黑龙江省双鸭山一中2009届高三上学期期末考试(数学理)

高三数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题：共60分）
选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
1、复数的值是（）
A．i-1 B．1-i C．-1-i D．-1
2、已知集合M＝{y | y = x2}，N＝{y | x2＋y2＝2}，则M∩N＝()
A．{(1,1)，(－1,1)}B．{1} C．[0,2] D．[0,1]
3、（）A．0 B．1 C．D．
4、某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右图示频率分布直方图，
则车速不小于90km/h的汽车
约有()辆。

A．14 B．140 C．6 D．60
5、如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误
．．的命题是（）
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．的延长线经过点
Ｄ．直线和所成角为
6、函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1
7、如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P
到y轴的距离是（）A．B．C．D．
8、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到
B、C两点的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小为，
则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（）A．B．C．D．
9、如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（）
1 1
1 B
10、设，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润（）
A．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元
12、已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中
任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题：共90分）
二、填空题(包括4小题，每小题5分，共20分)
1３．已知两圆和相交于两点，则直线的方程．
1４．的展开式中常数项为．（用数字作答）
15．设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．
16、下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是（写出你认为所有正确答案）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
18．（本小题满分12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿
（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．（保留小数点后两位）
19．（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

20．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥中，
，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
21．（本小题满分12分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； 22．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，点P 到两点，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为，直线与C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若，求k 的值；
（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有||>||．
高三期末数学试题理科答案
一、选择题：
1 ~1
2 a c d d dc acabbb
二、填空题： 13、 14、57 15、18 16、①④
三、解答题 17．（Ⅰ）． 的最大值为；最小正周期． （Ⅱ）．
（18）设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立， 且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 ．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
的期望：（元）．
19． （Ⅰ）
（Ⅱ）的单调增区间是 的单调减区间是
A C B
P
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为
又有
也可以用其他值检验
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。

20．（Ⅰ）；略（Ⅱ）（Ⅲ）
21．
（Ⅰ）解法一：
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
解法二：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）当时，
当时．
22．（Ⅰ）曲线C的方程为（Ⅱ）。