：本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
26．今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是240千瓦时．
（1）若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的1.5倍，设今年7月份用电量增长率为x，
补全下列表格内容（用含x代数式表示）
月份6月份7月份
月增长率x
用电量
（单位：千瓦时）
（2）在（1）的条件下，预计今年7月份的用电量将达到480千瓦时，求今年7月份用电量增长率x的值．（精确到1%）
（3）若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的n倍，6月份用电量为360千瓦时，预计今年7月份的用电量将不低于500千瓦时．则n的最大值为．（直接写出答案）
【分析】（1）根据5月份的用电量和今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的1.5倍分别表示出6月和7月的用电量即可；
（2）根据7月份的用电量将达到480千瓦时列出方程求解即可；
（3）根据今年7月份的用电量将不低于500千瓦时列出不等式求得n的最大值即可．
【解答】解：（1）
月份6月份7月份
增长率 1.5x x
用电量
240（1+1.5x）240（1+x）（1+1.5x）
（单位：千瓦时）
（2）480=240（1+x）（1+1.5x），
解得或x=﹣2（不合题意舍去），
∴
（3）设6月的增长率为x，列方程为240（1+x）=360，
解得x=0.5，
则7月的增长率为，列不等式360（1+）≥500，
解得：n≤．∴n的最大值为，
∴n的最大值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清如何用增长率表示出6、7月份的用电量．27．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．
【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．
【解答】解：（1）令=y，①
则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）
∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）
若原方程没有实数根，只须
解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）
（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②
而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）
将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）
令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，
∴x1=x2=﹣1．（17分）
经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）
【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．
28．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．
（2）因为==﹣，所以由根与系数的关系可得=﹣，解方程可得m的值．
【解答】解：（1）证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）
=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵，即=﹣，
∴由根与系数的关系可得=﹣，
解得m=﹣，
经检验得出m=﹣是原方程的根，
即m的值为﹣．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
29．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．
【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米．
依题意，有x（x+2）×1=15．
整理，得x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5（舍去），x2=3，
∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35
∴做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元
【点评】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
30．已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．
【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；
（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程，
∴△=（﹣2k）2﹣4×（k2﹣2）=2k2+8，
∵2k2+8＞0恒成立，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1、x2是方程的两个根，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，
∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，
解得k=±．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。