传输原理-第四章 动量微分方程

x




y




z


dxdydz
x
y
z
净流入量导致微元控制体内流体密度的变化，
微元体内单位时间质量的累积(或累积的质量)
( )dxdydz dxdydz dxdydz
t
t
质量守衡定律：净流入质量=累积的质量(质量的累积)
t t t
• 因此在定常流动下，欧拉方法的速度表达式：
x x x, y, z, t
x x x, y, z
• 而 x x x, y, z 对时间的全微分并不为零，其表达式
如下：
dx
dt

x
x
dx dt

x
y
dy dt

x
z
dz dt
x
x
P


2
2 [1
4 sin 2

]
P P

2
2
1 4sin2
• 图给出了绕圆柱体有势
流动的压强分布曲线。
4.3 伯利例方程
4.4 伯努利方程的应用
• 伯努利方程应用——文丘里管
• 用途：文丘里管用于测量管路中 的流速或流量。
• 原型：在管路中加接一段截面收 缩的管子，并与压力计相连如右
X

1

P x

Dx
Dt

x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
两边乘 以dx
Xdx

1

P x
dx
x
x
x
dx
y
x
y
dx z
x
z
dx
沿流线移动，流线微分方程式
dx dy dz
x y z
xdy ydx, y dz zdy, z dx xdz
4.3 伯利例方程
• 意义：反映在重力作用下理想不可压缩流体稳 定流动中，沿同一流线上，单位重量流体具有 的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。
• 例题5 在一均匀的平行于x方向的流动中，放 置一个半径为R的静止圆柱体，已知在圆柱体 表面处的流速υθ，试求其压强分布。
解：假设距圆柱体很远处的压强为P∞，速度为υ ∞，
• 在x轴方向上，控制体内累积的动量速率为
x dxdydz t
• 将上述公式代入动量守恒定律中，于是有

X

P


xx



x y



xz




x
x x
y
z t
• 展开上式右侧各项，考虑连续性方程，并假定密度不
，称为测压管高度，或称为测压管水头； υ i2/2g表示
所研究点处速度大小的高度，称为测速高度，或称为 速度水头。伯努利方程说明在重力作用下的理想流体 定常流动中，几何高度、测压管高度和测速高度之和 为一个常数，称为水力高度和总水头。
• 柏努利方程都是在一定条件下积分得到的，应用时必 须注意下列限制条件：理想流体；不可压缩；定常流 动；作用于流体上的力仅有重力；不考虑流体旋转。
x 6(x y2 )
y 2y z3 z x y 4z
解：因为流场是否存在必须满足连续性方程，所以可用
上面的直角坐标公式来判断。由于：
4.1 连续性微分方程
x 6 y 2 z 4
x
x

y y
z
z
6 2 4 12 0

Zdz)
1
( P
dx

P
dy

P
dz)

2
d(
)
x y z
2
稳定流时 dP P dx P dy P dz x y z
gdz d ( P ) d ( 2 )

2
P 2
z C
2g
4.3 伯利例方程
12
2

gz1

P1


22
所示。选取沿管轴的一条流线及
• 流线上的两点1和2，对应的管子截面分别为A1、A2，
流速为υ 1、 υ 2。设γ1、γ2分别为管路中流体与U形管
中流体的重度。若测量出压力计的高度差值，即可
得到管路中的流速或流量值。
• 由流管的流量公式，在流量不变的情况下，可以得
到：
A1υ1=A2υ2
4.4 伯努利方程的应用
xz dxdydz
z
• 三个方向之和即为 轴方向总的净动量速率：




xx



x y



x
z


dxdydz
x
y
z
• 设x轴方向上单位质量的质量力为 ，则整个微元控制 体的x轴方向的质量力为：
X dxdydz
4.2 理想流体运动方程(欧拉方程)
可得：
F 1 P D

Dt
• 这就是理想流体运动方程，是1775年欧拉(Euler)首先 提出的，亦称欧拉方程。
4.3 伯努利方程
• 因为只考虑定常流动，所以欧拉方程中的P、υx、υy和 υz都只是坐标x、y、z的函数，而与时间t无关。也就是 说：
x y z 0
另一端向上，管内液面高出水面H。
• A端形成一驻点(速度为0)，驻点处的压力称为总压力。
• B点在A点的上游，与A点位于
同一水平流线，不受侧管影响。
H
PA (H0 H ) PB H0
H0
B
A
4.4 伯努利方程的应用
应用伯努利方 程于A、B两点
0 PB B2 0 PA 0
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z

Y 1 P Dy y Dt
Z

P z



z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z

Z 1 P Dz z Dt
• 将前面的动量速率与力的分量式(共3个)写成矢量式，
x
y
x
y
z
x
z
• 同理：
4.3 伯努利方程
d y
dt
x
y
x
y
y
y
z
y
z
dz
dt
x
z
x
y
z
y
z
z
z
• 在流体力学中，从上面的 x x x, y, z等对时间的全
微分不为零看出，流体力学中有了新的加速度概念，
t x
y
z
对于稳定流动 0
t
x y z 0
x
y
z
对于园柱坐标，不可压缩流： r 1 z r 0 r r z r
例题1：已知某二维不可压缩流的速度分布(或速
度场)如下，试分析此流场是否存在？
三者之和必为常数。这显然是机械能守恒定律的推广
。
12
2g

z1

P1
g

22
2g

z2

P2
g
4.3 伯利例方程
② 几何意义：方程中每一项的量纲与长度相同，表示 单位重力流体所具有的水头。zi表示所研究点相对某 一基准面的几何高度，称为位置水头；Pi/ρg表示所研 究点处压强大小的高度，有与该压强相当的液柱高度
变，则有：
X

P x



x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z

X 1 P Dx x Dt
4.2 理想流体运动方程(欧拉方程)
• 关于y、z方向上的力与动量速率，也应该有类似的关 系，它们的表达式如下：
Y

P y



y
• 根据重力场中不可压缩定常流动的伯努利方程得： P1 12 P2 22 1 2g 2 2g
• 因为P1-P2＝γ2h，同时考虑到γ1 <<γ2 ，故P1>>P2，上式 因此变为：
2 h 22 12
1
2g
• 由此得流速和流量：
2 1
h

12
2g

4.3 伯努利方程
Xdx

1

P x
dx


x
(
x
x
dx

x
y
dy

x
z
dz)
xdx

d
(
2 x
2
)
类似的
Ydy

1
P
dy

d

(
2 y
)
y
2
Zdz 1 P dz d (z2 )
z
2
三式相加（2 x2 y2 z2）
( Xdx
Ydy
称为位置变化造成的加速度，简称位变加速度，而 x 等不为零时对应的加速度称为时变加速度。
t
• 不难看出，位变加速度是专属于流体力学的新概念。
4.3 伯努利方程
• 根据对于欧拉方程，考虑以下特殊条件：
1. 理想流体； 2. 稳定流动； 3. 不可压缩流体； 4. 质量力只有重力；5. 质点沿一条特定流线运动。
• 沿x轴输入和输出的
动量速率(流密度)分
别为：
xx dydz,


xx




xx
x

dx

dydz
净动量速率为
xx dxdydz
x
4.2 理想流体运动方程(欧拉方程)
• 同理，在沿着y轴和z轴方向上，x轴方向上的净动量 速率分别为
xy dxdydz y
2

gz2

P2

• 理想流体沿流线的伯努利方程,
以分为：
其物理意义可
① 能量意义：方程中每一项表示单位重力流体所具有的
能量。gzi和Pi/ρ分别代表单位重力流体所具有的位能和
压力能； 而υi2/2代表单位重力流体所具有的动能。
• 它说明理想流体沿流线流动时，单位重力的流体所具
有的位能、压力能和动能三者之间尽管可以转化，但
2g

PA

PB

B2 2g

式中：PA－总压，PB－静压
B2
第四章 动量传输的微分方程
• 4.1 连续性微分方程 • 4.2 理想流体运动方程 • 4.3 伯努利方程 • 4.4 伯努利方程的应用 • 4.5 实际流体运动方程
4.1 连续性微分方程
• 微元控制体(流体的密度为ρ)
z y
C
流进ABCD面 的质量流量 B
G
o
x
F


x

(x
x




x



y


z


dxdydz


dxdydz
x
y
z
t
4.1 连续性微分方程
由前面的方程可以得到连续性方程
式中未涉及力的问题，是运动学方程，对理想流体和 粘性流体均适用，实际存在的流体都必满足连续性方程
x y z 0
t x
y
z
将上式展开，考虑
D
Dt


t
x

x
y

y
z

z
D ( x y z ) 0
Dt
x y z
可得：
不可压缩流，ρ为常数
x y z 0
x Байду номын сангаасy z
4.1 连续性微分方程
x y z 0
在忽略位能项的影响，有：
P


2
2

P


2
2

P0
式中P0为滞止压强。
4.3 伯利例方程
• 以为在无旋流场中滞止压强是一常数，在圆柱体表
面处的速度为： 2sin
• 因此圆柱体表面处的压强是：
P

P


2
2


2
2

P


2
2


2
(2
sin
)2

x y z
说明此流场是 不连续的，亦 即不存在。
例题2 试判断下列平面流场是否连续？
r 2r sin cos , 2r cos2
解： 因为
r
z 0
z
2r sin
r
r
cos
2sin cos 4r sin cos
代入前面的园柱坐标公式可
r
得
r 1 r 2sin cos 4sin cos 2sin cos 0
r r r
说明此流场是连续的。
4.2 理想流体运动方程(欧拉方程)
• 取一个微分控制体如图所示。由于动量是矢量，首先 考察x轴方向上的动量。这一方向上动量输入、输出 控制体的方式有三种，即沿着x轴，以及沿着y轴和z 轴的输入、输出。
)
dx

dydz
dz
x dydz
D
H
vz
vy
A vx
dy
dx E
流出EFGH面 的质量流量
X轴方向的净流入的质量(流入和流出之差)。
xdydz


x



x
x

dx

dydz
x dxdydz
x
4.1 连续性微分方程
• 同理可以给出y和z两个方向上的表达式。 • 流体考虑三个方向上净流入质量为：
A1 A2
2

1

1

2gh
2.
A1 A2

1
2
1
Q 1A1
2gh . 2
1 A22

1 A12
1
4.4 伯努利方程的应用
• 伯努利方程应用——毕托管
• 用途：测量流场内某点流速的仪器。
• 原型: 直角管两端开口，一端面向来流，